Симметрические системы уравнений Автор: Гончаровская Алина учащаяся 11 класса МОУ Рощинской СОШ «Образовательный центр» Руков

Нажмите для полного просмотра!

Симметрические системы уравнений Автор: Гончаровская Алина учащаяся 11 класса МОУ Рощинской СОШ «Образовательный центр» Руков, слайд №2

Симметрические системы уравнений Автор: Гончаровская Алина учащаяся 11 класса МОУ Рощинской СОШ «Образовательный центр» Руков, слайд №3

Симметрические системы уравнений Автор: Гончаровская Алина учащаяся 11 класса МОУ Рощинской СОШ «Образовательный центр» Руков, слайд №4

Симметрические системы уравнений Автор: Гончаровская Алина учащаяся 11 класса МОУ Рощинской СОШ «Образовательный центр» Руков, слайд №5

Симметрические системы уравнений Автор: Гончаровская Алина учащаяся 11 класса МОУ Рощинской СОШ «Образовательный центр» Руков, слайд №6

Симметрические системы уравнений Автор: Гончаровская Алина учащаяся 11 класса МОУ Рощинской СОШ «Образовательный центр» Руков, слайд №7

Симметрические системы уравнений Автор: Гончаровская Алина учащаяся 11 класса МОУ Рощинской СОШ «Образовательный центр» Руков, слайд №8

Симметрические системы уравнений Автор: Гончаровская Алина учащаяся 11 класса МОУ Рощинской СОШ «Образовательный центр» Руков, слайд №9

Симметрические системы уравнений Автор: Гончаровская Алина учащаяся 11 класса МОУ Рощинской СОШ «Образовательный центр» Руков, слайд №10

Симметрические системы уравнений Автор: Гончаровская Алина учащаяся 11 класса МОУ Рощинской СОШ «Образовательный центр» Руков, слайд №11

Симметрические системы уравнений Автор: Гончаровская Алина учащаяся 11 класса МОУ Рощинской СОШ «Образовательный центр» Руков, слайд №12

Симметрические системы уравнений Автор: Гончаровская Алина учащаяся 11 класса МОУ Рощинской СОШ «Образовательный центр» Руков, слайд №13

Симметрические системы уравнений Автор: Гончаровская Алина учащаяся 11 класса МОУ Рощинской СОШ «Образовательный центр» Руков, слайд №14

Симметрические системы уравнений Автор: Гончаровская Алина учащаяся 11 класса МОУ Рощинской СОШ «Образовательный центр» Руков, слайд №15

Симметрические системы уравнений Автор: Гончаровская Алина учащаяся 11 класса МОУ Рощинской СОШ «Образовательный центр» Руков, слайд №16

Симметрические системы уравнений Автор: Гончаровская Алина учащаяся 11 класса МОУ Рощинской СОШ «Образовательный центр» Руков, слайд №17

Симметрические системы уравнений Автор: Гончаровская Алина учащаяся 11 класса МОУ Рощинской СОШ «Образовательный центр» Руков, слайд №18

Симметрические системы уравнений Автор: Гончаровская Алина учащаяся 11 класса МОУ Рощинской СОШ «Образовательный центр» Руков, слайд №19

Симметрические системы уравнений Автор: Гончаровская Алина учащаяся 11 класса МОУ Рощинской СОШ «Образовательный центр» Руков, слайд №20

Симметрические системы уравнений Автор: Гончаровская Алина учащаяся 11 класса МОУ Рощинской СОШ «Образовательный центр» Руков, слайд №21

Симметрические системы уравнений Автор: Гончаровская Алина учащаяся 11 класса МОУ Рощинской СОШ «Образовательный центр» Руков, слайд №22

Симметрические системы уравнений Автор: Гончаровская Алина учащаяся 11 класса МОУ Рощинской СОШ «Образовательный центр» Руков, слайд №23

Симметрические системы уравнений Автор: Гончаровская Алина учащаяся 11 класса МОУ Рощинской СОШ «Образовательный центр» Руков, слайд №24

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Симметрические системы уравнений Автор: Гончаровская Алина учащаяся 11 класса МОУ Рощинской СОШ «Образовательный центр» Руков. Доклад-сообщение содержит 24 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Симметрические системы уравнений Автор: Гончаровская Алина учащаяся 11 класса МОУ Рощинской СОШ «Образовательный центр» Руководитель: Пятовская Людмила Петровна – учитель математики высшей категории

Слайд 2

Описание слайда:

Оглавление 1. Введение 2. Понятие симметрии, её основные виды 3. Решение задач при помощи симметрии 4. Симметрические системы 5. Способы решения симметрических систем. Метод замены переменных 6. Теоремы, используемые при решении симметрических систем 7. Заключение 8. Список используемой литературы

Слайд 3

Описание слайда:

Введение Проблема моего проекта заключается в том, что для успешной сдачи ЕГЭ требуется умение решать различные системы уравнений, а в курсе средней школы им отведено недостаточно времени, необходимого познать этот вопрос глубже. Цель работы: подготовиться к успешной сдачи ЕГЭ. Задачи работы: Расширить свои знания в области математики, связанные с понятием «симметрия». Повысить свою математическую культуру, используя понятие «симметрия» при решении систем уравнений, называемых симметрическими, а также других задач математики.

Слайд 4

Описание слайда:

Понятие симметрии. Симме́три́я — (др.-греч. συμμετρία), в широком смысле — неизменность при каких-либо преобразованиях. Так, например, сферическая симметрия тела означает, что вид тела не изменится, если его вращать в пространстве на произвольные углы. Двусторонняя симметрия означает, что право и лево относительно какой-либо плоскости выглядят одинаково.

Слайд 5

Описание слайда:

Симметрия бывает: Симметрия бывает: двусторонняя; симметрия n-порядка; аксиальная; сферическая; трансляционная

Слайд 6

Описание слайда:

Решение задач при помощи симметрии. Задача №1 Двое по очереди кладут одинаковые монеты на круглый стол, причём монеты не должны накрывать друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре? (Иначе говоря, у какого из игроков есть выигрышная стратегия?)

Слайд 7

Описание слайда:

Задача №2 На плоскости дана прямая l и точки A и B по одну сторону от неё. Нужно найти на прямой такую точку C, чтобы сумма длин отрезков AC и BC была минимальна.

Слайд 8

Описание слайда:

Задача №3 На плоскости дан правильный n-угольник A1A2... An, точка O - его центр (рис. 3). Найти вектор .

Слайд 9

Описание слайда:

Задача №4 При каких a и b система уравнений

Слайд 10

Описание слайда:

Последняя задача и является примером симметрической системы. Последняя задача и является примером симметрической системы. Функция f (x;y) называется симметрической, если для всех x и y выполнено равенство

Слайд 11

Описание слайда:

Примеры симметрических функций: u = x +y; u = 2x 2 -3xy+2y 2 , v = xy; u = x 2 + y 2 ;

Слайд 12

Описание слайда:

Способы решения симметрических систем. Симметрические системы можно решать методом замены переменных, в роли которых выступают основные симметрические многочлены. Симметрическая система двух уравнений с двумя неизвестными х и у решается подстановкой u = х + у , v = ху.

Слайд 13

Описание слайда:

Пример №1: х 2+ ху + у 2 =13, х + у = 4; Пусть х + у = u, ху = v. u 2 – v = 13, u = 4; 16 – v = 13, u = 4; v = 3, u = 4;

Слайд 14

Описание слайда:

Пример №2 3 х 2у – 2ху + 3ху 2 = 78, 2х – 3ху + 2у + 8 = 0 С помощью основных симметрических многочленов система может записана в следующем виде 3uv – 2v = 78, 2u – 3v = -8. Выражая из второго уравнения u = и подставляя его в первое уравнение, получим 9v2– 28v – 156 = 0. Корни этого уравнения v 1 = 6 и v 2 = - позволяют найти соответствующие им значения u1 = 5, u2= - из выражения u = .

Слайд 15

Описание слайда:

Решим теперь следующую совокупность систем Решим теперь следующую совокупность систем х + у = 5, и х + у = - , ху = 6 ху = - . х = 5 – у, и у = -х - , ху = 6 ху = - . х = 5 – у, и у = -х - , у (5 – у) = 6 х (-х - ) = - . х = 5 – у, и у = -х - , у 1= 3, у 2 =2 х 1 = , х 2 = - х 1 = 2, х 2 = 3, и х 1 = , х 2 = - у 1= 3, у 2 =2 у 1 = - , у 2= Ответ: (2; 3), (3; 2), ( ; - ), (- ; ).

Слайд 16

Описание слайда:

Пример №3:

Слайд 17

Описание слайда:

Теоремы, используемые при решении симметрических систем. Теорема 1. (о симметрических многочленах) Любой симметрический многочлен от двух переменных представим в виде функции от двух основных симметрических многочленов Другими словами, для любого симметрического многочлена f (x, y) существует такая функция двух переменных φ (u, v), что

Слайд 18

Описание слайда:

Теорема 2. (о симметрических многочленах) Теорема 2. (о симметрических многочленах) Любой симметрический многочлен от трёх переменных представим в виде функции от трёх основных симметрических многочленов: Другими словами, для любого симметрического многочлена f (x, y) существует такая функция трёх переменных θ (u, v, w), что

Слайд 19

Описание слайда:

Более сложные симметрические системы – системы, содержащие модуль: | x – y | + y2 = 3, | x – 1 | + | y – 1 | = 2. Рассмотрим данную систему отдельно при х < 1 и при х ≥ 1. Если х < 1, то: а) при у < х система принимает вид х – у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2, или х – у + у 2 = 3, х + у = 0, откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = - 3, у2 = 3. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;

Слайд 20

Описание слайда:

б) при х ≤ у < 1 система принимает вид б) при х ≤ у < 1 система принимает вид - х + у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2, или - х + у + у 2 = 3, х + у = 0, откуда находим х 1 = 3, у 1 = - 3; х 2 = - 1, у 2 = 1. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области; в) при у ≥ 1 (тогда у > х) система принимает вид - х + у + у 2 = 3, - х + 1 + у – 1 = 2, или - х + у + у 2 = 3, х – у = - 2, откуда находим х 1 = - 3, у 1 = - 1, х 2 = - 1, у 2 = 1. Вторая пара чисел принадлежит рассматриваемой области, т. е. является решением данной системы.

Слайд 21

Описание слайда:

Если х ≥ 1, то: Если х ≥ 1, то: а) х > у и у < 1 система принимает вид х – у + у 2 = 3, х – 1 – у = 1 = 2, или х – у + у 2= 3, х – у = 2, откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = 4, у 2 = 2. Первая пара чисел принадлежит рассматриваемой области, т. Е. является решением данной системы; б) при х > у и у ≥ 1 система принимает вид х – у + у 2 = 3, х – 1 + у – 1 = 2, или х – у + у 2 = 3, х + у = 4, откуда находим х = 1, у = 3. Эта пара чисел не принадлежит рассматриваемой области;

Слайд 22

Описание слайда:

в) при х ≤ у (тогда у ≥ 1) система принимает вид в) при х ≤ у (тогда у ≥ 1) система принимает вид - х + у + у 2 = 3, х – 1 + у – 1 = 2, или - х + у + у 2 = 3, х + у = 4, откуда находим х 1 = 5 + √8, у 1 = - 1 - √8; х 2 = 5 - √8, у 2 = - 1 + √8. Эти пары чисел не принадлежат рассматриваемой области. Таким образом, х 1 = - 1, у 1 = 1; х 2 = 1, у 2 = - 1. Ответ: ( - 1; 1); ( 1; - 1).

Слайд 23

Описание слайда:

Заключение Математика развивает мышление человека, учит посредством логики находить разные пути решения. Так, научившись решать симметрические системы, я поняла, что использовать их можно не только для выполнения конкретных примеров, но я для решения разного рода задач. Я думаю, что проект может принести пользу не только мне. Для тех, кто так же захочет ознакомиться с этой темой, моя работа будет являться хорошим помощником.

Слайд 24

Описание слайда:

Список используемой литературы: Башмаков М. И., «Алгебра и начала анализа», 2-е издание, Москва, «Просвещение», 1992, 350 стр. Рудченко П. А., Яремчук Ф. П., «Алгебра и элементарные функции», справочник; издание третье, переработанное и дополненное; Киев, Наукова, Думка, 1987, 648 стр. Шарыгин И. Ф., « Математика для школьников старших классов», Москва, издательский дом «Дрофа», 1995, 490 стр. Интернет-ресурсы: