🗊Презентация Случайные величины и функции распределения (лекция 1)

Случайные величины и функции распределения (Ахметов С.К.)

Основные задачи и темы курса Цели и задачи курса «Математические методы обработки гидрологической информации» Случайные величины и функции распределения Аналитические функции распределения, используемые в гидрологии Построение кривых обеспеченностей и оценка параметров распределения по эмпирическим данным Интервальное оценивание параметров и проверка статистических гипотез Статистический анализ зависимостей между гидрологическими переменными Случайные процессы

Случайные величины Большое число факторов, влияющих на гидрологические характеристики – одно из обоснований для обработки гидрологических данных с использованием аппарата теории вероятностей Случайная величина (СВ) – это величина, значение которой меняется от опыта к опыту Неслучайные или детерминированные величины - это величины, значения которых от опыта к опыту не меняются

Закон распределения случайной величины Закон распределения СВ задан, если: указано множество возможных значений СВ указан способ количественного определения вероятности попадания СВ в любую область из множества возможных значений Вероятность – Р попадания СВ в интервал [a,b] можно определить следующим образом: P(a,b) = где m – число наблюдений СВ, оказавшихся в заданной области; N – общее число наблюдений. Аналитическими выражениями законов распределения случайной величины являются функции распределения – интегральная и дифференциальная.

Интегральная функция распределения F(x) Интегральная функция распределения F(x) СВ X показывает вероятность того, что СВ не превысит некоторого заданного числа x, т.е. F(x) = P { X ≤ x}  

Интегральная функция распределения F(x) Вероятность того, что значение СВ Х заключено между х1 и х2 равно разности значений функций распределения, вычисленных в двух точках:  P {x1 < X ≤ x2} = F(x2) - F(x1)  аналогично   P {X > x} = P {+ ∞ > X > x} = 1 – F(x)

Функция обеспеченности P(х) В гидрологической практике вместо функции F(x) часто используется функция обеспеченности P(х), но с включением в интервал изменений значения х P(х) = 1 - F(x) = P {X ≥ x} То есть функция обеспеченности P(х) СВ Х показывает вероятность превышения некоторого заданного числа х

Свойства интегральной функции распределения F(x) и функция обеспеченности P(х)

Дифференциальная функция распределения вероятностей Если функция распределения F(x) дифференцируема для всех значений СВ Х, то закон распределения вероятностей может быть выражен и в виде дифференциальной функции распределения вероятностей

Свойства функции плотности вероятности f(x) С помощью дифференциальной функции распределения можно вычислить вероятность попадания СВ с любую заданную область из множества возможных значений, в частности:

Вычисление вероятности попадания СВ в заданную область с помощью дифференциальной функции распределения

Дискретные и непрерывные случайные величины Дискретная СВ – это СВ, которая принимает только конечные или счетное множество значений: х1, х2, х3….. Непрерывная СВ может принимать любые значения из некоторого замкнутого или открытого интервала, в том числе и бесконечного. Интегральная функция распределения дискретной СВ Х в практических ситуациях представляет собой ступенчатую функцию со скачками в точках х1, х2, х3….

Ряд распределения СВ Интегральная функция распределения F(x) дискретной СВ не дифференцируема. Поэтому вместо функции плотности вероятности используется ее дискретный аналог, который называется рядом распределения и может представляться в виде таблицы

Числовые характеристики случайных величин. Мода Мода, медиана, математическое ожидание - это параметры, характеризующие положение центра распределения. Модой Мо непрерывной СВ Х называется такое ее значение, которому соответствует максимум плотности вероятности Модой Мо дискретной СВ Х называется наиболее вероятное значение СВ

Медиана Медианой Ме непрерывной СВ Х называется такое ее значение, при котором

Математическое ожидание (МО) Математическое ожидание (МО) СВ определяется следующими формулами

Математическое ожидание (МО) Математическим ожиданием может называться генеральное среднее, в этом случае для обозначения МО используется символ N, где N→∞.

Моменты случайной величины Различают начальные и центральные моменты СВ Начальный момент S – го порядка СВ равен

Дисперсия Вторую группу наиболее часто используемых на практике параметров составляют параметры, характеризующие степень рассеяния СВ относительно центра распределения. К ним относится дисперсия, среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации. Дисперсия СВ Х представляет собой второй центральный момент, то есть

Среднеквадратичное отклонение Коэффициент вариации Среднеквадратичное отклонение (СКО) СВ Х (стандарт) это квадратный корень из дисперсии.

Асимметрия Коэффициент асимметрии С является безразмерным параметром и характеризует степень симметричности рассеяния относительно математического ожидания. Коэффициент асимметрии определяется формулой

Эксцесс Эксцесс Ех также является безразмерным параметром и определяется формулой

Влияние коэффициента вариации (а) и эксцесса (б) на форму функции плотности вероятности

Свойства математического ожидания 1. МО постоянной величины равно самой этой величине: М[c] = c, где с – константа 2. Постоянный множитель можно выносить за знак МО: M[cX] = cM[X] 3. МО суммы независимых СВ равно сумме их МО

Свойства дисперсии Дисперсия постоянной величины равно нулю D[c] = 0, где с = const.   2. Постоянную величину можно вынести за знак дисперсии, возведя ее в квадрат

Стандартные преобразования случайных величин. В гидрологической практике наиболее часто используется замена СВ Х модульными коэффициентами и замена СВ стандартной нормированной СВ. Модульным коэффициентом называется соотношение СВ к ее математическому ожиданию ki = xi/mx Стандартная нормированная величина может быть получена из СВ по формуле  ti = (xi - mx)/σx или с учетом формулы выше ti = (ki - 1)/Cv

Квантили распределения Во многих практических случаях необходимо по заданной вероятности не превышения F(x) = p’ определить величину x’p. Для обозначения x’p в этом случае в математической статистике используется специальный термин – квантиль р – квантилем называется значение случайной величины x’p, соответствующее заданному значению вероятности непревышения F(x) = p’. По аналогии с квантилями в гидрологической практике используется р – ординаты кривой обеспеченности Ординатой кривой обеспеченности называется такое значение СВ Х (хр), которое соответствует заданной вероятности превышения Р(х) = р То есть Р(х)= 1- F(x), следовательно, р и р’ связаны соотношением р = 1 - р’ или (если р в %) р = 100 - р’

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!