🗊Презентация Решение заданий по математике. ЕГЄ

Решение задания 14 из ЕГЭ по математике Китаев Г 10 «Б»

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания АВ равна 16, а высота равна 4. На ребрах АВ, CD и AS отмечены точки M, N и К соответственно, причем AM = DN = 4 и АК = 3. а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны. б) Найдите расстояние от точки КLN до плоскости SBC.

а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны: а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны:  Поскольку прямая MN параллельна прямой DA, которая принадлежит плоскости DAS, то прямая MN параллельна плоскости DAS. Следовательно, линия пересечения плоскости DAS  и сечения KMN будет параллельна прямой MN. Тогда это линия KL. Следовательно KMNL — искомое сечение. Докажем, что плоскость сечения параллельна плоскости SBC.  Прямая BC параллельна прямой MN, так как четырехугольник MNCB является прямоугольником . Теперь докажем подобие треугольников AKM и ASB. AC — диагональ квадрата. По теореме Пифагора для треугольника ADC находим:

AH — половина диагонали квадрата, поэтому Тогда из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника AHS находим: Тогда получаем соотношения: Получается, что стороны, образующие угол A в треугольниках AKM и ASB, пропорциональны. Следовательно, треугольники подобны. Из этого следует равенство углов AMK и ABS. Так как эти углы соответственные при прямых KM, SB и секущей MB, то KM параллельна SB.

Итак, мы получили, что две пересекающиеся прямые одной плоскости (KM и NM) соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (SB и BC). Следовательно, плоскости MNK и SBC параллельны. MNK  || SBC  ЧТД.

б) Найдите расстояние от точки КLN до плоскости SBC. Поскольку плоскости параллельны, расстояние от точки K до плоскости SBC равно расстоянию от точки S до плоскости KMN. Ищем это расстояние. Из точки S опускаем перпендикуляр SP к прямой DA. Плоскость SPH пересекается с плоскостью сечения по прямой OR. Искомое расстояние есть длин перпендикуляра из точки S к прямой OR. KL перпендикулярна плоскости OSR, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости (OR и OS). Перпендикулярность OR и KL следует из теоремы о трёх перпендикулярах. Следовательно, KL перпендикулярна высоте треугольника ORS, проведенной к стороне OR. То есть эта высота перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости KMN, а значит перпендикулярна этой плоскости.

Ищем стороны треугольника SOR. Сторону SR ищем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника RSH: Длину SP находим по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника PSH: Треугольники SOK и SPA подобны с коэффициентом подобия Тогда Из прямоугольного треугольника SPH находим 

Из теоремы косинусов для треугольника POR находим, что Из теоремы косинусов для треугольника SOR находим  Тогда из основного тригонометрического тождества находим Тогда площадь треугольника OSR равна: Площадь можно представить так: , где h искомая высота, тогда