🗊Презентация Решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля

Содержание: Глава I. Модуль. Общие сведения. 1.Модуль. Общие сведения. Определения, свойства, геометрический смысл, преобразование выражений, содержащих модуль. 2. Решение уравнений, содержащих модуль (аналитически). 3. Решение неравенств, содержащих модуль. 4. Решение уравнений и неравенств, содержащих несколько модулей. Глава II. Построение графиков функций, содержащих модули. 1. Построение графика функции y = f (|x|). 2. Построение графика функции y = |f(х)|. 3. Построение графика функции y = |f(|х|)|. 4. Решение уравнений и неравенств графическим способом. Глава III. Неравенства с двумя переменными, содержащие модуль на координатной плоскости. 1. Геометрическая интерпретация уравнений вида /x-a/+/x-b/=c /x-a/-/x-b/=c. 2. Изображение фигур на плоскости, задаваемых неравенствами.

Занятие 1. Модуль: общие сведения. Определения, свойства, геометрический смысл. Цели: повторить и уточнить знания учащихся; рассмотреть свойства модуля; способствовать выработке навыков в упрощении выражений, содержащих модуль. Ход занятия: Лекция. Модуль - абсолютная величина числа, равная расстоянию от начала отсчета до точки на числовой прямой. Модуль числа a или абсолютная величина числа a равна a, если a больше или равно нулю и равна -a, если a меньше нуля: Из определения следует, что для любого действительного числа a: а, если а>0 |a|= 0, если а=0 -а, если а<0

,так как Примеры:

2. Решение упражнений. 1. Упростите выражение: 2. Упростите выражение: 3. Доказать, что данное выражение – целое число:

Занятие 2. Решение уравнений, содержащих модуль(аналитически) Цели: закрепить изученный материал; познакомить учащихся с решением некоторых типов уравнений, содержащих модуль. Ход работы: I. Фронтальный опрос. 1. Дайте определение модуля числа. 2. Дайте геометрическое истолкование модуля. 3. Может ли быть отрицательным значением суммы 2+|x|? 4. Может ли равняться нулю значение разности 2|x|-|x| ? 5. Как сравниваются два отрицательных числа?

2. Устная работа. 2. Устная работа. Раскрыть модуль: |π - 3|; | |; | |; | |; |х4+1|; |х2|; |х2+3х-4|; 8) 9) 10)

3. Объяснение нового материала 3. Объяснение нового материала Рассмотрим примеры решения уравнений, содержащих абсолютные величины: 1. Уравнения вида |f(х)|=a, где a≥0. По определению абсолютной величины данное уравнение распадается на совокупность двух уравнений f(х)=а и f(х)=-а. Записывается это так: f(х)=а f(х)=-а.

Пример 1. |х-8|=5. Пример 1. |х-8|=5. По определению модуля имеем совокупность уравнений Х-8=5 Х-8=-5. Откуда х=13, х=3. Ответ: 3;13. Некоторые уравнения и неравенства с модулем решаются проще с помощью геометрических соображений. |a-b|-это расстояние между a и b. Решим предыдущее уравнение |х-8|=5. Ответ: 3;13. Пример 2. Рассмотрим уравнение |2х-3|=4. Решить самостоятельно

2. Уравнение вида f (|x|)=а. По определению абсолютной величины данное уравнение 2. Уравнение вида f (|x|)=а. По определению абсолютной величины данное уравнение распадается на совокупность двух систем: f(х)=а; х≥0, F(-х)=а; х≤0 Пример 3. Решить уравнение х2-|х|-6=0. Данное уравнение равносильно совокупности двух систем: Решим первую систему уравнений: Решим вторую систему уравнений: Ответ: -3;3.

3. Решение уравнений вида |f1(x)|+ |f2(x)|+…+ |fn(x)|=g(x) 3. Решение уравнений вида |f1(x)|+ |f2(x)|+…+ |fn(x)|=g(x) Решение. Для каждой из этих функций находят область определения, ее нули и точки разрыва. Нули и точки разрыва разбивают общую область определения функции fi(x) (i=1,2,,,,n) на промежутки, в каждом из которых каждая их функций fi(x) сохраняет постоянный знак. Далее, используя определение модуля, для каждой из найденных областей получим уравнение, подлежащее решению. Методические рекомендации. Можно предложить учащимся записать следующий алгоритм. Пусть дано уравнение F(x)=0 такое, что его левая часть содержит модули некоторых функций |f1(x)|, |f2(x)|,…, |fn(x)| 1.Решают каждое из уравнений f1(x)=0, f2(x)=0,…fn(x)=0 2. Вся координатная ось разбита на некоторое число промежутков. 3. На каждом таком промежутке уравнение заменяется на другое уравнение, не содержащее знаков модуля и равносильно исходному уравнению на этом промежутке. 4. На каждом промежутке отыскиваются корни того уравнения, которое на этом промежутке получается. 5. Отбираются те корни, которые принадлежат данному промежутку. Они и будут корнями исходного уравнения на рассматриваемом промежутке. 6. Все корни уравнения F(х)=0 получают, объединяя все корни, найденные на всех промежутках.

Пример 4. Пример 4. 2|х-2|-3|x+4|=1. Решение. Для освобождения от знаков модуля разобьем числовую прямую на три промежутка

Ход занятия. 1. Объяснение нового материала. Если в модуль берется аргумент функции, график будет симметричен относительно оси ординат.

ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ МОДУЛИ и ПАРАМЕТРЫ.