🗊Презентация Стереометрия в задачах ЕГЭ

Стереометрия в задачах ЕГЭ Сечение многогранников и круглые тела М.Г.КИМ, учитель маоу сош № 77 г. Хабаровск

В пря­мо­уголь­ном па­раллепипеде ребро , ребро , ребро . Точка  — середи­на ребра . Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, проходяще­го через точки  и . Решение. Сечение пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. Поэтому четырехугольник — параллелограмм. Кроме того, ребро перпендикулярно граням и , поэтому углы и — прямые. Следовательно, сечение — прямоугольник. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдем : Тогда площадь прямоугольника равна: .

В прямоугольном параллелепипеде ребро , ребро , ребро . Точка — середина ребра . Найдите площадь сечения, проходящего через точки и .

В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер: , , . Найдите площадь сечения, проходящего через вершины , и . Решение. Сечение пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. Поэтому сечение − параллелограмм. Кроме того, ребро перпендикулярно граням и . Поэтому углы и − прямые. Поэтому сечение — прямоугольник. Из прямоугольного треугольника найдем Тогда площадь прямоугольника равна:

В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер: , , . Найдите площадь сечения, проходящего через вершины , и .

Задание С2

Точка — середина ребра куба . Найдите площадь сечения куба плоскостью , если ребра куба равны 2. Решение. Прямая пересекает прямую в точке . Прямая пересекает ребро в его середине — точке . — сечение куба плоскостью . Равнобедренный треугольник подобен треугольнику , и высота . Поскольку — средняя линия треугольника , получаем:

Точка — середина ребра куба . Найдите площадь сечения куба плоскостью , если ребра куба равны 4. Решение. Прямая пересекает прямую в точке . Прямая пересекает ребро в его середине — точке . — сечение куба плоскостью . В равнобедренном треугольнике имеем и высота . Поскольку — средняя линия треугольника , получаем: .

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины ребер АВ и ВС и вершину S. Найдите площадь этого сечения, если все ребра пирамиды равны 8. Решение. Пусть M — середина AB, а N — середина BC. Тогда площадь сечения равна площади треугольника SMN. Найдем последовательно SM, MN и SN. SM и SN — медианы треугольников SAB и SBC соответственно. Т. к. эти треугольники равносторонние (поскольку все ребра пирамиды одинаковой длины), . Найдем теперь MN из прямоугольного треугольника MBN. В нем катеты равны 4. Гипотенуза MN, по теореме Пифагора, будет равна . Теперь найдем площадь равнобедренного треугольника SMN. Для этого проведем высоту SH, по теореме Пифагора равную , и вычислим площадь: .

В правильной четырёхугольной пирамиде с основанием проведено сечение через середины рёбер и и вершину . Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 5, а сторона основания равна 4. Решение. Пусть — середина , а — середина Тогда площадь сечения равна площади треугольника Найдем последовательно и . и — медианы треугольников и соответственно. Так как эти треугольники равнобедренные (поскольку пирамида правильная), Найдем теперь из прямоугольного треугольника В нем катеты равны 2. Гипотенуза по теореме Пифагора, будет равна Теперь найдем площадь равнобедренного треугольника Для этого проведем высоту которая, по теореме Пифагора, равна и вычислим площадь: .

В правильной треугольной пирамиде с основанием сторона основания равна 8, а угол равен 36°. На ребре взята точка так, что — биссектриса угла Найдите площадь сечения пирамиды, проходящего через точки , и Решение. Нужное сечение — треугольник . Рассмотрим треугольник .Он равнобедренный. , поэтому . Значит, . Рассмотрим теперь треугольник . Сумма его углов , значит, . Следовательно, треугольник равнобедренный, и поэтому Аналогично находим, что . Таким образом, треугольник равносторонний со стороной 8. Его площадь равна .

В правильной треугольной призме стороны основания равны 6, боковые рёбра равны 4. Изобразите сечение, проходящее через вершины и середину ребра . Найдите его площадь. Решение. Обозначим через и средины ребер и соответственно. По теореме о средней линии треугольника , так что прямые и лежат в одной плоскости. Сечение про которое спрашивается в условии, − это сечение призмы этой плоскостью. Оно представляет собой равнобокую трапецию . Основания трапеции , по теореме Пифагора найдем боковую сторону: . Проведем в трапеции высоту . Отрезок равен полуразности оснований трапеции: Следовательно, высота трапеции . Зная её, находим площадь трапеции:

В правильной треугольной призме ABCA'B'C' стороны основания равны 6, а боковые ребра равны 4. Изобразите сечение, проходящее через вершины A, B и середину ребра A'C'. Найдите его площадь. Решение. Параллельные грани оснований сечение пересекает по параллельным прямым, поэтому сечение — трапеция. Пусть точка М — середина A'C', точка N — середина B'С'. Боковые стороны трапеции ABNM являются гипотенузами равных прямоугольных треугольников AA'M и BB'N, катеты которых равны 3 и 4. Тем самым, трапеция является равнобедренной, а ее боковые стороны равны 5. Отрезок MN — средняя линия треугольника A'B'C', поэтому MN = 0,5 A'C' = 3. Пусть MН — высота трапеции, тогда . Следовательно, .

В правильной четырехугольной пирамиде с вершиной стороны основания равны 15, а боковые ребра равны 16. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку и середину ребра параллельно прямой Решение. , . Четырёхугольник BFEG — искомое сечение. Отрезок BE — медиана треугольника MBD, значит, . Поскольку прямая BD перпендикулярна плоскости MAC, диагонали BE и FG четырёхугольника BFEG перпендикулярны, следовательно, .

В правильной четырёхугольной призме сторона основания равна 20, а боковое ребро Точка принадлежит ребру и делит его в отношении считая от вершины . Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки и . Решение. Отрезок параллелен диагонали (точка принадлежит ребру ), следовательно, искомое сечение — трапеция (рис. 1). Плоскость сечения пересекает нижнее основание по прямой параллельной значит, параллелен . Треугольники и подобны, следовательно, . Значит, . В равных прямоугольных треугольниках и значит, трапеция равнобедренная. Пусть — высота трапеции проведённая к основанию (рис. 2), тогда: .

В прямоугольном параллелепипеде известны рёбра . Точка принадлежит ребру и делит его в отношении 1:4, считая от вершины . Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки и Решение. Отрезок параллелен (точка принадлежит ребру ). Плоскость сечения пересекает плоскость по прямой параллельной следовательно, искомое сечение — параллелограмм (рис. 1). Треугольники и равны, следовательно, значит, — ромб со стороной и диагональю (рис. 2). Тогда диагональ

В прямоугольном параллелепипеде известны рёбра: Точка принадлежит ребру и делит его в отношении считая от вершины Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки и Решение. Сечение плоскостью пересекает ребро в точке Отрезок параллелен отрезок параллелен Следовательно, искомое сечение — параллелограмм (рис.1). Далее имеем: Значит, — ромб. Найдем его диагонали: Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Поэтому

В правильной четырёхугольной пирамиде с вершиной стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 8. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку и середину ребра параллельно прямой Решение. Пусть точка — середина ребра Отрезок пересекает плоскость в точке В треугольнике точка является точкой пересечения медиан, следовательно, где — центр основания пирамиды. Отрезок параллелен и проходит через точку (точка принадлежит ребру — ребру ), откуда . Четырёхугольник — искомое сечение. Отрезок — медиана треугольника значит, Поскольку прямая перпендикулярна плоскости диагонали и четырёхугольника перпендикулярны, следовательно,

Плоскость α пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 8. Плоскость β, параллельная плоскости α, касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 5. Найдите площадь сечения большего шара плоскостью α. Решение. Сечение шара плоскостью — круг. Рассмотрим сечение, проходящее через общий центр шаров и центры кругов. Обозначение центра, точки касания и точек пересечения поверхностей шаров с плоскостями α и β дано на рисунке. FD — радиус круга, полученного в сечении меньшего шара плоскостью α, тогда — площадь сечения меньшего шара плоскостью α. AB — радиус круга, полученного в сечении большего шара плоскостью β, тогда — площадь сечения большего шара плоскостью β. CF — радиус круга, полученного в сечении большего шара плоскостью α. Параллельные прямые AB и CF перпендикулярны прямой AF. Из прямоугольных треугольников получаем: откуда Площадь сечения большего шара плоскостью α:

Плоскость пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 6. Плоскость параллельная плоскости касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 4. Найдите площадь сечения большего шара плоскостью . Решение. Сечение шара плоскостью — круг. Рассмотрим сечение, проходящее через общий центр шаров и центры кругов. Обозначение центра, точки касания и точек пересечения поверхностей шаров с плоскостями и дано на рисунке. — радиус круга, полученного в сечении меньшего шара плоскостью тогда — площадь сечения меньшего шара плоскостью . — радиус круга, полученного в сечении большего шара плоскостью тогда — площадь сечения большего шара плоскостью — радиус круга, полученного в сечении большего шара плоскостью . Параллельные прямые и перпендикулярны прямой Из прямоугольных треугольников получаем: откуда Площадь сечения большего шара плоскостью

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 11, а боковое ребро AA1=7. Точка K принадлежит ребру B1C1 и делит его в отношении 8:3, считая от вершины B1. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки B, D и K. Решение. Пусть L — точка, в которой плоскость сечения пересекает ребро C1D1. Отрезок KL параллелен диагонали BD. Искомое сечение — трапеция BDLK (рис. 1). Плоскость сечения пересекает нижнее основание по прямой BD, параллельной B1D1, значит, KL параллельно B1D1. Треугольники LC1K и D1C1B1 подобны, следовательно, Значит, . В равных прямоугольных треугольниках DD1L и BB1K имеем значит, трапеция BDLK равнобедренная. Пусть LH — высота трапеции BDLK, проведённая к основанию BD (рис.2), тогда:

В прямоугольном параллелепипеде известны рёбра Точка принадлежит ребру и делит его в отношении 4:5, считая от вершины Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки и Решение. Пусть плоскость пересекает ребро в точке Плоскость сечения пересекает плоскость по прямой параллельной следовательно, искомое сечение — параллелограмм (рис. 1). Треугольники и равны, следовательно, Далее, значит, и — ромб со стороной и диагональю (рис. 2). Тогда другая диагональ

Две параллельные плоскости, расстояние между которыми 2, пересекают шар. Одна из плоскостей проходит через центр шара. Отношение площадей сечений шара этими плоскостями равно 0,84. Найдите радиус шара. Решение. Сечение шара плоскостью — круг. Рассмотрим сечение плоскостью, проходящей через центры сечений. Обозначения даны на рисунке. OA — радиус шара, тогда S1 = π · OA2 — площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр. BC — радиус меньшего круга, полученного в сечении, тогда S2 = π · BC2 — площадь сечения шара второй плоскостью.  Из отношения площадей сечений получаем: OB — расстояние между плоскостями, равное 2. В прямоугольном треугольнике OBC: OC2 = BC2 + OB2, откуда получаем:

В правильной треугольной пирамиде SABC боковое ребро SA = 5, а сторона основания AB = 4. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через ребро AB перпендикулярно ребру SC. Решение. В треугольнике BCS проведём высоту BK , тогда искомое сечение — треугольник ABK . Пусть Q — площадь треугольника ABK . Сечение из условия разбивает пирамиду на тетраэдры CAKB и SAKB . Их суммарный объём равен объёму пирамиды. Пусть — SO высота пирамиды. В треугольнике SCO имеем: , . Объём пирамиды SABC равен Приравнивая два найденных значения для объёма, получаем .

В правильной треугольной пирамиде SABC боковое ребро SA = 6, а сторона основания AB = 4. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через ребро AB перпендикулярно ребру SC. Решение. В треугольнике BCS проведём высоту BK , тогда искомое сечение — треугольник ABK . Пусть Q — площадь треугольника ABK . Сечение из условия разбивает пирамиду на тетраэдры CAKB и SAKB . Их суммарный объём равен объёму пирамиды. Пусть — SO высота пирамиды. В треугольнике SCO имеем: . Объём пирамиды SABC равен . Приравнивая два найденных значения для объёма, получаем .

Сфера, вписанная в правильную шестиугольную пирамиду

В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы. Решение. Пусть MH — высота правильной шестиугольной пирамиды MABCDEF с вершиной M, тогда треугольник AMH прямоугольный, MA = 10, MH = 6, откуда Треугольник ABH равносторонний, следовательно, AB = AH = 8. В треугольнике AMB высота В правильном треугольнике AHB высота Центр O сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду, лежит на её высоте MH, точка K касания сферы и боковой грани AMB лежит на отрезке MN. Треугольники MOK и MNH подобны, поэтому где r — радиус сферы. Площадь сферы

В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно , а высота равна 1, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы. Решение. Пусть МН — высота правильной шестиугольной пирамиды MABCDEF с вершиной М, тогда треугольник АМН прямоугольный, , откуда Треугольник АВН равносторонний, следовательно, В треугольнике АМВ высота В правильном треугольнике АНВ высота Центр О сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду, лежит на её высоте МН, точка К касания сферы и боковой грани AMB лежит на отрезке MN. Треугольники МОК и MNH подобны, поэтому где r — радиус сферы. Площадь сферы

Радиус основания конуса равен 6, а его высота равна 8. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 4. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения. Решение. Сечение конуса плоскостью, содержащей его вершину S и хорду AB = 4, — треугольник ASB. В равных прямоугольных треугольниках SOA и SOB, где O — центр основания конуса, OA = OB = 6, SO = 8, откуда Пусть SH — высота и медиана равнобедренного треугольника ASB, Тогда отрезок OH — высота и медиана равнобедренного треугольника AOB, Прямые SH и OH перпендикулярны прямой AB, поэтому плоскость SOH перпендикулярна плоскости ASB. Следовательно, расстояние от точки O до плоскости ASB равно высоте OM прямоугольного треугольника SOH, проведённой к гипотенузе:

Радиус основания конуса равен 5, а его высота равна 12. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 6. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения. Решение. Сечение конуса плоскостью, содержащей его вершину S и хорду — треугольник ASB. В равных прямоугольных треугольниках SOA и SOB, где О — центр основания конуса, откуда Пусть SH — высота и медиана равнобедренного треугольника ASB, Тогда отрезок ОН — высота и медиана равнобедренного треугольника AOB Прямые SH и ОН перпендикулярны прямой AB, поэтому плоскость SOH перпендикулярна плоскости ASB. Следовательно, расстояние от точки О до плоскости ASB равно высоте ОМ прямоугольного треугольника SOH, проведенной к гипотенузе:

Сфера, вписанная в четырехугольную пирамиду

В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы. Решение. Пусть МН — высота правильной четырёхугольной пирамиды MABCD с вершиной М. тогда треугольник АМН прямоугольный. МA = 10, МН = 6, откуда Треугольник АВН прямоугольный равнобедренный, следовательно, В треугольнике AMB высота В равнобедренном прямоугольном треугольнике АВН высота Центр О сферы, вписанной в правильную четырёхугольную пирамиду, лежит на её высоте MH, точка K касания сферы и боковой грани АМВ лежит на отрезке MN. Треугольники MOK и MNH подобны, поэтому где — радиус сферы. Площадь сферы

В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 17, а высота равна 7, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы. Решение. Пусть — высота правильной четырёхугольной пирамиды с вершиной тогда треугольник — прямоугольный, откуда Треугольник — прямоугольный равнобедренный, следовательно, В треугольнике высота В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота Центр сферы, вписанной в правильную четырёхугольную пирамиду, лежит на её высоте точка касания сферы и боковой грани лежит на отрезке Треугольники и подобны, поэтому где — радиус сферы. Площадь сферы

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 4, а боковые рёбра равны 8. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC.

В правильной четырёхугольной призме  сторона основания равна 10, а боковое ребро . Точка O принадлежит ребру  и делит его в отношении 4 : 1, считая от вершины . Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки A, C и O.

Спасибо за внимание!