🗊Презентация Свойства степенных рядов. (Лекция 2.18)

Категория: Математика
Нажмите для полного просмотра!
Свойства степенных рядов. (Лекция 2.18), слайд №1Свойства степенных рядов. (Лекция 2.18), слайд №2Свойства степенных рядов. (Лекция 2.18), слайд №3Свойства степенных рядов. (Лекция 2.18), слайд №4Свойства степенных рядов. (Лекция 2.18), слайд №5Свойства степенных рядов. (Лекция 2.18), слайд №6Свойства степенных рядов. (Лекция 2.18), слайд №7Свойства степенных рядов. (Лекция 2.18), слайд №8Свойства степенных рядов. (Лекция 2.18), слайд №9Свойства степенных рядов. (Лекция 2.18), слайд №10Свойства степенных рядов. (Лекция 2.18), слайд №11Свойства степенных рядов. (Лекция 2.18), слайд №12Свойства степенных рядов. (Лекция 2.18), слайд №13Свойства степенных рядов. (Лекция 2.18), слайд №14Свойства степенных рядов. (Лекция 2.18), слайд №15Свойства степенных рядов. (Лекция 2.18), слайд №16Свойства степенных рядов. (Лекция 2.18), слайд №17Свойства степенных рядов. (Лекция 2.18), слайд №18Свойства степенных рядов. (Лекция 2.18), слайд №19
Скачать
Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Свойства степенных рядов. (Лекция 2.18). Доклад-сообщение содержит 19 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1


Лекция 2-18. 13.3.2. Свойства степенных рядов. Рассмотрим степенной ряд (*) имеющий радиус сходимости Сумма ряда есть функция определенная внутри интервала сходимости, а также на тех концах интервала, где ряд сходится.
Описание слайда:
Лекция 2-18. 13.3.2. Свойства степенных рядов. Рассмотрим степенной ряд (*) имеющий радиус сходимости Сумма ряда есть функция определенная внутри интервала сходимости, а также на тех концах интервала, где ряд сходится.

Слайд 2


Лемма 1. Степенной ряд равномерно сходится на любом отрезке Доказательство. Выберем По теореме Абеля ряд сходится. имеем Последнее неравенство означает, что ряд (*) равномерно сходится в
Описание слайда:
Лемма 1. Степенной ряд равномерно сходится на любом отрезке Доказательство. Выберем По теореме Абеля ряд сходится. имеем Последнее неравенство означает, что ряд (*) равномерно сходится в

Слайд 3


Лемма 2. Степенной ряд, составленный из производных ряда (*) имеет тот же радиус сходимости, что и ряд (*). Доказательство. Допустим, что существует Тогда Ряд производных имеет вид (**)
Описание слайда:
Лемма 2. Степенной ряд, составленный из производных ряда (*) имеет тот же радиус сходимости, что и ряд (*). Доказательство. Допустим, что существует Тогда Ряд производных имеет вид (**)

Слайд 4


Если составить ряд из производных ряда (**), то у него тоже радиус сходимости равен Т. е. все степенные ряды, полученные последовательным дифференцированием ряда (*) имеют одинаковый радиус сходимости и равномерно сходятся в любом интервале, принадлежащим области сходимости.
Описание слайда:
Если составить ряд из производных ряда (**), то у него тоже радиус сходимости равен Т. е. все степенные ряды, полученные последовательным дифференцированием ряда (*) имеют одинаковый радиус сходимости и равномерно сходятся в любом интервале, принадлежащим области сходимости.

Слайд 5


Свойства степенных рядов. 1) Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная в интервале сходимости ряда. Пример. Функция непрерывна всюду, за исключением точки Но она является суммой ряда только при 2) Степенной ряд можно почленно интегрировать в интервале сходимости 3) Степенной ряд можно почленно дифференцировать любое число раз в интервале сходимости.
Описание слайда:
Свойства степенных рядов. 1) Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная в интервале сходимости ряда. Пример. Функция непрерывна всюду, за исключением точки Но она является суммой ряда только при 2) Степенной ряд можно почленно интегрировать в интервале сходимости 3) Степенной ряд можно почленно дифференцировать любое число раз в интервале сходимости.

Слайд 6


13.4. Разложение функций в степенные ряды. 13.4.1 Ряд Тейлора. Сумма степенного ряда непрерывна и бесконечное число раз дифференцируема в интервале сходимости. Рассмотрим обратный вопрос. Когда можно утверждать, что функция является суммой некоторого ряда?
Описание слайда:
13.4. Разложение функций в степенные ряды. 13.4.1 Ряд Тейлора. Сумма степенного ряда непрерывна и бесконечное число раз дифференцируема в интервале сходимости. Рассмотрим обратный вопрос. Когда можно утверждать, что функция является суммой некоторого ряда?

Слайд 7


Пусть где - коэффициенты, которые нужно определить. Тогда Следовательно (**)
Описание слайда:
Пусть где - коэффициенты, которые нужно определить. Тогда Следовательно (**)

Слайд 8


Определение. Рядом Тейлора функции в окрестности точки называется степенной ряд (**) относительно разности коэффициенты которого выражаются через значения функции и ее производных в точке . - коэффициенты Тейлора функции в точке .
Описание слайда:
Определение. Рядом Тейлора функции в окрестности точки называется степенной ряд (**) относительно разности коэффициенты которого выражаются через значения функции и ее производных в точке . - коэффициенты Тейлора функции в точке .

Слайд 9


13.4.2. Условие разложимости функций в ряд Тейлора. При каких условиях ряд Тейлора для функции сходится и его сумма равна ? Обозначим - многочлен -й степени (частичная сумма ряда Тейлора) Остаточный член ряда Сходимость ряда к функции означает, что или
Описание слайда:
13.4.2. Условие разложимости функций в ряд Тейлора. При каких условиях ряд Тейлора для функции сходится и его сумма равна ? Обозначим - многочлен -й степени (частичная сумма ряда Тейлора) Остаточный член ряда Сходимость ряда к функции означает, что или

Слайд 10


- ошибка аппроксимации функции многочленом . Пусть - многочлен -й степени. Продифференцируем раз. Последующие производные равны нулю. Получим формулу Тейлора для многочленов
Описание слайда:
- ошибка аппроксимации функции многочленом . Пусть - многочлен -й степени. Продифференцируем раз. Последующие производные равны нулю. Получим формулу Тейлора для многочленов

Слайд 11


Пример. Разложить функцию по степеням
Описание слайда:
Пример. Разложить функцию по степеням

Слайд 12


13.4.3. Остаточный член ряда Тейлора. Формула Тейлора. Запишем функцию в виде Докажем теорему о структуре , которая позволит устанавливать, стремится ли к нулю при , т. е. разлагается в ряд Тейлора или нет.
Описание слайда:
13.4.3. Остаточный член ряда Тейлора. Формула Тейлора. Запишем функцию в виде Докажем теорему о структуре , которая позволит устанавливать, стремится ли к нулю при , т. е. разлагается в ряд Тейлора или нет.

Слайд 13


Теорема. Если во всех точках некоторого интервала, содержащего точку , имеет производную , то для всякой точки, принадлежащей интервалу, остаточный член равен где
Описание слайда:
Теорема. Если во всех точках некоторого интервала, содержащего точку , имеет производную , то для всякой точки, принадлежащей интервалу, остаточный член равен где

Слайд 14


Доказательство. Запишем остаточный член в виде Найдем такое, чтобы для всякого , принадлежащего интервалу, выполнялось Зафиксируем Тогда
Описание слайда:
Доказательство. Запишем остаточный член в виде Найдем такое, чтобы для всякого , принадлежащего интервалу, выполнялось Зафиксируем Тогда

Слайд 15


Докажем, что это выражение равно При из теоремы Лагранжа Для других построим вспомогательную функцию удовлетворяющую теореме Ролля. Пусть При заменив его значением, получим Найдем
Описание слайда:
Докажем, что это выражение равно При из теоремы Лагранжа Для других построим вспомогательную функцию удовлетворяющую теореме Ролля. Пусть При заменив его значением, получим Найдем

Слайд 16


Только подчеркнутые члены не сокращаются. Производная существует во всех точках интервала. Вынося общий множитель за скобки, получим Подставим вместо значение при котором Тогда т. е. Т. к. - любая точка интервала, то теорема доказана.
Описание слайда:
Только подчеркнутые члены не сокращаются. Производная существует во всех точках интервала. Вынося общий множитель за скобки, получим Подставим вместо значение при котором Тогда т. е. Т. к. - любая точка интервала, то теорема доказана.

Слайд 17


Формула Тейлора для функции в точке При выводе формулы предполагалось, что имеет производные до -й, где какое-то число. Другие производные нас не интересовали.
Описание слайда:
Формула Тейлора для функции в точке При выводе формулы предполагалось, что имеет производные до -й, где какое-то число. Другие производные нас не интересовали.

Слайд 18


Частные случаи 1) Это формула Лагранжа. 2) или Это линейная аппроксимация.
Описание слайда:
Частные случаи 1) Это формула Лагранжа. 2) или Это линейная аппроксимация.

Слайд 19


Т. к. - неизвестна, то нужно только оценить. Пусть в интервале, где формула Тейлора справедлива, Тогда для всякого принадлежащего интервалу Доказательство.
Описание слайда:
Т. к. - неизвестна, то нужно только оценить. Пусть в интервале, где формула Тейлора справедлива, Тогда для всякого принадлежащего интервалу Доказательство.

Скачать

Похожие презентации
Mypresentation.ru
Загрузить презентацию