Тема: Конечные поля - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Тема: Конечные поля. Доклад-сообщение содержит 39 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Тема: Конечные поля

Слайд 2

Описание слайда:

Конечные поля Теория конечных полей является центральной математической теорией, лежащей в основе помехоустойчивого кодирования и криптологии. Конечные поля используются при кодировании, в современных блоковых шифрах таких как IDEA и AES, в поточных шифрах (сдвиговые регистры в мобильных телефонах), а также в открытых криптосистемах, например в протоколе обмена ключами Diffie- Hellman и Elliptic Curve Cryptosystems.

Слайд 3

$Определение Пусть F есть множество с двумя бинарными операциями + и *. F называется полем, если 1) F есть абелева группа по сложению + 2) F* = F\ {0}...$

Описание слайда:

Определение Пусть F есть множество с двумя бинарными операциями + и *. F называется полем, если 1) F есть абелева группа по сложению + 2) F* = F\ {0} есть абелева группа по умножению * 3) Выполняется дистрибутивность для всех a,b и c из F a*(b + c) = a*b + a*c (a+b)*c = a*c + b*c

Слайд 4

Описание слайда:

Определение Если число элементов F конечно, то F называется конечным полем

Слайд 5

Описание слайда:

Арифметика по модулю Обозначим: Zn = {0, 1, … , n-1} a mod n есть остаток от деления a на n Пример:7mod2=1, 7mod4=3, 21mod7=0 если (a+b)=(a+c) mod n то b=c mod n Если ab = ac mod n то b=c mod n только если a и n взаимно просты a+b mod n = [a mod n + b mod n] mod n

Слайд 6

Описание слайда:

Теорема: (p – простое число) с операциями сложения и умножения целых чисел по модулю p есть конечное поле

Слайд 7

Описание слайда:

Пример конечного поля Конечное поле из двух элементов 0 и 1:

Слайд 8

Описание слайда:

Слайд 9

Описание слайда:

Циклические группы Определение: Элемент g конечной группы G называется порождающим или примитивным элементом, если все элементы группы являются степенями g. Такие группы называют циклическими Таким образом нейтральный элемент группы. Обозначение:

Слайд 10

Описание слайда:

Определение Порядок группы G – число элементов группы (обозначение |G| ). Порядок элемента g є G – наименьшее n так что gn = e (обозначается ord g).

Слайд 11

Описание слайда:

Теорема 1: является циклической только если n есть одно из чисел , где p есть нечетное простое число и n – положительное целое число. Теорема 2: Все циклические группы одного размера изоморфны. Теорема 3: Пусть G – циклическая группа из n элементов и g – порождающий элемент (т.е. ). Тогда порядок подгруппы равен

Слайд 12

Описание слайда:

Теорема 4: Пусть G есть циклическая группа из n элементов и являются делителями n, тогда существуют в точности элементов порядка

Слайд 13

Описание слайда:

Конечные поля Эварист Галуа(1811 -1832)

Слайд 14

Описание слайда:

Слайд 15

Описание слайда:

Слайд 16

Описание слайда:

Слайд 17

Описание слайда:

Слайд 18

Описание слайда:

Слайд 19

Описание слайда:

Слайд 20

Описание слайда:

Слайд 21

Описание слайда:

Слайд 22

Описание слайда:

Слайд 23

Описание слайда:

Слайд 24

Описание слайда:

Структура конечных полей Пусть f(x) – неприводимый многочлен степени n над полем F и α - корень f(x). Тогда поле F[x]/(f(x)) можно представить как F[α]={a0 +a1α+ … +an-1 αn-1: ai из F} Пусть α есть корень неприводимого многочлена степени m над полем GF(q), тогда α является также порождающим элементом поля

Слайд 25

Описание слайда:

Структура конечных полей Пример: α корень многочлена 1+x+x3 над GF(2) , то есть 1+x+x3 GF(2)[x]. Следовательно, GF(8)=GF(2)[α]. Порядок α есть делитель 8-1=7. Поэтому ord(α)=7 и α – примитивный элемент. Тогда: α3+α6 = (1+α)+(1+α2) = α+α2 = α4 α3α6 = α9=α2

Слайд 26

Описание слайда:

Структура конечных полей Таблица логарифмов Zech: Пусть α – примитивный элемент GF(q). Для каждого 0≦i≦q-2 или i = ∞, мы определяем и заносим в таблицу элемент z(i) такой что 1+αi=αz(i). (примем α∞ = 0) Для любых двух элементов αi и αj , 0≦i ≦ j≦ q-2 в поле GF(q). αi+αj = αi(1+αj-i) = αi+z(j-i) (mod q-1) αiαj = αi+j (mod q-1)

Слайд 27

Описание слайда:

Структура конечных полей

Слайд 28

Описание слайда:

Теорема: Произвольный неприводимы многочлен над полем GF(2) делит многочлен Xn+1, где n = 2m-1 и m есть степень многочлена

Слайд 29

Описание слайда:

Примитивные многочлены Неприводимый многочлен p(X) степени m называется примитивным, если n – наименьшее положительное целое число такое что p(X) делит Xn+1 и n=2m-1 Пример p(X)=X4+X+1 делит X15+1 но не делит никакой многочлен Xn+1 для 1≤n

Слайд 30

Описание слайда:

Слайд 31

Описание слайда:

Слайд 32

Описание слайда:

Слайд 33

Описание слайда:

Слайд 34

Описание слайда:

Слайд 35

Описание слайда:

Слайд 36

Описание слайда:

Слайд 37

Описание слайда:

Алгоритмы Алгоритм Евклида нахождения НОД Расширенный алгоритм Евклида Возведение в степень

Слайд 38

Описание слайда:

Векторное пространство(V,F, +, .) F - поле V множество элементов(векторов) Сложение векторов(коммутативное, ассоциат-е) Умножение на число Линейная зависимость, базисы, подпространства

Слайд 39

Описание слайда:

Источники Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967 Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. Конечные поля. В 2-х томах. - Москва, "Мир", 1988. Э.Берлекэмп, Алгебраическая теория кодирования, Мир, Москва, 1971. Р.Блейхут, Теория и практика кодов, контролирующих ошибки, Мир, Москва, 1986.