🗊Презентация Решение систем линейных уравнений с параметрами

Презентация: «Решение систем линейных уравнений с параметрами» Учитель математики МБОУ СОШ №16 г. Красногорска Павлова Наталья Ивановна

Задачи с параметрами представляют для учащихся наибольшую сложность. Это самые трудные задания части С Единого государственного экзамена. Универсальных указаний по решению задач с параметрами дать нельзя, приходится рассматривать различные случаи – в зависимости от значений параметров и методы решения задач различны. Но знание некоторых правил и алгоритмов решения необходимо. Задачи с параметрами представляют для учащихся наибольшую сложность. Это самые трудные задания части С Единого государственного экзамена. Универсальных указаний по решению задач с параметрами дать нельзя, приходится рассматривать различные случаи – в зависимости от значений параметров и методы решения задач различны. Но знание некоторых правил и алгоритмов решения необходимо.

Решить систему уравнений – это значит найти такие значения переменных, которые обращают каждое уравнение системы в верное равенство. Параметр (от греч. parametron отмеривающий) – показатель, величина, значение которой остается постоянным в пределах рассматриваемой задачи.

Что значит решить уравнение с параметром? Это значит показать, каким образом для любого значения параметра можно найти соответствующие значения корней, если они существуют, или установить, что при этом значении параметра корней нет.

Пусть задана система уравнений: Пусть задана система уравнений: Каждое уравнение на плоскости представляет собой некоторую прямую. Для двух прямых на плоскости возможны три случая: 1. Прямые пересекаются. Тогда система уравнений имеет единственное решение. 2. Прямые параллельны. Тогда система не имеет решений. 3. Прямые совпадают. Тогда система имеет бесконечное множество решений.

Для системы линейных уравнений справедливо: Для системы линейных уравнений справедливо: 1. Если , то система имеет бесконечное множество решений. 2. Если , то система не имеет решений. 3. Если , то система имеет единственное решение. Основные методы решения линейной системы : - метод подстановки; - метод исключения неизвестного; - метод определителей.

Пример 1. При каких a и b система уравнений имеет бесконечное множество решений? Пример 1. При каких a и b система уравнений имеет бесконечное множество решений? 5x + ay = 2, 15x + 6y = 3b. Решение: Система имеет бесконечное множество решений, если выполняется равенство: Ответ: a = 2, b = 2.

Пример 2. Пример 2. При каком а система уравнений имеет решение, не имеет решений, имеет бесконечное множество решений? x - 5y = 7, ax – y = -3. Решение: 1. Если , то есть , то система имеет единственное решение. 2. Если , то есть , то система не имеет решений.

3. Если , то система имеет бесконечное множество решений. Но такого a нет. Ответ: 1) при - единственное решение; 2) при - не имеет решений; 3) бесконечное множество решений не принимает ни при каком a.

Пример 3. Пример 3. При каких значениях параметра а система двух уравнений имеет бесконечное множество решений? Решение: Система имеет бесконечное множество решений, если выполняются соотношения:

Ответ: a = 1.

Пример 4. Пример 4. При каком значении m система уравнений имеет бесконечное множество решений? Не имеет решений? Решение: Система имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, если коэффициенты при x и y пропорциональны, т.е.

Если m=3, то - решений нет; если m=-3, то - бесконечное множество решений. Ответ: 1) при m=-3 – бесконечное множество решений; 2) при m=3 – решений нет.

Метод подстановки. Метод подстановки. Применяя данный метод, надо учитывать, что каждый из коэффициентов при неизвестных может обращаться в нуль. Поэтому необходимо рассмотреть случай обращения в нуль коэффициента при этом неизвестном. Пример 5. Для всех значений параметра a решить систему: (1) (2)

Решение: Решение: Пусть , тогда = x=5, y=-1. Пусть , тогда из (1) имеем: Подставляя вместо x во второе уравнение, получим систему, равносильную данной.

Метод исключения. Метод исключения. Пример 6. Для каждого значения a решить систему: Решение: - решений нет.

2). Пусть a≠0, тогда, умножая второе уравнение исходной системы на -a, получим: 2). Пусть a≠0, тогда, умножая второе уравнение исходной системы на -a, получим: Заменяя второе уравнение системы (2) суммой ее первого и второго уравнений, получим систему, равносильную исходной:

Из (2): , подставляя это значение в первое уравнение системы (2), получим Ответ: 1) при a=0, решений нет; 2) при a≠0,

Пример 7. Пример 7. Найти все значения параметра a, для каждого из которых числа x и y удовлетворяющие системе уравнений удовлетворяют также неравенству x>y. Решение: Сложим уравнения системы, получим подставим в (1) уравнение.

Т.к. по условию x>y, то Ответ: при a<9.

Пример 8. Пример 8. Определить a, при котором система уравнений не имеет решений. Решение: Умножим обе части уравнения (1) на (a+6), а (2) на 4. Получим: Сложив эти уравнения, получим:

Умножим обе части уравнения (1) на (-2), а (2) на a: Умножим обе части уравнения (1) на (-2), а (2) на a: Сложив эти уравнения, получим: Рассмотрим систему, составленную из (*) и (**):

При a≠{-4;-2} система имеет решение: При a≠{-4;-2} система имеет решение: при а=-2 система выполняется при любых x и y, следовательно, из исходной системы При a=-4 левые части уравнения системы равны 0, правые не равны 0, след., система не имеет решения. Ответ: a=-4.

Решение линейной системы при помощи определителей. Решение линейной системы при помощи определителей. Пусть дана линейная система: Тогда решение системы примет вид:

Если определитель системы △≠0, то система определена, т.е имеет единственное решение. Если △=0 и =0, то система не определена, т.е имеет бесконечное множество решений. Если △=0 и ≠0, то система противоречива и решений не имеет.

Пример 9. Пример 9. Найти все значения a, при которых система имеет единственное решение. Решение: Система имеет единственное решение, если △≠0, т.е, Ответ: при a≠6.

Пример 10. Пример 10. Найти все a, для которых система не имеет решения. Решение: Т.к. Значит, система не имеет решения, если Ответ: при a=

Пример 11. Пример 11. Найти все a, при которых система имеет бесконечное множество решений. Решение: система имеет бесконечное множество решений, если Ответ: при a=30.

Литература: П.Ф. Севрюков, А.Н. Смоляков Школа решения задач с параметрами: учебно-методическое пособие. М.: Илекса; Народное образование; Ставрополь; Сервисшкола, 2011. Субханкулова С.А. Задачи с параметрами. М.:Илекса,2012. Скорнкова Л.А. Математика 10-11 классы: задачи с параметрами. Волгоград: Учитель, 2010. Кочагин В.В. ГИА 2012. Математика: Сборник заданий: 9 класс/ В.В. Кочагин, М.Н. Кочагина. – М.:Эксмо, 2011.