🗊Презентация Теоремы Чевы и Менелая. Геометрия 10 класс (профильный уровень)

Геометрия 10 класс (профильный уровень)

Изучение нового материала Теорема Менелая Менелай Александрийский – древнегреческий математик (Iв.н.э.) Пусть на сторонах или продолжениях сторон АВ, ВС и СА треугольника АВС отмечены точки С1, А1, В1, не совпадающие с его вершинами, причем . Тогда если точки С1, А1, В1 лежат на одной прямой, то рqr=-1; обратно: если рqr=-1, то точки С1, А1, В1 лежат на одной прямой.

Изучение нового материала Теорема Чевы (Джованни Чева - итальянский математик 1678г) Пусть на сторонах или продолжениях сторон АВ, ВС и СА треугольника АВС отмечены точки С1, А1, В1, не совпадающие с его вершинами, причем Тогда если прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке или попарно параллельны, то рqr=1; обратно: если рqr=1, то прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке или попарно параллельны.

Решение задач №1. В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC=3BN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА=АС. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F. Найдите отношение .

Решение задач №2. В треугольнике АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 5, АС = 4. А1 и С1 – точки касания, принадлежащие соответственно сторонам ВС и ВА. Р – точка пересечения отрезков АА1 и СС1. Точка Р лежит на биссектрисе ВВ1. Найдите АР : РА1. Решение: Точка касания окружности со стороной АС не совпадает с В1, так как треугольник АВС – разносторонний. Пусть С1В = х, тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения 8 – х + 5 – х = 4, х =4,5. Значит, С1В = ВА1 = 4,5, А1С = 5 – 4,5= 0,5 АС1 = 8 – 4,5=3,5 . В треугольнике АВА1 прямая С1С пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая … Ответ: 70 : 9.

Решение задач №2. В треугольнике АВС, описанном около окружности, АВ=13, ВС=12, АС=9, А1 и С1 – точки касания, лежащие соответственно на сторонах ВС и АВ. N – точка пересечения отрезков АА1 и ВВ1. Точка N лежит на высоте ВВ1. Найдите отношение BN:NB1. .

Домашнее задание пп.95,96 Задачи. В треугольнике АВС АD – медиана, точка О– середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К. В каком отношении точка К делит АС, считая от точки А? (Примечание. Рассмотрите треугольник АDC) Стороны треугольника 5, 6 и 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.