🗊Презентация Создатели теории множеств (во второй половине XIX века)

Создатели теории множеств (во второй половине XIX века) Георг Кантор (1845-1918)

Что такое множество? «Множество» - это соединение в некое целое M определенных и хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M). ©Георг Кантор «Множество» - это совокупность объектов, определенная некоторым правилом. Множество А является подмножеством множества В: А  В, если все элементы множества А принадлежат множеству В {все летающие бегемотики}  {все учащиеся «Ники»} Пустое множество : множество, в котором нет элементов

Парадокс брадобрея Приказ командира: брить тех и только тех, кто не бреется сам. А = {те и только те, кто не бреется сам} Вопрос: брадобрей  А? Другая формулировка парадокса брадобрея Прилагательное называется рефлексивным, если оно само обладает свойством, которое определяет Примеры рефлексивных прилагательных: «русский», «трёхсложный» Примеры нерефлексивных прилагательных: «английский», «четырёхсложный» Вопрос. Если В ={все рефлексивные прилагательные}, то прилагательное «нерефлексивный»  В или нет? Вопрос-шутка: «трудновыговариваемый»  В или нет?

Пути разрешения парадоксов Способ Кантора: «Наивная теория множеств» Идея: разрешается работать со множествами, которые «встречаются в природе», а также с теми, которые получаются из них разумными теоретико-множественными операциями Пример: А ={ котики} В ={бегемоты} (но не летающие!) А ∪ В ={котики и бегемоты}

Операции над множествами Объединение множеств А ∪ В = {все элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств А и В}

Основные тождества теории множеств Коммутативность объединения и пересечения А ∪ В = В ∪ А; А ∩ В = В ∩ А Дистрибутивность объединения и пересечения (А ∪ В) ∪ С = А ∪ (В ∪ С); ( А ∩ В) ∩ С = А ∩ (В ∩ С) Взаимная дистрибутивность объединения и пересечения (А ∪ В) ∩ С = (А ∩ В) ∪ (В ∩ С); (А ∩ В) ∪ С = (А ∪ В) ∩ (В ∪ С) Формальное доказательство взаимной дистрибутивности (1-го тождества) Пусть x Î (А ∪ В) ∩ С Тогда x Î А ∪ В и x Î С Значит, x принадлежит хотя бы одному из множеств А; В и принадлежит С Тогда x принадлежит хотя бы одному из множеств А ∩ С; В ∩ С Значит, x принадлежит правой части тождества Доказали ли мы формулу? НЕТ! В обратную сторону устно. Геометрическое доказательство: Принцип двойственности S \ (А1 ∪ A2) = (S \ A1) ∩ (S \ A2) S \ (А1 ∩ A2) = (S \ A1) ∪ (S \ A2)

Отображения множеств Отображение : А  В - это правило, которое каждому элементу множества А ставит в соответствие один и только один элемент множества В Если (А) = В , то  называется сюръекцией Если для x1 , x2 Î А, таких что x1  x2 (x1 )  (x2 ) , то  называется инъекцией Если  инъекция и сюръекция, то такое отображение называется биекцией Множества называются равномощными, если между ними существует биекция Теорема: Для всякого множества А множество P(А) его подмножеств не равномощно самому множеству А Доказательство: Предложим,  биекция  : А P(А) a Î А назовём «хорошим», если a Î (а) и «плохим», если a  (а) Пусть П  А - множество всех плохих элементов. Так как - биекция, то  х Î А, такой что (х) = П. х – хороший или плохой? Если х - хороший, то х Î (х) = П - противоречие Если х - плохой, то х  (х) = П  х - хороший, противоречие Теорема доказана.

Парадоксы с бесконечностью Дед Мороз пришел на Новый год к детям с мешком, в котором бесконечно много конфет Все конфеты занумерованы натуральными числами В 23:59:00 Дед Мороз подарил конфету №1 детям В 23:59:30 он дал детям конфеты №2 и №3, но забрал конфету №1 В 23:59:45 он дал детям конфеты№4, №5, №6, №7, но забрал №2 и №3. И так далее. Сколько конфет у детей в полночь?

Счётность ℚ и несчётность ℝ Множество А называется счётным, если  биекция : А ℕ

Континуум-гипотеза Давид Гильберт (1862 –1943) Первая проблема Гильберта (континуум-гипотеза): С точностью до эквивалентности существуют только два типа бесконечных числовых множеств: счётное множество и континуум.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!