🗊Презентация Таблиці істинності, логіка, доведення

Таблиці істинності, логіка, доведення Модуль 1. Лекція 1

Література Андерсон Дж. Дискретная математика и комбинаторика. – М. : Изд. дом «Вильямс», 2003. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. – СПб: Питер, 2000. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979. Бардачов Ю.М. Дискретна математика: Підручник / за ред. В.Є. Ходакова. – К.: Вища шк., 2002. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1981.

План Вступ Висловлення і логічні зв’язки. Таблиці істинності Умовні висловлення Еквівалентні висловлення Аксіоматичні системи: умовиводу і доведення Повнота в логіці висловлень Карти Карно Комутаційні схеми

Умовні позначення

Вступ Дискретна математика і логіка лежать в основі будь-якого сучасного вивчення інформатики. Слово «дискретний» означає «складений з окремих частин», а дискретна математика має справу з сукупністю об’єктів, що називаються множинами, і визначеними на них структурами. Сучасний комп’ютер – кінцева дискретна система. Розуміння того, як така машина працює, можна досягнути якщо представити машину як дискретну математичну систему. Дискретна математика є вкрай важливою для розвитку логічного мислення для майбутніх спеціалістів в області інформатики.

Висловлення та логічні зв’язки Висловлення – це твердження або розповідне речення, про зміст якого можна сказати, істинне воно або хибне. Значення істинності висловлень - «Iстинно» і «Хибно» позначають відповідно символами 1 і 0, T i F або I і Х. Закон виключеного третього. Кожне висловлення є або істинним, або хибним. Закон виключення суперечності. Жодне висловлення не є одночасно істинним і хибним. Змінні висловлення позначають латинськими літерами (р, q, r, r1, …). Після підстановки певного елементарного висловлення змінне висловлення набуває відповідного значення: 0 або 1. 1. p: «Херсон – це обласний центр». 2. q: «Земля обертається».

Висловленя: Висловленя: 1. Число 5 є простим. 2. Усі натуральні числа парні. 3. Херсон – це обласний центр. 4. Множина всіх непарних чисел є скінченною. Перше і третє висловлення - істинні, друге і четверте - хибні. Речення, що не є висловленнями: 1. Хто ви? (питання) 2. Прочитайте цей розділ до наступного заняття. 3. Хай живе математика! 4. Будьте обережні. (наказ або вигук) 5. Це твердження хибне. (внутрішньо суперечливе твердження)

Простим висловленням називається висловлення, що не містить зв'язок (і, або, ні, якщо ... то, тоді і тільки тоді …). Простим висловленням називається висловлення, що не містить зв'язок (і, або, ні, якщо ... то, тоді і тільки тоді …). Складеними висловленнями називаються висловлення, що будуються за допомогою зв'язок (операцій). Істинність складеного висловлення однозначно визначається істинністю або хибністю складових його частин. Таблиця істинності перераховує всі можливі комбінації істинності і хибності складених висловлень. Сигнатура алгебри висловлень

Кон’юнкцією висловлень p і q називається складене висловлення, яке істинне, коли істинні його обидві складові, та символічно може бути записане у вигляді p  q. Кон’юнкцією висловлень p і q називається складене висловлення, яке істинне, коли істинні його обидві складові, та символічно може бути записане у вигляді p  q. Таблиця істинності кон’юнкції

Диз'юнкцією висловлень р і q називається складене висловлення р  q, яке істинне, коли істинна одна із двох його складових. Диз'юнкцією висловлень р і q називається складене висловлення р  q, яке істинне, коли істинна одна із двох його складових. Таблиця істинності диз'юнкції Висловлення Діна водить авто або у Бориса темне волосся є складеним і символічно може бути записане у вигляді р  q. Для того щоб це висловлення було істинним, достатньо, щоб була істинною одна з його складових.

Заперечення висловлення р позначається через ~p. Значення ~р завжди протилежне значенню істинності р. Заперечення висловлення р позначається через ~p. Значення ~р завжди протилежне значенню істинності р. Таблиця істинності для заперечення р Якщо р є висловлення Діна водить автомобіль, то ~р є твердження Діна не водить автомобіль. У таблицях істинності заперечення простого висловлення оцінюється першим. Тому ~p  q означає (~р)  q, заперечення всього висловлення p  q записується як ~(p  q). Символи  і  називають бінарними зв’язками, оскільки вони зв'язують два висловлення як, наприклад, у виразах р  q і р  q. Символ ~ є унарною зв’язкою, тому що застосовується тільки до одного висловлення.

Виключаючим або висловлень р і q називається складене висловлення р  q, яке істинне, коли істинне р або q, але не обоє одночасно. Виключаючим або висловлень р і q називається складене висловлення р  q, яке істинне, коли істинне р або q, але не обоє одночасно. Виключаюче або має таблицю істинності Таблиця істинності дає можливість однозначно вказати ті ситуації, коли висловлення є істинним; при цьому враховуються всі випадки.

Складене висловлення Сергій сплатить кредит за авто або Сергій втратить своє авто і буде ходити на роботу пішки складається з наступних простих висловлень: р: Сергій сплатить кредит за авто, q: Сергій залишиться при своєму авто, r: Сергій буде ходити на роботу пішки. Складене висловлення Сергій сплатить кредит за авто або Сергій втратить своє авто і буде ходити на роботу пішки складається з наступних простих висловлень: р: Сергій сплатить кредит за авто, q: Сергій залишиться при своєму авто, r: Сергій буде ходити на роботу пішки. Дане висловлення можна символічно представити у вигляді p  ((~q)  r). Побудуємо таблицю істинності.

Умовні висловлення Імплікацією, або умовною зв'язкою називається складене висловлення p → q, яке хибне лише у випадку, коли p - істинне, а q – хибне. При цьому р називають припущенням, q – висновком. Таблиця істинності для висловлення р → q Висловлення Якщо в цьому семестрі ти складеш всі іспити на «відмінно», то отримаєш підвищену стипендію має вигляд: якщо р, то q, де р - висловлення В цьому семестрі ти складеш всі іспити на «відмінно», a q - висловлення Отримаєш підвищену стипендію.

Еквіваленцією називається висловлення р ↔ q, що істинне тільки у випадку, коли р і q мають однакові значення істинності. Висловлення р ↔ q позначає висловлення виду (р → q)  (q → р). Еквіваленцією називається висловлення р ↔ q, що істинне тільки у випадку, коли р і q мають однакові значення істинності. Висловлення р ↔ q позначає висловлення виду (р → q)  (q → р). Таблиця істинності для р ↔ q визначається таблицею істинності для (р → q)  (q → р).

Еквівалентні висловлення Логічно еквівалентними називаються складені висловлення, що мають різну будову, але є істинними в тих самих випадках. Нехай р і q є висловленнями р: Сьогодні йшов дощ, q: Сьогодні йшов сніг. Розглянемо складені висловлення. Невірно, що сьогодні йшов дощ або сніг: ~(p  q) Сьогодні не йшов дощ і сьогодні не йшов сніг: ~p  ~q

Конверсія, інверсія й контрапозиція З умовним висловленням - імплікацією р → q - пов'язані три типи висловлень: конверсія, інверсія й контрапозиція висловлення р → q. Вони визначаються в такий спосіб: р → q – імплікація q → р – конверсія висловлення р → q ~р → ~q – інверсія висловлення р → q ~q → ~р – контрапозиція висловлення р → q Нехай дано висловлення-імплікація Якщо він грає у футбол, то він популярний. Для цієї імплікації маємо: конверсія: Якщо він популярний, то він грає у футбол. інверсія: Якщо він не грає у футбол, то він не популярний. контрапозиція: Якщо він не популярний, то він не грає у футбол.

Умовні висловлення можуть виражатися у вигляді різних мовних Умовні висловлення можуть виражатися у вигляді різних мовних конструкцій, які символічно записуються як р → q. якщо р, то q. р, тільки якщо q (тількиякщо q, то р) р достатньо для q. q необхідно для р. р є достатньою умовою для q. q є необхідною умовою для р. Еквіваленція р ↔ q означає р тоді й тільки тоді, коли q, або р якщо й тільки якщо q. Для висловлень р: Денис буде грати у футбол, q: Діна організує підтримку глядачів висловлення р ↔ q може означати: Денис буде грати у футбол, якщо й тільки якщо Діна організує підтримку глядачів. Наступні мовні конструкції, що виражають еквіваленцію висловлень р ↔ q, рівносильні: р якщо й тільки якщо q. р необхідно й достатньо для q. р є необхідна й достатня умова для q.

Властивості логічних зв’язок

Тавтологія та протиріччя Тавтологією, або логічно істинним висловленням називається висловлення, істинне у всіх випадках; висловлення, хибне у кожному випадку, називається логічно хибним або протиріччям. Висловленню (p  (p → q)) → q відповідає таблиця істинності Символ Т позначає висловлення, що є тавтологією, тому має таблицю істинності, що складається з одних Т. Символ F позначає протиріччя, тобто висловлення, таблиця істинності якого містить F у всіх рядках.

Співвідношення зі сталими Закони одиниці і нуля: p  T ≡ p, p  T ≡ T, p  F ≡ F, p  F ≡ p; закони протиріччя та виключеного третього: p  ~ p ≡ F, p  ~ p ≡ T; p → p ≡ T. Правило заміни. Після заміни будь-якої компоненти висловлення на логічно еквівалентне висловлення буде отримано висловлення, логічно еквівалентне вихідному. (q  r)  (p  ~r) ≡ ≡ q  (r  (p  ~r)) ≡ властивість асоціативності ≡ q  ((r  p)  (r  ~r)) ≡ властивість дистрибутивності ≡ q  ((r  p)  T) ≡ еквівалентність ≡ q  (r  p) ≡ еквівалентність ≡ q  (p  r) ≡ властивість комутативності ≡ (q  p)  r ≡ властивість асоціативності ≡ (p  q)  r властивість комутативності

Аксіоматичні системи: умовиводу та доведення Аксіомами (постулатами) називають неозначуванні поняття і твердження, що використовують для утворення математичної системи і які точно описують фундаментальні характеристики або істинні твердження щодо цих понять. Теоремами називаються твердження, виведені (доведені) на основі тільки фундаментальних властивостей (постулатів і аксіом) і раніше доведених тверджень за допомогою логічних правил. Правилами виведення називаються логічні правила, за допомогою яких доводять нові теореми з аксіом, постулатів і раніше доведених у даній системі теорем, і які не породжують у якості "теорем" хибні висловлення. Умовивід складається із сукупності тверджень, названих гіпотезами, і твердження, названого висновком. Гіпотези – це перелік одного або більше висловлень (посилок).

Умовиводи представляють у вигляді: Умовиводи представляють у вигляді: H1 знак H2 гіпотези (припущення, посилки) «слідує» H3  C висновок (наслідок) Правильним умовиводом називається умовивід, висновок якого істинний щораз, коли істинні його гіпотези (щоразу, коли (H1  H2  H3 - істинно) → (істинне і С). Правила виведення обирають так, щоб вони були правильними умовиводами. Правильність умовиводу можна перевірити двома способами. 1 спосіб: побудувати таблицю істинності й показати, що щоразу, коли гіпотези істинні, істинний і висновок. 2 спосіб: використати таблиці істинності для обґрунтування правил виведення, а потім використати правила виведення для доведення справедливості висновку.

Метод від супротивного (протилежного) Метод направлений на доведення неправильності висновку. У разі успіху такого доведення це буде свідоцтвом неправильності умовиводу. Якщо, припускаючи неправильність умовиводу, приходимо до суперечності, то умовивід є правильним. Розглянемо умовивід p  q p → r q → r  r Якщо умовивід неправильний, існують значення істинності р, q і r, для яких посилки істинні, а висновок хибний. Якщо висновок хибний, то r хибне. Якщо q → r істинне, а r хибне, то q хибне. Якщо р → r істинне, тоді р хибне. Але тоді р  q хибне, що суперечить твердженню, що висновок хибний, а посилки істинні. Отже, умовивід правильний.

Будь-який умовивід з посилками Н1, H2, H3, ..., Hn і висновком C Будь-який умовивід з посилками Н1, H2, H3, ..., Hn і висновком C є правильним тоді і тільки тоді, коли висловлення (H1  Н2  H3  …  Нn) → C є тавтологія. Порядок проходження посилок не є істотним, оскільки Н1  Н2  Н2  Н1. Приймемо у якості правила виведення наступний умовивід, в правильності якого легко переконатися. p p → q  q Цей правильний умовивід називається правилом висновку (відокремлення) (modus ponens).

Розглянемо приклад використання правила відокремлення. Нехай b - ціле число, а р і q задані таким чином: Розглянемо приклад використання правила відокремлення. Нехай b - ціле число, а р і q задані таким чином: р: b парне; q: b ділиться на 2, отже p → q: якщо b парне, то b ділиться на 2 Правило відокремлення дає р → q якщо b парне, то b ділиться на 2 p b парне  q b ділиться на 2 Припустимо, що висловлення якщо b парне, то b ділиться на 2 одержано як властивість цілих чисел і b = 12. Тоді обидві посилки істинні, так що немає сумніву у тому, що 12 ділиться на 2. З другого боку, якщо b = 13, тоді р хибне, і хоча умовивід правильний, не можна стверджувати що-небудь про подільність b = 13 на 2. Якщо одна з посилок хибна, то істинність висновку жодним чином не залежить від правильності умовиводу.

Правила виведення

Метод доведення від супротивного (протилежного) полягає у наступному: припускаємо, що істинним є заперечення того висловлення, яке необхідно довести, і намагаємося дійти суперечності. Якщо це вдається, твердження доведено. Метод доведення від супротивного (протилежного) полягає у наступному: припускаємо, що істинним є заперечення того висловлення, яке необхідно довести, і намагаємося дійти суперечності. Якщо це вдається, твердження доведено. Розглянемо умовиводи: Таблиця істинності даних умовиводів. Таблиця істинності показує хибність обох умовиводів. 1-й з них називають помилкова конверсія, а 2-й – помилкова інверсія.

Процес доведення теорем Доведення – це послідовність тверджень, кожне з яких істинне через одну з наступних причин: а) за припущенням; б) за аксіомою або означенням; в) за раніше доведеною теоремою або лемою; г) виведено з попередніх тверджень; д) логічно еквівалентно попередньому твердженню. Довести правильність даного умовиводу: Доведення:

Повнота в логіці висловлень Одне з застосувань таблиць істинності - конструювання комутаційних схем. Оскільки р ↔ q еквівалентне (р → q)  (q → р), р  q еквівалентне (р  ~q)  (~р  q), р → q еквівалентне ~р  q, p  q еквівалентне ~(~р  ~q), p  q еквівалентне ~(~р  ~q). то використовувати зв'язки ↔, , →, ,  зручно, але не необхідно. Отже,  висловлення може бути виражене через пару зв'язок ~ і  або ~ і .

Існують дві зв'язки, такі що  висловлення може бути виражене з використанням тільки однієї з них: Існують дві зв'язки, такі що  висловлення може бути виражене з використанням тільки однієї з них:  - штрих Шеффера,  - стрілка Пірса. Їх таблиці істинності:

Наприклад, таблиця Наприклад, таблиця показує, що (р | р) | (q| q) еквівалентне р  q. Аналогічно можна показати, що (р | q) | (p | q) еквівалентно р  q. Аналогічно можна виразити ~ і  або ~ і  використовуючи тільки , таким чином показавши, що і будь-яку зв'язку можна виразити, використовуючи лише .

Нехай p1, p2, р3,…, рn - прості висловлення. Вираз х1  х2  x3  …  хn, в якому хi = рi або xi =~pi, назвемо елементарною кон'юнкцією. Вираз, що є диз'юнкцією елементарних кон'юнкцій, називається диз'юнктивною нормальною формою, тобто якщо m1, m2, m3, ..., mn - елементарні кон'юнкції, тоді m1  m2  m3  …  mn - диз'юнктивна нормальна форма. Нехай p1, p2, р3,…, рn - прості висловлення. Вираз х1  х2  x3  …  хn, в якому хi = рi або xi =~pi, назвемо елементарною кон'юнкцією. Вираз, що є диз'юнкцією елементарних кон'юнкцій, називається диз'юнктивною нормальною формою, тобто якщо m1, m2, m3, ..., mn - елементарні кон'юнкції, тоді m1  m2  m3  …  mn - диз'юнктивна нормальна форма. Нехай р1,p2,p3,…,pn прості висловлення. Назвемо вираз x1x2х3…хn у якому хі = рі або рі елементарною диз’юнкцією. Вираз, що є кон’юнкцією елементарних диз’юнкцій, називається кон’юнктивною нормальною формою, так що, якщо т1,т2,т3,…,тn елементарні диз’юнкції, то т1т2т3…тn є кон’юнктивна нормальна форма. Для висловлень р та q диз’юнктивна нормальна форма має вигляд: р  q  ~р  q  ~q

Карти Карно Карта Карно – це таблиця, кожен елемент якої є елементарною кон'юнкцією. Карти Карно використовуються для спрощення ДНФ. Для висловлень р та q карта карно має вигляд: Як відобразити ДНФ на карті Карно? Висловленню (р  q)  (~р  ~q) відповідає:

Карта Карно для р, q і r має вигляд: Карта Карно для р, q і r має вигляд:

А значить, дизюнктивній нормальній формі, що представлена у вигляді: А значить, дизюнктивній нормальній формі, що представлена у вигляді: (р  q  ~r)  (р  ~q  r)  (~р  q  ~r) буде відповідати наступна карта Карно:

Алгоритм спрощення Побудувати карту Карно для дизюнктивної нормальної форми. Сгрупувати сусідні знаки, або блоки максимальні по величині. Співвіднести блоки з відповідними висловленнями, які описують їх, та об'єднати ці висловлення символом .

Маємо Маємо (~р  ~q  ~r)  (~р  ~q  r)  (р  ~q  ~r). Побудуємо карту Карно Можна згрупувати (~р  ~q  ~r)  (~р  ~q  r) ≡ ~q  ~r та (~р  ~q  ~r)  (р  ~q  ~r) ≡ ~р  ~q Отже в результаті отримуємо: (~q  ~r)  (~р  ~q )

Комутаційні схеми

Література до лекції Андерсон Д.А. Дискретная математика и комбинаторика: Пер. с англ.. – М.: Изд. дом «Вильямс», 2003. – 960 с. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов: Учебник для вузов. 3-е изд. – Спб.: Питер, 2008. – 384 с. Хаггарти Р. Дискретная математика для программистов. Москва: Техносфера, 2005. – 400 с.

Дякую за увагу