🗊Презентация Случайные величины (лекция 3)

Математические методы в биологии Блок 2. Случайные величины Лекция 3

Дискретная случайная величина Случайная величина – величина, которая в результате испытания принимает одно и только одно возможное значение, наперёд не известное и зависящее от случайных обстоятельств, которые заранее не могут быть учтены. Пример. Выпадение определённого числа очков на игральной кости (от 1 до 6). Число очков – случайная величина. Дискретная случайная величина – случайная величина, которая может принимать конечные, изолированные значения из некоторого числового промежутка Непрерывная случайная величина – случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого числового промежутка Пример. Содержание какого-либо фермента в крови Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины – это сопоставление всех возможных значений случайной величины и их вероятностей. Тривиальный пример. Случайная величина – сторона монетки. Она принимает два изолированных значения – либо «орёл», либо «решка» и подчинена следующему закону распределения:

Способы задания распределения вероятностей дискретной случайной величины Таблично Из ящика, в котором лежат 2 белых и 8 чёрных шаров, последовательно вынимают шары до тех пор, пока не появится чёрный шар. Число вынутых шаров – есть дискретная случайная величина X, которая может принимать изолированные значения на промежутке от 1 до 3. Зададим закон её распределения таблично. Графически Аналитически

Биномиальное распределение n независимых испытаний Событие A появляется в каждом из них с вероятностью p Дискретная случайная величина X – число испытаний, в которых появилось событие A ВОПРОС: Можем ли мы задать закон распределения дискретной случайной величины X? ОТВЕТ: Да, для этого нужно знать: Возможные значения случайной величины X Вероятности того, что X примет каждое из этих возможных значений Найдём a): X=0,1,2,…,n (всего n+1 значений) Найдём b): , где k=X=0,1,2,…,n (формула Бернулли)

Биномиальное распределение. Пример. Монета брошена 5 раз. Задать распределение случайной величины X – числа выпадения «гербов» аналитически, таблично и графически. Решение. n=5, X=0,1,2,…,5 (всего 6 возможных значений). Аналитически: Таблично: i=1, Xi=0. i=2, Xi=1. i=3, Xi=2. i=4, Xi=3. i=5, Xi=4. i=6, Xi=5.

Геометрическое распределение Событие A появляется в каждом из независимых испытаний с вероятностью p Пусть испытания заканчиваются, как только появляется событие A X – дискретная случайная величина – число событий до первого появления A (включая само событие, в котором A появилось) ВОПРОС: Можем ли мы задать закон распределения дискретной случайной величины X? ОТВЕТ: Да, для этого для каждого номера испытания k надо задать вероятность того, что в предыдущих (k-1) испытаниях событие не наступило, а наступило оно только в k-ом испытании! Так как все испытания независимы в совокупности, по формуле умножения вероятностей

Геометрическое распределение. Пример. Стрелок стреляет по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель = 0,6. Задать распределение дискретной случайной величины X – числа выстрелов до первого попадания. Решение. … Сходимость ряда вероятностей. По признаку Даламбера, если существует такое 0<c<1, что, начиная с некоторого n , то ряд сходится. Действительно, Чему равна сумма ряда? Для геометрической прогрессии со знаменателем |a|< 1 =>

Гипергеометрическое распределение Есть N деталей, из них M – без брака (M<N) Случайным образом отбираем n деталей X – дискретная случайная величина – число деталей без брака среди n ВОПРОС: Можем ли мы задать распределение дискретной случайной величины X? ОТВЕТ: Да, для этого нужно знать: Возможные значения случайной величины Вероятности того, что X примет каждое из этих возможных значений Найдём a): X=0,1,2,…,min(n,M) Найдём b): по классическому определению вероятности (число эл. исходов, благоприятствующих событию / общее число эл.исх.) - сколькими способами можно выбрать m деталей из M без брака - сколькими способами можно выбрать n-m деталей из N-M с браком

Гипергеометрическое распределение. Пример. Среди 50 деталей 20 окрашенных. Задать распределение дискретной случайной величины X – числа окрашенных деталей среди наудачу извлечённых пяти? Решение. N=50, M=20, n=5. Д.с.в. X принимает значения 0,1,2,…,min(5,20), т.е. (всего 6 значений). Аналитически: Таблично: 259 234 069 0073 Контроль: 0,067+0,259+0,36+0,234+0,069+0,0073≈1

Числовые характеристики дискретной случайной величины Математическое ожидание д.с.в.- сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности. Пример. Биномиальное распределение числа выпадения гербов в 5 подбросах. ВАЖНО: С увеличением числа испытаний среднее арифметическое значений д.с.в. стремится к математическому ожиданию. Мат.ожидание числа появлений события в одном испытании равно его вероятности. СВОЙСТВА МАТ.ОЖИДАНИЯ: Для независимых случайных величин X и Y Для n независимых случайных величин

Доказательства свойств М.о.

Математическое ожидание числа появления события в независимых испытаниях n независимых испытаний Событие A появляется в каждом из них с вероятностью p Дискретная случайная величина X – число появления события A в этих испытаниях ВОПРОС: Чему равно среднее число (математическое ожидание случайной величины X) появлений события A в испытаниях? ОТВЕТ: Математическое ожидание числа появлений события A в n испытаниях равно произведению n на p: M(X)=n*p Доказательство. Пусть X1 – число появления события A в первом испытании, X2 – во втором и.т.д, Xn – в n-ом. Всего событие A появилось X1+X2+…+Xn раз. По свойству математического ожидания суммы, M(X)=M(X1)+M(X2)+…+M(Xn). Так как математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно его вероятности, M(X1)=M(X2)=…=M(Xn)=p. Отсюда M(X)=n*p. Данная случайная величина X распределена по биномиальному закону, поэтому можно сказать, что МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ БИНОМИАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ N И P РАВНО ПРОИЗВЕДЕНИЮ N*P.

Резюме - формула биномиального распределения с параметрами n и p – формула геометрического распределения с параметром p - формула гипергеометрического распределения с параметрами N, M и n - формула математического ожидания дискретной случайной величины