🗊Презентация Свойства и способы вычисления двойных интегралов. (Семинар 29)

Семинар 29 Двойные интегралы. Свойства двойных интегралов. Способы вычисления двойных интегралов.

Пусть f(x,y) – функция, ограниченная в некоторой замкнутой ограниченной Пусть f(x,y) – функция, ограниченная в некоторой замкнутой ограниченной области D. - частичная область области D. - площадь частичной области значение функции в точке Составим сумму (*) Сумма (*) называется интегральной суммой для функции f(x,y) в области D, соответствующей данному разбиению области D на n – частичных областей. Определение Двойным интегралом от функции f(x,y) по области D называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремлении к 0 наибольшего диаметра частичных областей Запись

«Двойной интеграл от функции f(x,y) по области D» «Двойной интеграл от функции f(x,y) по области D» - выражение; f(x,y) – подынтегральная функция; - элемент площади; D – область интегрирования. Свойства двойных интегралов 1. Двойной интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от слагаемых функций: 2. Постоянный множитель подынтегральной функции можно выносить за символ двойного интеграла: 3. Если область D разбита на две области без общих внутренних точек, то: 4. Если во всех точках области D функция , то:

5. Значение двойного интеграла заключено между произведениями 5. Значение двойного интеграла заключено между произведениями наименьшего (m) и наибольшего (M) значений подынтегральной функции в области D на площадь области интегрирования: , где S - площадь области D. 6. Двойной интеграл равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке области интегрирования на площадь области интегрирования, то есть: - среднее значение функции f(x,y) в области D При вычислении элемент удобнее представлять в следующем виде. Область D в плоскости ОХУ разбивается на частичные области посредством двух систем координатных линий: x=const, y=const. Эти прямые соответственно параллельны ОХ и ОУ. Частичные области прямоугольники. Площадь каждой частичной области не примыкающей к границе D , будет равна произведению .

Поэтому запишем Поэтому запишем (*) (**) (***) Если область D – прямоугольник со сторонами параллельными осям координат, то есть имеет вид, представленный на рисунке, то пределы интегрирования – постоянные величины Замена переменных в двойном интеграле Полярные координаты При вычислении определенных интегралов важную роль играет правило замены переменной, согласно которому при соблюдении соответствующих условий имеет место

Обычно функция монотонна; тогда она осуществляет Обычно функция монотонна; тогда она осуществляет взаимнооднозначное соответствие между точками интервала изменения переменной u и точками интервала изменения переменной х. Заменяя Правило замены переменной в двойном интеграле достаточно сложное. Приведем формулу замены. При переходе в двойном интеграле от переменных x,y к новым переменным u,v: x=x(u,v), y=y(u,v) (*) формула замены такова (**), где Есть функциональный определитель Якоби (Якобиан) составленный из частных производных функций (*), то есть

Старая область интегрирования D заменяется на новую область по Старая область интегрирования D заменяется на новую область по переменным u,v. Новое выражение для называется элементом площади в координатах u,v. Применим формулу (**) к преобразованию с помощью полярных координат (обозначения общепринятые) Якобиан будет равен Тогда (***), где D и – соответствующие друг другу области в плоскостях OXY и (здесь r и рассматриваются как декартовы координаты точки).

Примеры с решениями Примеры с решениями 1. Вычислить если D – прямоугольник Решение. Имеем 2. Вычислить Решение. Имеем 3. Перейдя к полярным координатам вычислить если D – I четверть круга Решение. Полагая имеем

4. Вычислить , где D –кольцо между окружностями 4. Вычислить , где D –кольцо между окружностями Решение. Перейдем к полярным координатам Взяв по частям интеграл, зависящий от получим 5. Вычислить интеграл по области D, ограниченной линиями y=x и Решение а) Интегрируем сначала по у, затем по х b) Интегрируем сначала по х, затем по у

Примеры для самостоятельного решения Примеры для самостоятельного решения 1. Вычислить , если область D ограничена линиями 2. Вычислить , если область D – треугольник с вершинами A(2;3), B(7;2), C(4;5). 3. Изменить порядок интегрирования 4. Вычислить , если D – квадрат, ограниченный прямыми x+y=1, x-y=1, x+y=3, x-y=-1 5. Переходя к полярным координатам, вычислить двойные интегралы: a) , если область D – круг b) , - область D ограничена полуокружностью и осью ОХ. с) , - область D ограничена окружностью d) если область D ограничена линиями: