🗊Презентация Теоремы о пределах функции и о непрерывных функциях. Асимптотические приближения. Точки разрыва. (Лекция 4)

Лекция 4. Основные теоремы о пределах функции. Асимптотические приближения. Непрерывность функции. Основные теоремы о непрерывных функциях. Точки разрыва. Классификация точек разрыва. Основные теоремы о пределах

Из равенства (2) вытекает, что сумма f(x)+g(x)-h(x) отличается от A+B+C на бесконечно малую функцию и следовательно, это число является пределом данной суммы. Таким образом, имеем Из равенства (2) вытекает, что сумма f(x)+g(x)-h(x) отличается от A+B+C на бесконечно малую функцию и следовательно, это число является пределом данной суммы. Таким образом, имеем (3). Теорема доказана. Следствие Функция может иметь только один предел при . Действительно, если и при , то на основании теоремы 1 получим при . Так как предел постоянной функции равен самой функции и единственен, то имеем A-A’=0, то есть A=A’. Замечание В условии теоремы предполагалось, что каждая из функций имеет предел и доказывалось, что их сумма также имеет предел. Обратное в общем случае неверно, то есть из существования предела суммы не следует существование пределов слагаемых. Пример ,тогда как не существует и не существует

Теорема 2 Теорема 2 Если каждый из сомножителей конечного числа функций имеет предел при , то предел произведения при . существует и равен произведению пределов сомножителей. Доказательство Рассмотрим сначала произведение двух сомножителей f(x)g(x) и пусть , .Имеем (4),где ,при . Отсюда получаем (5),где (6). Из основных теорем о бесконечно малых (теорема 1,2,3) следует, что при .Поэтому на основании равенства (5) будем иметь (7). 2)Рассмотрим случай произведения трех функций f(x)g(x)h(x), имеющих конечные пределы при . Используя первую часть доказательства находим Следствие 1 Постоянный множитель можно выносить за знак предела. Пусть С – постоянная функция, тогда

Следствие 2 Следствие 2 Если функция f(x) имеет предел при , то придел целой положительной степени ее равен такой же степени предела этой функции, то есть Пример Лемма Пусть при . Тогда обратная по величине функция ограничена в некоторой окрестности точки а. Доказательство Положим . На основании определения предела функции имеем ,при . Отсюда получаем при . Таким образом, . Теорема 3 Если функция f(x) имеет предел при , отличный от нуля, то предел обратной ей по величине функции равен обратной величине предела данной функции, то есть (8).

Доказательство Доказательство Пусть Тогда на основании леммы и учитывая, что произведение ограниченной функции на бесконечно малую функции, есть бесконечно малая функция, будем иметь при . Отсюда получаем Теорема 4 Если делимое f(x) и делитель g(x) имеют пределы при и предел делителя отличен от нуля, то предел их частного при равен частному пределов делимого и делителя, то есть (9). Доказательство Пусть . Тогда, используя теорему о пределе произведения (теорема 2) и теорему о пределе обратной величины функции (теорема 3), получим Пример

Теорема 5 Теорема 5 Если функция f(x) имеет предел при и (n – натуральное) существует в точке а и в некоторой ее окрестности , то (10) Некоторые признаки существования предела функции Не всякая функция имеет предел, если даже она ограничена. Укажем два признака существования предела функции. Теорема о промежуточной функции Пусть в некоторой окрестности точки а функции f(x) заключена между двумя функциями и , имеющими одинаковый предел А при , то есть (1) и (2), тогда функция f(x) имеет тот же предел, то есть (3). Доказательство Из неравенства (1) имеем , отсюда (4). На основании условия (2) для , что и при (5). Поэтому из неравенства (4) получаем при . (6) Определение 1.Функция f(x) называется возрастающей (не убывающей) на данном множестве Х, если из неравенства следует неравенство (соответственно .

2.Функция f(x) называется убывающей (не возрастающей) на данном множестве Х, если из неравенства следует неравенство (соответственно . 2.Функция f(x) называется убывающей (не возрастающей) на данном множестве Х, если из неравенства следует неравенство (соответственно . 3.Возрастающая или убывающая функция называется монотонной на данном множестве Х. Теорема Пусть функция f(x) монотонна и ограничена при x<a и x>a. Тогда существует соответственно левый предел и правый предел ее . Если = , то функция имеет предел в точке а.

Первый замечательный предел Первый замечательный предел (предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге) Теорема Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице, то есть (1) Доказательство Рассмотрим в координатной плоскости круг радиуса R с центром в начале координат то есть или . В силу четности функций и это неравенство справедливо и для интервала . Перейдя в этом неравенстве к пределу при и заметив, что в силу непрерывности функции cosx при х=0 имеет место равенство получим что равносильно .

Второй замечательный предел Второй замечательный предел Рассмотрим выражение , где n – натуральное число. Задаем для n неограниченно возрастающие значения и вычисляем . Получим следующий результат Как видно из таблицы при увеличении n выражение изменяется все медленнее и стремится к некоторому пределу, приближенно равному 2,718. Теорема Последовательность стремится к конечному пределу, заключенному между 2 и 3. (Доказательство на основании разложения по биному Ньютона). Этот предел называется числом e. Итак ,е=2,7182818284… Рассмотрим функцию ,где Можно доказать, что Другое выражение для числа е. Полагая будем иметь .

При вычислении пределом полезно применять следующие формулы: При вычислении пределом полезно применять следующие формулы: ; ; . Данные формулы легко получаются из двух основных формул. Понятие об асимптотических формулах Пусть -функции определенные в окрестности точки а. Обобщая определение о бесконечно малой функции будем говорить, что при (1). если где при (2). Если в некоторой окрестности точки а, то из (2) имеем (3). Определение Если при справедливо равенство (4), то функция называется асимптотическим выражением для функции f(x) при . Используется запись при .Если , то при из формулы (4) получаем (5). Выясним условие существования для функции f(x) ненулевого асимптотического приближения при (6).

Пусть (7) где при , то есть при Пусть (7) где при , то есть при ,причем очевидно также, что при .Их (7) будем иметь (8) Переходя к пределу при в равенстве (8) и учитывая, что при получим (9).Из формулы (7) (10). Обратно, если существуют пределы (9),(10), из которых хотя бы один не нулевой, то справедливо асимптотическое разложение (7). График линейного асимптотического разложения y=kx+b называется асимптотой кривой y=f(x) и имеет вид: Здесь для точек M(x,y) и M’(x,Y) при

Пример Пример Построить при линейную асимптотическую формулу для функции Решение Используя формулы (9),(10) имеем Таким образом ~ при . Непрерывность функции Приращение аргумента и функции. Пусть х– некоторое значение данной переменной величины. Наряду с х рассмотрим и другое значение этой переменной величины . Определение 1 Приращением некоторой переменной величины называется разность между новым значением этой величины и ее прежним значением. В нашем случае

Обозначение - приращение величины х. Обозначение - приращение величины х. Прибавляя к значению переменной величины ее приращение, получаем приращенное значение этой величины. -приращенное значение величины х. Рассмотрим функцию y=f(x) (1) Даём для х, тогда y получает соответствующее приращение . Очевидно это можно записать (2). Из (1) и (2) следует (3). Геометрическая интерпретация Кривая АВ – график функции f(x).

Рассмотрим точку M(x,y). Даем приращение координате х - .Тогда ордината y получит приращение . Точка M(x,y) займет положение . Рассмотрим точку M(x,y). Даем приращение координате х - .Тогда ордината y получит приращение . Точка M(x,y) займет положение . Пусть С – точка пересечения прямой параллельной ОХ и перпендикуляра M’N’ на ОХ. Очевидно . Может случиться, что для некоторого х при стремлении точка M’ неограниченно приблизится к М, то есть . В таком случае y=f(x) называется непрерывной при данном значении х. Определение 2 Функция называется непрерывной в данной точке, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции. Используя понятие предела функции, получаем развернутое определение непрерывности функции в точке. Определение 3 Функция f(x) непрерывна в точке тогда и только тогда, когда , такое, что (4),если и , любое допустимое приращение.

Определение 4 Определение 4 Функция f(x) называется непрерывной на данном множестве Х, если 1)она определена на этом множестве, то есть 2) непрерывна в каждой точке этого множества, то есть справедливо равенство (5), где . Пример Исследовать на непрерывность функцию Решение Давая х приращение , получим Очевидно, каково бы ни было фиксированное значение х, если ,то ,то есть функция непрерывна при любом Определение 5 Точка, в которой нарушается непрерывность функции называется точкой разрыва этой функции. Если -точка разрыва функции y=f(x), то возможны два случая: 1) функция f(x) определена при ,причём при

2) функция f(x) не определена при и говорить о приращении функции в точке 2) функция f(x) не определена при и говорить о приращении функции в точке не имеет смысла . В этом случае условимся называть точкой разрыва функции f(x) только тогда, когда функция f(x) определена в непосредственной близости значения . Если можно изменить или дополнительно определить функцию f(x) в точке ,то есть выбрать число , так, что измененная или дополненная функция f(x) будет непрерывна при ,то эта точка называется устранимой точкой разрыва функции f(x). В противном случае, то есть когда функция f(x) остается разрывной при при любом выборе числа значение называется неустранимой точкой разрыва функции f(x). Пример 1 Рассмотрим функцию Е(х), равную целой части числа х, то есть, если x=n+q, где n – целое число, , то E(x)=n

Так Функция Е(х) разрывная при каждом целочисленном значении аргумента х. Действительно при x=1 и достаточно малом получаем Отсюда, приняв во внимание, что E(1)=1 получим

Следовательно, приращение функции не стремится к нулю при Следовательно, приращение функции не стремится к нулю при то есть функция разрывная при х=1. Аналогичное рассуждение можно провести и для x=k, где k -целое. Пример 2 Функция , не определена при х=2, но имеет смысл для всех значений Какое бы значение не приписывали числу f(2), всегда будем иметь при . Таким образом, при х=2 при любом выборе значения f(2) при , следовательно, эта функция имеет неустранимую точку разрыва при х=2.

В виду важности понятия непрерывности функции приведем другое определение непрерывности функции в точке, эквивалентное, приведенному выше. В виду важности понятия непрерывности функции приведем другое определение непрерывности функции в точке, эквивалентное, приведенному выше. Определение 6 Функция f(x) называется непрерывной при , если эта функция определена при ; имеет место равенство (1). То есть функция непрерывна в данной точке , тогда и только тогда, когда предел функции при равен значению функции в предельной точке. Точка - предельная точка области определения функции f(x). Для функции, непрерывной на множестве Х, в силу формулы (1) для каждого значения выполнено неравенство Так как ,то отсюда получаем (2) , то есть , если функция непрерывна, то знаки предела и функции перестановочны. Справедливо усиленное свойство перестановочности функции f(x) и предела, а именно - непрерывная функция при , тогда для f(x) имеем

Основные теоремы о непрерывных функциях Основные теоремы о непрерывных функциях Теорема 1 Сумма конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная. Доказательство Пусть - непрерывные функции на множестве Х и , тогда , то есть предел суммы при равен значению этой суммы при . Следовательно также непрерывная на множестве Х. Теорема 2 Произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная. Доказательство аналогично доказательству в теореме 1. Следствие Полином - непрерывная функция. Теорема 3 Частное от деления двух непрерывных функций есть функция непрерывная во всех точках, в которых делитель отличен от 0. Доказательство аналогичное.

Следствие Следствие Дробно-рациональная функция непрерывна всюду за исключением тех значений х, где знаменатель обращается в 0. Теорема 4 Непрерывная функция от непрерывной функции также непрерывна. Сложная функция, состоящая из непрерывных функций, непрерывна. Доказательство Пусть и - определена в этой точке, причем непрерывная в точке , а f(u) непрерывная в точке . На основании усиленного свойства перестановочности функции и предела имеем , то есть непрерывная в точке . Пример Функции и - непрерывные в силу непрерывности функций sinx и Теорема 5 Если функция y=f(x) непрерывная и строго монотонная на интервале (a,b), то существует однозначная обратная функция , определенная на интервале (f(a),f(b)), которая также непрерывная и монотонная.

Раскрытие неопределенностей Раскрытие неопределенностей Может случиться, что f(x) определена и непрерывная всюду, за исключением некоторого значения , при котором функция f(x) теряет смысл, то есть становиться неопределенной. Каким образом можно выбрать число . Чтобы дополненная функция была непрерывной при . Для этого необходимо и достаточно выполнение равенства . Операция нахождения предела функции f(x) при в этом случае называется раскрытием неопределенности, а сам предел, если он существует носит название истинного значения функции f(x) при Пример при х=2 функция не определена. Полагая, дополнительно получим функцию непрерывную всюду, в том числе и при х=2. Если же положить ,то то соответствующая функция будет разрывная при х=2.

Классификация точек разрыва Классификация точек разрыва Определение Точка разрыва функции f(x) называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределы функции При этом f(x) не обязательно должна быть определена в точке , то есть может не существовать - называется скачком функции f(x) в точке Все прочие точки разрыва функции f(x) называются ее точками разрыва второго рода. Точки бесконечного разрыва характеризуются тем, что для них существуют односторонние пределы

хотя бы один из которых, является бесконечным. В этом случае прямая называется вертикальной асимптотой графика функции f(x)