Системы дифференциальных уравнений - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Системы дифференциальных уравнений, слайд №1

Системы дифференциальных уравнений, слайд №2

Системы дифференциальных уравнений, слайд №3

Системы дифференциальных уравнений, слайд №4

Системы дифференциальных уравнений, слайд №5

Системы дифференциальных уравнений, слайд №6

Системы дифференциальных уравнений, слайд №7

Системы дифференциальных уравнений, слайд №8

Системы дифференциальных уравнений, слайд №9

Системы дифференциальных уравнений, слайд №10

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Системы дифференциальных уравнений. Доклад-сообщение содержит 10 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Глава 1. Дифференциальные уравнения

Слайд 2

Описание слайда:

§1. Основные понятия и определения Системой обыкновенных дифференциальных уравнений называется система n уравнений, которые связывают независимую переменную x, n искомых функций y1 , y2 , …, yn и их производные до порядков m1 , m2 , …, mn соответственно.  Общий вид системы ОДУ: (1) где x – независимая переменная, yi(x) – искомые функции, Fi(x) – известные функции. Краткая запись системы (1):

Слайд 3

Описание слайда:

Замечание. Всегда будем предполагать, что число уравнений в систему ОДУ равно числу неизвестных функций. Замечание. Всегда будем предполагать, что число уравнений в систему ОДУ равно числу неизвестных функций. Системы ОДУ, в которых число уравнений меньше числа неизвестных функций, называются уравнениями Монжа. Совокупность n функций y1 = y1(x) , y2 = y2(x) , …, yn = yn(x) называется решением системы (1) на интервале (a;b), если она обращает на (a;b) каждое уравнение этой системы в тождество.

Слайд 4

Описание слайда:

Система ДУ, которая может быть разрешена относительно старших производных всех входящих в нее функций, называется канонической. Система ДУ, которая может быть разрешена относительно старших производных всех входящих в нее функций, называется канонической.  Общий вид канонической системы ДУ: (2) где x – независимая переменная, yi(x) – искомые функции, fi(x) – известные функции. Краткая запись системы (2):

Слайд 5

Описание слайда:

Частный случай канонической системы – система уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной всех искомых функций, т. е. система вида: Частный случай канонической системы – система уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной всех искомых функций, т. е. система вида: (3) Система (3) называется нормальной. Если известные функции fi системы (3) не зависят от свободной переменной x, то она называется автономной (стаци- онарной). Число уравнений нормальной системы (3) называется ее порядком.

Слайд 6

Описание слайда:

В дальнейшем будем рассматривать только нормальные системы, т.к. любую каноническую систему (2) всегда можно заменить эквивалентной ей нормальной системой из k = m1 + m2 + … +mn уравнений. В дальнейшем будем рассматривать только нормальные системы, т.к. любую каноническую систему (2) всегда можно заменить эквивалентной ей нормальной системой из k = m1 + m2 + … +mn уравнений. Для этого достаточно ввести k новых функций полагая, что Любая система ДУ имеет множество решений. Для выбора одного решения задают начальные условия: y1(x0) = y10 , y2(x0) = y20 , …, yn(x0) = yn0 . (4) Задача нахождения решения системы ДУ, удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши.

Слайд 7

Описание слайда:

ТЕОРЕМА 1 (о существовании и единственности решения задачи Коши). ТЕОРЕМА 1 (о существовании и единственности решения задачи Коши). Пусть в системе (3) функции fi(x , y1, y2 , …, yn) удовлетворяют двум условиям: 1) функции fi(x , y1, y2 , …, yn) непрерывны как функции (n + 1)-ой переменной x , y1, y2 , …, yn в некоторой области D (n + 1)-мерного пространства; 2) их частные производные по переменным y1, y2 , …, yn в области D ограничены. Тогда для любой фиксированной точки M0(x0 ,y10 , y20 , …, yn0) области D существует, и притом единственное, решение y1 = 1(x) , y2 = 2(x) , …, yn = n(x) системы (3), определенное в некоторой окрестности точки x0, и удовлетворяющее начальным условиям (4).

Слайд 8

Описание слайда:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Совокупность n функций ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Совокупность n функций y1 = 1(x , C1 , C2 , …, Cn ) y2 = 2(x , C1 , C2 , …, Cn ) ……………………………. yn = n(x , C1 , C2 , …, Cn ) зависящих от x и n произвольных постоянных C1 , C2 , …, Cn , называется общим решение системы (3), если: 1) при любых допустимых значениях постоянных C1 , C2 , …, Cn она обращает все уравнения системы (3) в тождество, т. е. определяет решение системы; 2) для любых допустимых начальных условий найдутся такие значения констант C̃1 , C̃2 , …, C̃n , при которых функции совокупности (5) удовлетворяют заданным начальным условиям, т.е. 1(x0 , C̃1 , C̃2 , …, C̃n ) = y10 , … , n(x0 , C̃1 , C̃2 , …, C̃n ) = yn0 . Любое решение, которое получается из общего при конкретных постоянных Ci, будем называть частным.

Слайд 9

Описание слайда:

§2. Метод исключения ТЕОРЕМА 1. Любое дифференциальное уравнение n-го порядка может быть заменено эквивалентной ему нормальной системой порядка n. Справедливо также и обратное утверждение. ТЕОРЕМА 2. Всякая нормальная система n-го порядка может быть заменена эквивалентным ей дифференциальным уравнением порядка n.

Слайд 10

Описание слайда:

Интегрирование системы дифференциальных уравнений путем сведения ее к одному уравнению порядка n, называется методом исключения. Интегрирование системы дифференциальных уравнений путем сведения ее к одному уравнению порядка n, называется методом исключения. Замечание. Уравнение порядка n в теореме 2 было получено в предположении, что y2 , y3 , …, yn можно выразить как функции Но в ряде случаев это сделать невозможно (например, если первое уравнение имеет вид y1 = f(x , y1)). Тогда следует заменить систему уравнением порядка n относительно функции yi (i  1). Для системы ДУ нельзя получить эквивалентного ей уравнения порядка n только тогда, когда система распадается на отдельные уравнения, т.е. является не системой, а совокупностью уравнений.