🗊Презентация Решение задач на умножение способами, применявшимися в конце 15 и в начале 16 веков

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение г.Новосибирска «Средняя общеобразовательная школа № 43» Научно-исследовательская работа по математике на тему: Решение задач на умножение способами,применявшимися в конце 15 и начала 16 века. Исполнитель: ученица 4 «В» класса Корниенко Лена Руководитель: учитель начальных классов Родованова Т.Н. 2015

Проблема: Проблема: Существующие на сегодняшний день методы решения задач на умножение и деление многозначных чисел несовершенны. Гипотеза: Существуют альтернативные способы решения задач превосходящие современные по лёгкости понимания длительности времени решения? Цель исследования: 1. Показать основные принципы решения задач на умножение. 2. Доказательство гипотезы опытным путем. 3. Обобщение данных, полученных в ходе исследования.

Введение Мы привыкли пользоваться благами цивилизации — автомобилем, телефоном, телевизором и прочей техникой, делающей нашу жизнь легче и интереснее. Тысячи изобретений потребовались для этого, но самым важным из них были первые — колесо и число. Без них не было бы всего нашего технического великолепия. У этих двух изобретений есть общая черта — ни колеса, ни числа нет в природе, и то и другое — плод деятельности человеческого разума. Казалось бы, что понятие числа должно возникнуть одновременно с умением считать, но это далеко не так. Замечено, что считать до пяти умеют и кошки и свиньи, но чтобы перейти от пяти предметов к числу «пять», требовалось великое открытие, и вот почему. Пять собак или пять свиней — это совсем не то, что пять орехов. Ведь пять орехов —очень мало, съел — и не заметил, а пять свиней — очень много, их хватит, чтобы долго кормиться большой семье. Пять собак — это стая, которая может хорошо защитить от диких зверей, а пять блох на собаке и разглядеть-то трудно. Разве можно их сравнивать?

Знаменитый русский путешественник Н. Н. Миклухо-Маклай, проведший много лет среди туземцев на островах Тихого океана, обнаружил, что у некоторых племен имеется три способа счета: для людей, для животных и для утвари, оружия и прочих неодушевленных предметов. То есть там в то время еще не появилось понятие числа, не было осознано, что три ореха и три козы и три ребенка обладают общим свойством — их количество равно трем. Итак, появились числа 1, 2, 3, ..., которыми можно выразить количество коров в стаде, деревьев в саду, волос на голове. Знаменитый русский путешественник Н. Н. Миклухо-Маклай, проведший много лет среди туземцев на островах Тихого океана, обнаружил, что у некоторых племен имеется три способа счета: для людей, для животных и для утвари, оружия и прочих неодушевленных предметов. То есть там в то время еще не появилось понятие числа, не было осознано, что три ореха и три козы и три ребенка обладают общим свойством — их количество равно трем. Итак, появились числа 1, 2, 3, ..., которыми можно выразить количество коров в стаде, деревьев в саду, волос на голове.

Эти числа впоследствии получили название натуральных. Гораздо позднее появился ноль, которым обозначали отсутствие рассматриваемых предметов. Однако ремесленникам и торговцам этих чисел было мало, поскольку возникали задачи деления на части земли, наследства и многого другого. Так появились дроби и правила обращения с ними. Теперь торговцам и ремесленникам чисел было уже достаточно, но еще математики Древней Греции, ученики знаменитого Пифагора, обнаружили, что есть числа, которые не выражаются никакой дробью. Первым таким числом стала длина диагонали квадрата, сторона которого равна единице. Эта так поразило пифагорейцев, что они долгое время держали открытие в тайне. Новые числа стали называть иррациональными — недоступными пониманию, а целые числа и дроби — рациональными числами. На этом история числа не окончилась. Эти числа впоследствии получили название натуральных. Гораздо позднее появился ноль, которым обозначали отсутствие рассматриваемых предметов. Однако ремесленникам и торговцам этих чисел было мало, поскольку возникали задачи деления на части земли, наследства и многого другого. Так появились дроби и правила обращения с ними. Теперь торговцам и ремесленникам чисел было уже достаточно, но еще математики Древней Греции, ученики знаменитого Пифагора, обнаружили, что есть числа, которые не выражаются никакой дробью. Первым таким числом стала длина диагонали квадрата, сторона которого равна единице. Эта так поразило пифагорейцев, что они долгое время держали открытие в тайне. Новые числа стали называть иррациональными — недоступными пониманию, а целые числа и дроби — рациональными числами. На этом история числа не окончилась.

Математики ввели отрицательные числа, которые оказались очень удобными при решении многих задач. Казалось бы, уже все, но в ряде случаев возникает потребность найти число, квадрат которого равен единице. Среди известных чисел такого не оказалось, поэтому его обозначили буквой и назвали мнимой единицей. Числа, полученные умножением ранее известных чисел на мнимую единицу, например 2 или 2/4, стали называть мнимыми в отличие от существовавших, которые стали называть действительными или вещественными, а суммы действительных и мнимых чисел, такие как 5 + 3, стали называть комплексными числами. Сначала многие математики не признавали комплексных чисел, пока не убедились в том, что с их помощью можно решать многие технические задачи, которые до этого не поддавались решению. Так, с их помощью русский математик и механик Николай Егорович Жуковский создал теорию парения, показал, как можно рассчитывать подъемную силу, возникающую при обтекании воздухом крыла самолета. А история числа продолжается. Математики рассматривают различные новые объекты, которые имеют свойства, сходные со свойствами обыкновенных чисел. Математики ввели отрицательные числа, которые оказались очень удобными при решении многих задач. Казалось бы, уже все, но в ряде случаев возникает потребность найти число, квадрат которого равен единице. Среди известных чисел такого не оказалось, поэтому его обозначили буквой и назвали мнимой единицей. Числа, полученные умножением ранее известных чисел на мнимую единицу, например 2 или 2/4, стали называть мнимыми в отличие от существовавших, которые стали называть действительными или вещественными, а суммы действительных и мнимых чисел, такие как 5 + 3, стали называть комплексными числами. Сначала многие математики не признавали комплексных чисел, пока не убедились в том, что с их помощью можно решать многие технические задачи, которые до этого не поддавались решению. Так, с их помощью русский математик и механик Николай Егорович Жуковский создал теорию парения, показал, как можно рассчитывать подъемную силу, возникающую при обтекании воздухом крыла самолета. А история числа продолжается. Математики рассматривают различные новые объекты, которые имеют свойства, сходные со свойствами обыкновенных чисел.

ПРО УМНОЖЕНИЕ Что остается у большинства людей в голове из того, что они когда-то изучали в школе? Конечно, у разных людей — разное, но у всех наверняка таблица умножения. Помимо усилий, приложенных для ее «задалбливания», вспомним сотни (если не тысячи) задач, решенных нами с ее помощью. Триста лет назад в Англии человек, знающий таблицу умножения, уже считался ученым человеком. 30 Способов умножения было придумано . Итальянский математик конца XV —начала XVI века Лука Пачиоли в трактате об арифметике приводит 8 различных способов умножения.

В первом, который носит название «маленький замок», цифры верхнего числа, начиная со старшей, поочередно умножаются на нижнее число и записываются в столбик с добавлением нужного числа нулей. Затем результаты складываются . Преимущество этого метода перед обычным состоит в том, что уже с самого начала определяются цифры старших разрядов, а это бывает важно при прикидочных расчетах. Второй способ носит не менее романтическое название «ревность» (или решетчатое умножение). Рисуется решетка в которую затем вписывают результаты промежуточных вычислений, точнее, числа из таблицы умножения. Решетка является прямоугольником, разделенным на квадратные клетки, которые, в свою очередь, разделены пополам диагоналями. В первом, который носит название «маленький замок», цифры верхнего числа, начиная со старшей, поочередно умножаются на нижнее число и записываются в столбик с добавлением нужного числа нулей. Затем результаты складываются . Преимущество этого метода перед обычным состоит в том, что уже с самого начала определяются цифры старших разрядов, а это бывает важно при прикидочных расчетах. Второй способ носит не менее романтическое название «ревность» (или решетчатое умножение). Рисуется решетка в которую затем вписывают результаты промежуточных вычислений, точнее, числа из таблицы умножения. Решетка является прямоугольником, разделенным на квадратные клетки, которые, в свою очередь, разделены пополам диагоналями.

Слева (сверху вниз) писался первый множитель, а наверху — второй. На пересечении соответствующей строки и столбца писалось произведение стоящих в них цифр. Затем полученные числа складывались вдоль проведенных диагоналей, а результат записывался в конце такого столбика. Результат прочитывался вдоль нижней и правой сторон прямоугольника. «Такая решетка, —пишет Лука Пачиоли, — напоминает решет- чатые ставни-жалюзи, которые вешались на венецианские окна, мешая прохожим видеть сидящих у окон дам и монахинь». Все способы умножения, описанные в книге Луки Пачиоли, использовали таблицу умножения. Слева (сверху вниз) писался первый множитель, а наверху — второй. На пересечении соответствующей строки и столбца писалось произведение стоящих в них цифр. Затем полученные числа складывались вдоль проведенных диагоналей, а результат записывался в конце такого столбика. Результат прочитывался вдоль нижней и правой сторон прямоугольника. «Такая решетка, —пишет Лука Пачиоли, — напоминает решет- чатые ставни-жалюзи, которые вешались на венецианские окна, мешая прохожим видеть сидящих у окон дам и монахинь». Все способы умножения, описанные в книге Луки Пачиоли, использовали таблицу умножения.

Однако русские крестьяне умели умножать и без таблицы. Их способ умножения использовал лишь умножение и деление на 2. Чтобы перемножить два числа, их записывали рядом , а затем левое число делили на 2, а правое умножали на 2. Если при делении получался остаток, то его отбрасывали. Затем вычеркивались те строчки в левой колонке, в которых стоят четные числа. Оставшиеся числа в правой колонке складывались. В результате получалось произведение первоначальных чисел. Проверьте на нескольких парах чисел, что это действительно так. Доказательство справедливости этого метода показывается с помощью двоичной системы Однако русские крестьяне умели умножать и без таблицы. Их способ умножения использовал лишь умножение и деление на 2. Чтобы перемножить два числа, их записывали рядом , а затем левое число делили на 2, а правое умножали на 2. Если при делении получался остаток, то его отбрасывали. Затем вычеркивались те строчки в левой колонке, в которых стоят четные числа. Оставшиеся числа в правой колонке складывались. В результате получалось произведение первоначальных чисел. Проверьте на нескольких парах чисел, что это действительно так. Доказательство справедливости этого метода показывается с помощью двоичной системы

Практическая часть Я хочу сравнить как решали в прошлом и насколько это удобный способ умножение.

Вывод Существуют альтернативные способы решения задач превосходящие современные по лёгкости понимания длительности времени решения.

Список литературы Н.Н.Аменицкий, И.П.Ахаров. Забавная арифметика А.Ю.Катова, А.П.Савин, В.В.Станцо. Занимательная математика в рассказах для детей.

Спасибо за внимание