🗊Презентация Статистические гипотезы. Параметрические критерии. (Лекция 5)

Лекция 6 Тема: «Статистические гипотезы»

Основные понятия: Нулевая гипотеза Альтернативная гипотеза Ошибки первого и второго рода Уровень значимости

Этапы проверки статистических гипотез Формулировка основной гипотезы H0 и конкурирующей гипотезы H1. Гипотезы должны быть чётко формализованы в математических терминах. Задание вероятности α, называемой уровнем значимости и отвечающей ошибкам первого рода, на котором в дальнейшем и будет сделан вывод о правдивости гипотезы. Расчёт статистики φ критерия такой, что: её величина зависит от исходной выборки ; по её значению можно делать выводы об истинности гипотезы H0; сама статистика φ должна подчиняться какому-то известному закону распределения, т.к. сама φ является случайной в силу случайности . Построение критической области. Из области значений φ выделяется подмножество таких значений, по которым можно судить о существенных расхождениях с предположением. Его размер выбирается таким образом, чтобы выполнялось равенство . Это множество и называется критической областью. Вывод об истинности гипотезы. Наблюдаемые значения выборки подставляются в статистику φ и по попаданию (или непопаданию) в критическую область выносится решение об отвержении (или принятии) выдвинутой гипотезы H0.

Статистическая гипотеза - некоторое предположение о свойствах генеральной совокупности, которой принадлежит выборка.

Нулевая гипотеза (Н0) - предположение о том, что между генеральными параметрами сравниваемых групп разница равна нулю, или различия между выборочными показателями носят случайный характер

Если выборка из совокупности 1 имеет параметры µ1 и σ1, а выборка из совокупности 2 соответственно µ2σ2, то: µ1=µ2, σ1=σ2 и µ1-µ2=0, σ1-σ2 =0

Нулевая гипотеза может иметь в виду µ=α, где α- какое-то число.

Альтернативная (противоположная) гипотеза – противопоставляется нулевой гипотезе и исходит из того, что: µ1-µ2≠0 и σ1-σ2≠0

Критерии проверки гипотез: Число степеней свободы (k) – числа, показывающие количество свободно варьирующих элементов или членов статистической совокупности, способных принимать любые произвольные значения. Уровень значимости (α) – значение вероятности, при котором различия, наблюдаемые между выборочными показателями, можно считать несущественными, случайными.

Критическое значение – соответствует границе между областью допустимых и областью маловероятных значений. Критическое значение – соответствует границе между областью допустимых и областью маловероятных значений. Устанавливается в зависимости от принятого уровня значимости (α). Критерии проверки гипотез

Выделяют три вида критических областей: Двусторонняя критическая область определяется двумя интервалами, где находят из условий . Левосторонняя критическая область определяется интервалом , где xα находят из условия P(φ < xα) = α. Правосторонняя критическая область определяется интервалом , где xα находят из условия P(φ > xα) = α.

Ошибка первого рода Уровень значимости характеризует ту вероятность, которой решено пренебрегать в данном исследовании. Отклонение нулевой гипотезы при попадании значения случайной величины в критическую область нельзя рассматривать как доказательство того, что гипотеза неверна, так как значения, выходящие за пределы области принятия гипотезы Но могут иметь место и в случае правильности нуль-гипотезы, и вероятность такого события известна - она равна α. Отклоняя правильную нулевую гипотезу, мы допускаем так называемую ошибку первого рода, принятый же уровень значимости α характеризует риск допустить такую ошибку.

Ошибка второго рода Принятие нулевой гипотезы, когда она неверна, носит название ошибки второго рода. Вероятность такой ошибки обозначается ( β ). С вероятностью 1 - β принятия нулевой гипотезы, когда она верна, связывается в математической статистике понятие мощность критерия.

Уменьшая вероятность ошибки первого рода (α), мы неизбежно увеличиваем вероятность ошибки второго рода (β). Уменьшая вероятность ошибки первого рода (α), мы неизбежно увеличиваем вероятность ошибки второго рода (β). Выбор уровня значимости α (устанавливается обычно α, а не β) определяется условиями проведения эксперимента, ответственностью выводов и учетом того, ошибка какого рода наиболее нежелательна. В большинстве случаев принимают α = 0,05 (5%), что соответствует доверительной вероятности Р = 0,95.

Параметрические критерии

Распределение Стьюдента (или t-распределение) - это распределение отклонений нормально распределенной случайной величины от генерального среднего, нормированных выборочной оценкой среднего квадратического отклонения. Распределение Стьюдента (или t-распределение) - это распределение отклонений нормально распределенной случайной величины от генерального среднего, нормированных выборочной оценкой среднего квадратического отклонения. Это распределение зависит от числа степеней свободы γ, с которым найдена оценка среднего квадратического отклонения.

Классическим примером распределения Стьюдента является распределение стандартизованных отклонений

Кривая распределения Стьюдента похожа по Кривая распределения Стьюдента похожа по внешнему виду на кривую нормального распределения: она одновершинна, симметрична, ее ветви асимптотически приближаются к оси абсцисс. При ν ->∞ распределение Стьюдента стремится к нормальному распределению с параметрами µ = 0 и σ = 1.

Кривые нормального распределения (Z -сплошная линия) и распределения t-Cтьюдента при ν=3 (пунктирная линия)

Наибольшее отличие распределения Стьюдента от нормального наблюдается при ν=1, когда при значениях переменной величины t, близких к среднему, плотность вероятности распределения Стьюдента меньше, а при значениях, сильно отличающихся от среднего, больше, чем при нормальном распределении. Наибольшее отличие распределения Стьюдента от нормального наблюдается при ν=1, когда при значениях переменной величины t, близких к среднему, плотность вероятности распределения Стьюдента меньше, а при значениях, сильно отличающихся от среднего, больше, чем при нормальном распределении.

t – распределение – частный случай нормального распределения; t – распределение – симметрично; t – распределение отражает специфику распределения малой выборки по нормальному закону.

Сравнение средних арифметических корреляционно не связанных между собой выборок, взятых из нормально распределяющихся совокупностей с их параметрами µ1σ1² µ2σ2² исходят из предположения , что разница между ними возникла случайно (d=x1-X2). В качестве критерия проверки гипотезы служит переменная величина:

Нулевая гипотеза опровергается (Н0), если tф≥tst для принятого уровня значимости и числа степеней свободы k=n1+n2-2.

Распределение F Фишера. Распределение представляющее собой случайную величину, распределение которой было изучено Фишером, названо его именем и обозначено буквой F.

Если имеются две оценки S1² и S2² одной и той же дисперсии σ² нормально распределенной случайной величины, то, принимая, что S1²>S2², можно найти отношение этих оценок. При этом всегда берется отношение большей дисперсии к меньшей:

С увеличением v1 и ν2 обе оценки стремятся к одному и тому же параметру σ², F при этом стремится к единице. Чем меньше ν1 и ν2, тем больше шансов получить в случайном порядке достаточно отличные от единицы значения F.

Распределение F зависит от числа степеней свободы ν1 и ν2, с которыми найдены оценки дисперсий в числителе (ν1) и в знаменателе (ν2).

Если выборки взяты из разных совокупностей с неравными параметрами σ1² и σ2², то Fф≥Fst и нулевая гипотеза должна быть опровергнута (Н0).

Непараметрические критерии

Распределение Хи-квадрат (χ2(n)) Допустим, что случайная величина Z распределена нормально с параметрами . Если взять n случайных значений z и найти сумму их квадратов, то полученная сумма будет представлять собой значение некоторой случайной величины, обозначаемой χ2 (хи-квадрат):

Основные свойства критерия: Случайная величина χ2, будучи суммой квадратов, всегда положительна и должна зависеть от числа слагаемых. Величина χ2 может принимать значения от 0 до ∞.

Вид кривой распределения существенно зависит от числа слагаемых, точнее, от числа независимых слагаемых, т.е. от числа степеней свободы ν. При очень малых ν распределение сильно асимметрично, но асимметрия быстро уменьшается по мере увеличения числа степеней свободы. Для распределения χ2 среднее число равно числу степеней свободы, а дисперсия - удвоенному числу степеней свободы: Вид кривой распределения существенно зависит от числа слагаемых, точнее, от числа независимых слагаемых, т.е. от числа степеней свободы ν. При очень малых ν распределение сильно асимметрично, но асимметрия быстро уменьшается по мере увеличения числа степеней свободы. Для распределения χ2 среднее число равно числу степеней свободы, а дисперсия - удвоенному числу степеней свободы:

Кривые распределения хи- квадрат с различным числом степеней свободы

Так как закон распределения известен, то не составляет большого труда вычислить критические значения χα2, случайно превысить которые при заданном ν можно с вероятностью α.

Для выборок равного объема, n1=n2 и N= n1+n2

Для выборок разного объема, n1≠n2

При сравнении эмпирического и теоретического распределения формула используют формулу

U-критерий Манна-Уитни (англ. Mann-Whitney U test) — непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять различия в значении параметра между малыми выборками. Другие названия: критерий Манна-Уитни-Уилкоксона (англ. Mann-Whitney-Wilcoxon, MWW), критерий суммы рангов Уилкоксона (англ. Wilcoxon rank-sum test) или критерий Уилкоксона-Манна-Уитни (англ. Wilcoxon-Mann-Whitney test).

Простой непараметрический критерий. Метод определяет, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между двумя рядами (ранжированным рядом значений параметра в первой выборке и таким же во второй выборке). Простой непараметрический критерий. Метод определяет, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между двумя рядами (ранжированным рядом значений параметра в первой выборке и таким же во второй выборке). Чем меньше значение критерия, тем вероятнее, что различия между значениями параметра в выборках достоверны.

Для применения U-критерия Манна-Уитни нужно произвести следующие операции: 1. Составить единый ранжированный ряд из обеих сопоставляемых выборок, расставив их элементы по степени нарастания признака и приписав меньшему значению меньший ранг. Общее количество рангов получится равным: N = n1 + n2, где n1 — количество единиц в первой выборке, а n2 — количество единиц во второй выборке.

2. Разделить единый ранжированный ряд на два, состоящие соответственно из единиц первой и второй выборок. Подсчитать отдельно сумму рангов, пришедшихся на долю элементов первой выборки, и отдельно — на долю элементов второй выборки. Определить большую из двух ранговых сумм (Tx), соответствующую выборке с nx единиц. 2. Разделить единый ранжированный ряд на два, состоящие соответственно из единиц первой и второй выборок. Подсчитать отдельно сумму рангов, пришедшихся на долю элементов первой выборки, и отдельно — на долю элементов второй выборки. Определить большую из двух ранговых сумм (Tx), соответствующую выборке с nx единиц.

3. Определить значение U-критерия Манна-Уитни по формуле:

4. По таблице для избранного уровня статистической значимости определить критическое значение критерия для данных n1 и n2. Если полученное значение U меньше табличного или равно ему, то признается наличие существенного различия между уровнем признака в рассматриваемых выборках (принимается альтернативная гипотеза). Если же полученное значение U больше табличного, принимается нулевая гипотеза. Достоверность различий тем выше, чем меньше значение U.

5. При справедливости нулевой гипотезы критерий имеет матожидание и дисперсию и при достаточно большом объёме выборочных данных (n1>19, n2>19) распределён практически нормально. 5. При справедливости нулевой гипотезы критерий имеет матожидание и дисперсию и при достаточно большом объёме выборочных данных (n1>19, n2>19) распределён практически нормально.

Ограничения применимости критерия 1. В каждой из выборок должно быть не менее 3 значений признака. Допускается, чтобы в одной выборке было два значения, но во второй тогда не менее пяти. 2. В выборочных данных не должно быть совпадающих значений (все числа - разные) или таких совпадений должно быть очень мало.

Критерий Колмогорова -Смирнова В статистике критерий согласия Колмогорова (также известный, как критерий согласия Колмогорова-Смирнова) используется для того, чтобы определить, подчиняются ли два эмпирических распределения одному закону, либо определить, подчиняется ли полученное распределение предполагаемой модели. Критерий Колмогорова-Смирнова о проверке гипотезы об однородности двух эмпирических законов распределения является одним из основных и наиболее широко используемых непараметрических методов, так как достаточно чувствителен к различиям в исследуемых выборках.

Критерий Колмогорова-Смирнова о проверке гипотезы об однородности двух эмпирических законов распределения является одним из основных и наиболее широко используемых непараметрических методов, так как достаточно чувствителен к различиям в исследуемых выборках. Критерий Колмогорова-Смирнова о проверке гипотезы об однородности двух эмпирических законов распределения является одним из основных и наиболее широко используемых непараметрических методов, так как достаточно чувствителен к различиям в исследуемых выборках.

Максимальная по модулю разность между соответствующими накопленными относительными частотами является фактическим значением критерия Колмогорова-Смирнова.

Теоретическое значение критерия Колмогорова Смирнова вычисляется по формуле:

Спасибо за внимание!