🗊Презентация Статистическое моделирование. (Лекция 6)

Лекция 6: Статистическое моделирование Общие сведения о статистическом моделировании. Методы генерирования случайной величины. Марковские процессы.

1 Общие сведения о статистическом моделировании Основным отличием статистических методов является построение генеральной совокупности: последовательность вариантов исходных данных, поступающих на вход системы, определяется не самим исследователем в зависимости от плана эксперимента, а генерируются с помощью датчика случайных чисел на компьютере. Далее реакция проверяется не на реальном объекте исследований, а на модели. Таким образом, основное место при использовании статистических методов занимает компьютер.

В качестве моделей, на которых проверяется возможная реакция системы, применяются: В качестве моделей, на которых проверяется возможная реакция системы, применяются: - вероятностные аналитические модели (влияние случайных факторов учитывается с помощью задания вероятностных характеристик случайных процессов. Это приводит к усложнению вычислительной задачи и ограничивает применение данных моделей сравнительно простыми системами); имитационные модели (введение случайных возмущений не вносит принципиальных усложнений, что делает их наиболее часто применяемыми). Исследование сложных процессов и систем, подверженных случайным возмущениям, с помощью имитационного моделирования принято называть статистическим моделированием.

Статистическая модель случайного процесса ‑ это алгоритм, с помощью которого имитируют работу сложной системы, подверженной случайным возмущениям, причем полагается, что взаимодействие элементов системы носит вероятностный характер. Статистическая модель случайного процесса ‑ это алгоритм, с помощью которого имитируют работу сложной системы, подверженной случайным возмущениям, причем полагается, что взаимодействие элементов системы носит вероятностный характер. Оценка параметров модели осуществляется с помощью статистических методов: метода максимального правдоподобия, метода наименьших квадратов, метода моментов. Этапы методики статистического моделирования: 1. Моделирование на компьютере псевдослучайных последовательностей с заданной корреляцией и законом распределения вероятностей (метод Монте-Карло), имитирующих случайные значения параметров при каждом испытании. 2. Преобразование полученных числовых последовательностей на имитационных математических моделях в генеральную совокупность. 3. Статистическая обработка результатов моделирования.

Обобщенный алгоритм метода статистических испытаний Обобщенный алгоритм метода статистических испытаний

Две области применения метода статистического моделирования: Две области применения метода статистического моделирования: ‑ для изучения стохастических систем; ‑ для решения детерминированных задач. В детерминированных системах предсказываемые значения могут быть вычислены точно, а в стохастических – лишь с некоторой долей вероятности. Основная идея для решения детерминированных задач: замена детерминированной задачи эквивалентной схемой некоторой стохастической системы, выходные характеристики последней совпадают с результатом решения детерминированной задачи. Достоинства: - уменьшение погрешности с ростом числа испытаний (статистическая устойчивость результатов); - возможность получения сведений о поведении реального объекта или процесса в произвольные моменты времени.

Основная сложность - учет стохастических воздействий: Основная сложность - учет стохастических воздействий: ‑ точность получаемых оценок зависит от размера совокупности случайных чисел, генерируемых системой, что приводит к росту вычислительных затрат, обусловленных созданием данной совокупности; ‑ качество получаемых на основе статистических моделей результатов, их точность и достоверность определяются исходными (базовыми) последовательностями случайных чисел. Это приводит к необходимости разработки простых и экономичных способов формирования последовательностей случайных чисел требуемого качества.

2 Методы генерирования случайной величины Методы, используемые для получения случайных числовых последовательностей с заданными вероятностными характеристиками, различаются видом распределения случайной величины на заданном интервале (a,b): равномерным ; нормальным; ‑ распределением Бернулли (случайная величина принимает значение 1 с вероятностью p и 0 с вероятностью 1=1-p ; ‑ биномальным (n – общее число испытаний; m – число успешных опытов); - Пуассона (вероятность реализации случайной величины со значением m и параметром распределения l:

Численный метод, моделирующий случайные величины, равномерно распределенные на интервале (0,1), получил название "метод статистических испытаний" или "метод Монте-Карло". Численный метод, моделирующий случайные величины, равномерно распределенные на интервале (0,1), получил название "метод статистических испытаний" или "метод Монте-Карло". Задачу моделирования случайных чисел с нормальным законом распределения решают в несколько этапов: 1. Вначале имитируют равномерное распределение и получают последовательность псевдослучайных чисел, равномерно распределенных на интервале (0,1). 2. Затем, используя равномерно распределенную псевдослучайную величину, получают последовательность псевдослучайных чисел с нормальным законом распределения (чаще всего в нормированном виде, т.е. , ).

Основные способа формирования последовательности нормально распределенных случайных величин: Основные способа формирования последовательности нормально распределенных случайных величин: 1. Прямое преобразование псевдослучайного числа y являющегося реализацией случайной величины Y, равномерно распределенной на интервале [0,1], с помощью некоторой функции W в число x, которое может рассматриваться как реализация случайной величины X, имеющей нормальный закон распределения. 2. Отсеивание псевдослучайных чисел из первоначальной последовательности Y равномерно распределенной на интервале [0,1], таким образом, чтобы оставшиеся числа были распределены по нормальному закону. 3. Моделирование условий, соответствующих центральной предельной теореме теории вероятности.

Методы моделирования нормально распределенной случайной величины: Методы моделирования нормально распределенной случайной величины: полярных координат (первый способ получения. Вычисляет две независимые нормально распределенные случайные величины x1 и x2 с и по двум заданным независимым равномерно распределенным случайным числам y1 и y2; метод, основанный на центральной предельной теореме (третий способ получения. Основан на приближенном воспроизводстве условий, при которых справедлива центральная предельная теорема теории вероятности)