🗊Презентация Стохастические процессы

Стохастические процессы (1) (2)  

Основной процесс Винера - процесс Винера. Свойства процесса Винера: 1) = 0 с вероятностью 1. 2) Случайные величины (приращения винеровского процесса) взаимонезависимы и распределены согласно нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной 3) Функция непрерывна по переменной t для всех Ω.

Основной процесс Винера Пусть S – рыночная цена фондового актива, а t - период времени. За малый промежуток времени случайная перемен­ная S изменится на . Если S следует процессу Винера, т.е. броуновскому движению, изменение S за малый промежуток времени будет связано с следующим соотношением: или

Основной процесс Винера

Обобщенный процесс Винера 1) Активы характеризуются различными степенями волатильности. В процессе же, описанном выше, волатильность всех активов была одинаковой. (1). 2) Рисковые активы имеют положительное ожидаемое среднее значение дохода. (2). 3) Абсолютные приращения цен фондовых активов зависят от величины S. (3).

Процесс Ито Процесс Ито - это обобщенный процесс Винера, в котором параметры α (ожидаемый доход) и (дисперсия) являются функциями от основных переменных. В общем виде процесс Ито выглядит как:

Лемма Ито Если некоторая случайная переменная Z является функцией n процессов Ито: то прираще­ние процесса Z можно представить в виде:

Теория массового обслуживания. Поток событий.

Стационарный пуассоновский поток Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени длиной τ зависит только от длины этого участка и не зависит от того, где именно на оси 0t расположен этот участок. Поток событий называется потоком без последействия, если для любых неперекрывающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие. Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок двух или более событий прене­брежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.

Стационарный пуассоновский поток Выделим произвольный участок времени длиной τ. Как уже было отмечено, при условиях 1, 2 и 3 (стационарность, отсутствие последействия и ординарность) число точек, попадающих на участок τ, распределено по закону Пуассона с математическим ожиданием где λ - плотность потока (среднее число событий, приходящееся на единицу времени). Вероятность того, что за время τ произойдет ровно т событий, равна