🗊Презентация Случайные величины (лекция 4)

Математические методы в биологии Блок 2. Случайные величины Лекция 4

Задача о счастливом билете

Зная рекуррентное соотношение и для всех , Зная рекуррентное соотношение и для всех , составим таблицу для . Например, Назад к вероятности: Для 2х-знач. билетов Для 4х-знач. билетов Для 6ти-знач. билетов Для 8ми-знач. билетов Для 6ти-знач. билетов в среднем каждый 18й билет является счастливым!

Числовые характеристики дискретной случайной величины Математическое ожидание Две д.с.в. с одинаковым мат.ожиданием: Дисперсия (dispersion - рассеяние) – мера изменчивости случайной величины. Это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: ВОПРОС: Откуда квадрат?? OK, пусть без квадрата: Вычисление дисперсии «в лоб»:

Формула для вычисления дисперсии Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом математического ожидания X: Доказательство. [ Пример.

Свойства дисперсии Дисперсия постоянной величины равна 0: Доказательство. Постоянный множитель выносится за знак дисперсии возведённым в квадрат: Доказательство. Дисперсия суммы взаимно независимых случайных величин равна сумме их дисперсий Доказательство для двух слагаемых. Доказательство:

Дисперсия числа появлений событий в независимых испытаниях n независимых испытаний Событие A появляется в каждом из них с вероятностью p Дискретная случайная величина X – число появления события A в этих испытаниях ВОПРОС: Чему равна дисперсия случайной величины X - числа появлений события A в испытаниях? ОТВЕТ: Дисперсия числа появлений события A в n испытаниях равно произведению n на p на (1-p): D(X)=n*p*(1-p) Доказательство: Пусть X1 – число появления события A в первом испытании, X2 – во втором и.т.д, Xn – в n-ом. Всего событие A появилось X1+X2+…+Xn раз. По свойству дисперсии суммы, D(X)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn). Распишем D(X1), D(X2),…D(Xn): D(X1)=M(X12)-(M(X1))2 Дискретная случайная величина X12 (как и X1) принимает значение 1 с вероятностью p (событие случилось) и значение 0 с вероятностью (1-p) (событие не случилось). Поэтому D(X1)=1*p+0*(1-p)-(1*p+0*(1-p))2=p-p2=p(1-p). И так для каждого n, поэтому D(X)=n*p*(1-p). Данная случайная величина X распределена по биномиальному закону, поэтому можно сказать, что ДИСПЕРСИЯ БИНОМИАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ N И P РАВНА ПРОИЗВЕДЕНИЮ N*P*(1-P).

Среднее квадратическое отклонение Определение. Среднее квадратическое отклонение случайной величины – это квадратный корень из её дисперсии. Среднее квадратическое отклонение позволяет сохранить размерность случайной величины Типовая задача на вычисление мат.ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения дискретной случайной величины. Пусть случайная величина X имеет следующий закон распределения: Найти M(X),D(X) и

От дискретности – к непрерывности! Закон распределения дискретной с.в. можно задать таблично, перечислив все её значения. Закон распределения непрерывной с.в., принимающей любые значения на промежутке [a,b], так задать нельзя! Что же делать? Введём понятие функции распределения вероятностей случайной величины. Определение. Функция распределения F(x), x – любое действительное число – такая функция, которая определяет вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x: Значения такой функции лежат на отрезке [0,1], а сама функция неубывающая. Функцию распределения вероятностей можно задать не только для непрерывной, но и для дискретной с.в.! Пример. Дискретная с.в. распределена по закону: Определим функцию её распределения. F(x)=0 для x≤1 (X не принимает значения, меньшие 1) F(x)=0,3 для 1<x≤4 (X может принять значение 1 с вероятностью 0,3) F(x)=0,4 для 4<x≤8 (X может принять значение 1 с вероятностью 0,3 или значение 4 с вероятностью 0,1) F(x)=1 для x>8 (все значения д.с.в. лежат левее 8 на числовой оси)

Плотность распределения вероятностей с.в. (только для непрерывных!) Плотность распределения вероятностей – первая производная от функции распределения (функция распределения – первообразная плотности) Тогда вероятность того, что непрерывная с.в. примет значение на интервале (a,b), равна интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b: Или, геометрически: вероятность того, что н.с.в. примет значение на интервале (a,b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной: Кривой плотности распределения сверху Осью абсцисс – снизу Прямыми x=a и x=b – слева и справа На картинке a=-1,11 и b=1,1 Вероятность того, что н.с.в. примет знач. на (-1,11, 1,11), равна 0,731.

Законы распределения н.с.в. Равномерный закон распределения вероятностей Распределение вероятностей называют равномерным, если на отрезке [a,b], которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения вероятностей сохраняет постоянное значение, равное 1/(b-a) Пример. Пусть с.в. X принимает с одинаковой вероятностью любое значение на отрезке [a,b]. Тогда её функция распределения F(x) выглядит так: F(x)=0, если x≤a, F(x)=1, если x>b F(x)=, если a<x≤b

2. Нормальный (гауссовский) закон распределения вероятностей 2. Нормальный (гауссовский) закон распределения вероятностей Случайная величина X определена на всей оси абсцисс Два параметра: μ (мат. ожидание) и σ (среднее квадратическое отклонение) Нормальное распределение – то распределение, плотность которого задаётся формулой Гаусса:

Ещё о нормальном распределении Правило одной сигмы: Непрерывная случайная величина, распределённая по нормальному закону, попадает в интервал μ±σ с вероятностью 0,68 Правило двух сигм: Непрерывная случайная величина, распределённая по нормальному закону, попадает в интервал μ±2σ с вероятностью 0,95 Правило трёх сигм: Непрерывная случайная величина, распределённая по нормальному закону, попадает в интервал μ±3σ с вероятностью почти 1 ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА: если случайная величина X представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному.

Законы распределения н.с.в. 3. Распределение «хи-квадрат» (χ2) Распределение «хи-квадрат» – распределение случайной величины, представляющей собой сумму квадратов k независимых стандартных нормальных величин: С увеличением k распределение «хи-квадрат» приближается к нормальному.

Законы распределения н.с.в. 4. Распределение Стьюдента Пусть z – нормальная стандартная случайная величина, а V – независимая от неё величина, имеющая распределение χ2 с использованием k независимых нормальных стандартных величин (число k ещё называют числом степеней свободы). Тогда случайная величина имеет распределение Стьюдента с k степенями свободы (его ещё называют t-распределением). С ростом k распределение Стьюдента стремится к нормальному.

5. Распределение Фишера 5. Распределение Фишера Пусть U и V – две независимые случайные величины, имеющие распределение χ2 с k1 и k2 степенями свободы, соответственно. Тогда случайная величина имеет распределение Фишера (или Фишера-Снедекора) со степенями свободы k1 и k2 . Также его называют F-распределением.

Резюме - определение дисперсии д.с.в. - удобная формула для вычисления дисперсии д.с.в. D(X)=n*p*(1-p) – дисперсия биномиального распределения с пар-рами n и p - среднее квадратическое отклонение – функция распределения – плотность распределения