🗊Презентация Теорема Виета для кубического уравнения

Теорема Виета для кубического уравнения.

Историческая справка Виет Франсуа родился в 1540 году в Фонте-ле-Конт французской провинции Пуату – Шарант. Отец Виета был юристом (прокурором), а мать (Маргарита Дюпон) происходила из знатной семьи, что облегчило дальнейшую карьеру её сына.

Получив юридическое образование, он с девятнадцати лет успешно занимался адвокатской практикой в родном городе. Он был широко образованным человеком. Знал астрономию и математику и все свободное время отдавал этим наукам. Но главной страстью Виета была математика.

Виет сделал принципиально новое открытие, поставив перед собой цель изучать не числа, а действия над ними. Виета называют «отцом» алгебры, основоположником буквенной символики. Особенно гордился Франсуа всем известной теперь теоремой о выражении коэффициентов уравнения через его корни. Виет первый обозначил буквами не только неизвестные, но и данные величины, т.е. коэффициенты соответствующих уравнений

Виет сначала решает задачи в общем виде, и только потом приводит числовые параметры. В общей части он обозначает буквами не только неизвестные, что уже встречалось ранее, но и все прочие параметры, для которых он придумал термин «коэффициенты». Виет использовал для этого только заглавные буквы – гласные для неизвестных, согласные для коэффициентов. Виет сначала решает задачи в общем виде, и только потом приводит числовые параметры. В общей части он обозначает буквами не только неизвестные, что уже встречалось ранее, но и все прочие параметры, для которых он придумал термин «коэффициенты». Виет использовал для этого только заглавные буквы – гласные для неизвестных, согласные для коэффициентов.

Теорема Виета Сумма корней приведённого квадратного уравнения x2 + px + q = 0 равна коэффициенту p, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену q: В общем случае (для неприведенного квадратного уравнения):

Особый интерес представляет исследование Виета по составлению уравнений из линейных множителей и по установлению связей между корнями уравнения и его коэффициентами. Особый интерес представляет исследование Виета по составлению уравнений из линейных множителей и по установлению связей между корнями уравнения и его коэффициентами.

Пусть x1 и x2 – корни приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0 Пусть x1 и x2 – корни приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0 Перемножим двучлены (х - x1) и (х - x2) : (х - x1)(х - x2) = x2 - (x1+ x2)х + x1x2 , Тогда, сравнивая с исходным уравнением можно записать систему :

Выполняя аналогичные действия для приведенного кубического уравнения x3+ax2+bx+c=0, считая x1,x2,x3 корнями исходного кубического уравнения, получаем: (х-x1)(х-x2)(х-x3) = x3 – (x1+x2+x3 ) x2+(x1x2+ x1x3 + x2,x3)х - x1x2x3 Выполняя аналогичные действия для приведенного кубического уравнения x3+ax2+bx+c=0, считая x1,x2,x3 корнями исходного кубического уравнения, получаем: (х-x1)(х-x2)(х-x3) = x3 – (x1+x2+x3 ) x2+(x1x2+ x1x3 + x2,x3)х - x1x2x3 следовательно, имеет место следующая система равенств:

Если x1,x2,x3,- корни неприведённого кубического уравнения ax3 + bx2 + cx + d = 0, то x1+x2+x3=- b/a Если x1,x2,x3,- корни неприведённого кубического уравнения ax3 + bx2 + cx + d = 0, то x1+x2+x3=- b/a (х1*х2+х1*х3+х2*х3)= с/а х1*х2*х3=-d/a есть суть теоремы Виета для кубического уравнения.

Решить уравнение x3-4x2+x+6=0. 1 способ: при а=1 свободный член этого уравнения раскладывают на простые множители, затем поочередно выбирают значения «x», равные одному из этих множителей с различными знаками. Эти значения х проверяют, подставляя их в исходное равенство. Таким способом иногда удается найти первый корень кубического уравнения х1. Для нахождения остальных корней кубического уравнения надо соответствующий многочлен разделить на выражение (х-х1), при этом в частном получается квадратный трехчлен. Корни получившегося квадратного трехчлена также являются корнями кубического уравнения. Таким образом 6=1*2*3, т.е.корни уравнения могут быть числа 1 или -1,2 или-2,3 или-3. Способом подстановки выясняем, что х1=-1.Разделим многочлен х3-4х2+х+6 на (х+1) и получим трехчлен х2-5х+6, т.е.х3-4х2+х+6=(х+1)*(х2-5х+6)=0. Найдем корни квадратного уравнения х2-5х+6=0 по теореме Виета: х1=2 и х2=3. Таким образом исходное кубическое уравнение имеет три действительных корня: х1=-1, х2=2, х3=3.

2 способ: применение теоремы Виета для решения кубического уравнения 2 способ: применение теоремы Виета для решения кубического уравнения Итак, если х3-4х2+х+6=0, то х1+х2+х3=4 Х1*х2+х1*х3+х2*х3=1, Х1*х2*х3=-6 Методом подбора находим: (-1)*2*3=-6 (-1)+2+3=4 (-1)*2+(-1)*3+2*3=1, т.е корни уравнения х1=-1,х2=2, х3=3.

Задача: вычислить, используя теорему Виета, сумму квадратов корней уравнения х3-6х2+11х-6=0 Согласно теореме Виета имеем: х1+х2+х3=6 х1*х2+х1*х3+х2*х3=11 х1*х2*х3=6 Т.к. (х1+х2+х3)2=х12+х22+х32+2(х1*х2+х1*х3+х2*х3) то получим 62=х12+х22+х32+2*11 36-22= х12+х22+х32 х12+х22+х32=14 Ответ: 14

Задача: Составить кубическое уравнение, корнями которого являются числа -5;3;4 Решение: Пусть х1=-5, х2=3,х3=4, тогда А теперь составим приведенное кубическое уравнение вида x3+ax2+bx+c=0, корнями которого являются -5, 3, 4. Им будет x3-2x2-23x+60=0

Посвящение теореме Виета: По праву достойна в стихах быть воспета О свойствах корней теорема Виета. Что лучше, скажи постоянства такого: Умножишь ты корни - и дробь уж готова: В числителе с, в знаменателе а, А сумма корней тоже дроби равна Хоть с минусом дробь эта, что за беда В числителе в, в знаменателе а.

Спасибо за внимание. Спасибо за внимание.