🗊Презентация Теория вероятности и математическая статистика. Введение. Основные понятия. Алгебра событий

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Лекция 1. Лекция 1. Основные изучаемые вопросы: Случайные события. Понятие вероятности события. Элементы комбинаторики.

ВВЕДЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ Все явления окружающей нас действительности можно рассматривать с точки зрения вероятности их наступления в ходе опыта (испытания). Под испытанием понимают процесс, протекающий при определенных условиях и приводящий к одному из возможных исходов. Исходом опыта может быть результат наблюдения, измерения, оценки. Элементарным событием является отдельный, отличающийся от других, исход испытания. К примеру, испытание – это выстрел, а исходы (элементарные события) – попадание или промах.

Основные понятия. Алгебра событий Случайное событие - это любой факт, который может либо произойти, либо не произойти при выполнении некоторого комплекса условий.

Если в каждом испытании с неизбежностью происходит некоторое событие - оно называется достоверным (обозначается ). Если в каждом испытании с неизбежностью происходит некоторое событие - оно называется достоверным (обозначается ). Если событие заведомо не может произойти при данном комплексе условий (ни при каком испытании) — оно называется невозможным (обозначается ). События А и В называются несовместными (несовместимыми), если появление одного из них исключает появление другого (не могут произойти одновременно). События А и В - совместные (совместимые), если они могут произойти одновременно в результате испытания. События А и В - равновозможные, если по условиям испытания нет оснований считать какое-либо из них более возможным.

Пример. Рассмотрим случайные события - выпадение определенного числа на верхней грани - которые могут произойти при бросании простого шестигранного игрального кубика. Пример. Рассмотрим случайные события - выпадение определенного числа на верхней грани - которые могут произойти при бросании простого шестигранного игрального кубика. Введем обозначения случайных событий:  - выпадение какого-либо числа от 1 до 6 - достоверное событие;  - выпадение числа 7 - невозможное событие; А - выпадение числа 2, В - выпадение числа 3, С - выпадение нечетного числа, D - выпадение любого из чисел 1, 3 или 5. Тогда события: А и В, А и С, А и D - несовместные; В, С и D - совместные; причем В - частный случай С. С и D - равносильные; А и В - равновозможные.

В теории вероятностей случайные события рассматриваются с точки зрения теории множеств, что позволяет определить отношения над ними. Суммой событий А и В называют событие А+В, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий А или В. Для суммы событий выполняются соотношения: А + В = В + А; А +  = ; A +  = A; A + A = A.

Произведением событий Произведением событий А и В называют событие А·В, состоящее в одновременном наступлении этих событий. Для произведения событий выполняются соотношения: А·В = В·А; А· = А; А·  = ; А·А = А. Событие А называется противоположным событием (дополнением) события А, если непоявление одного события влечет появление другого.

Пример. Пусть случайным образом из колоды карт извлекается одна карта. Введем обозначения: Пример. Пусть случайным образом из колоды карт извлекается одна карта. Введем обозначения: событие А - извлечение дамы; событие В - извлечение короля; С - извлечение карты пиковой масти. Тогда события: А + В - извлечение дамы или короля любой масти; А·С - извлечение пиковой дамы; (А+В)·С - извлечение пиковой дамы или пикового короля. Операции сложения и произведения удовлетворяют свойству дистрибутивности: (А + В)·С = А·С + В·С; А + В·С = (А + В)(А+С). Операции над событиями удовлетворяют формулам де Моргана: А + В = А·В А + В = А·В.

События образуют полную группу попарно несовместимых событий, если любые два из них несовместны и хотя бы одно непременно должно произойти в результате испытания. События образуют полную группу попарно несовместимых событий, если любые два из них несовместны и хотя бы одно непременно должно произойти в результате испытания. Следует иметь в виду соотношения: А = А; А + А =  А·А = . Пример. При бросании игрального кубика случайные события Н1, Н2, Н3, Н4, Н5, Н6 - обозначающие соответственно выпадение чисел 1, 2, 3, 4, 5 или 6 - образуют полную группу событий. События А1 и А2 - выпадения четного и нечетного числа - также образуют полную группу событий (и, заметим, являются противоположными).

Примеры для обсуждения 1. Какие из предложенных событий являются совместными? a). Опыт - бросание монеты. События: А - выпала цифра; В - выпал герб; b). Опыт - бросание игральной кости. События: А - выпадение единицы; В - выпадение тройки; С - выпадение четного числа очков; c). Опыт - бросание двух монет. События: А - хотя бы на 1 из монет выпадет герб; В - на обеих монетах выпадет герб; d). Опыт - два выстрела по мишени. События: А - есть хотя бы одно попадание; В - ни одного попадания.

2. Какие из предложенных событий являются несовместными? 2. Какие из предложенных событий являются несовместными? а). Опыт - бросание монеты. События: А - хотя бы на одной монете выпал герб; В - на обеих монетах выпал герб; b). Опыт - два выстрела по мишени. События: А - хотя бы одно попадание; В - ни одного попадания; c). Опыт - бросание игрального кубика. События: А - выпадение шестерки; В - выпадение четного числа очков; d). Опыт - сдача экзамена. События: А - получение оценки «3» на экзамене; В - получение оценки ниже оценки «5».

3. Какие из предложенных событий образуют полную группу событий? 3. Какие из предложенных событий образуют полную группу событий? a). Выигрыш по первому билету и проигрыш по второму лотерейному билету при наличии двух лотерейных билетов. b). Два попадания, одно попадание и ни одного попадания при двух выстрелах. c). Появление 1, 2, 3, 4 при бросании игрального кубика. d). Получение оценки «5» и получение оценки 4 «на экзамене». 4. Что понимают под суммой двух несовместных событий А и В? a). Совместное появление событий А и В. b). Появление хотя бы одного из событий А или В. c). Появление либо события А, либо события В.

Классическое определение вероятности Вероятность события - это численная мера объективной возможности его появления. В соответствии с классическим определением, вероятность Р(А) события А равняется отношению числа случаев М, благоприятствующих событию А, к общему числу всех возможных исходов испытания N: При этом полагают, что: испытание содержит конечное число исходов; все исходы испытания равновозможны и несовместны.

Свойства вероятности события Свойства вероятности события 1. Вероятность любого случайного события есть число от нуля до единицы, так как число благоприятных исходов не может превышать общего числа исходов испытания (М < N): 0 < Р(А) < 1. 2. Вероятность достоверного события равна 1, так как все исходы испытания являются благоприятными (М = N): Р(А) = 1. 3. Вероятность невозможного события равна 0, так как нет ни одного благоприятного исхода испытания (М = 0): Р() = 0.

Пример. Известно, что среди 25 приборов имеется 5 бракованных. Какова вероятность при случайном отборе взять бракованный? Пример. Известно, что среди 25 приборов имеется 5 бракованных. Какова вероятность при случайном отборе взять бракованный? Решение. Множество исходов испытания представляет собой все возможные способы выбора одного прибора из имеющихся 25. Так как отбор случайный, все они равновозможны. Событие А состоит в том, что отобранный прибор - бракованный. Таким образом общее число вариантов отбора N = 25, из них 5 случаев благоприятствуют событию А, т. е. М = 5. Следовательно, в соответствии с классическим определением, вероятность события А составляет: Р(А) = 5 /25 = 0,2.

Элементы комбинаторики Комбинаторика - это раздел математики, изучающий методы решения задач на подсчет числа различных комбинаций. В комбинаторике есть два важных правила, часто применяемых при решении комбинаторных задач. 1. Правило умножения комбинаторики Пусть требуется выполнить одно за другим какие-то k действий, причем первое действие можно выполнить n1 способами, второе п2 способами и т. д. до k-го действия, которое можно выполнить пk способами. Тогда все k действий вместе могут быть выполнены n1 n2 … nk способами. 2. Правило сложения комбинаторики. Если два действия взаимно исключают друг друга, причем одно них можно выполнить n1 способами, а другое п2 способами, то выполнить одно любое из этих действий можно n1 + п2 способами.

Пример. Сколько существует различных семизначных телефонных номеров? Пример. Сколько существует различных семизначных телефонных номеров? Решение. Семизначный номер представляет собой комбинацию 7 ячеек, каждую из которых мы можем заполнить одной из имеющихся в нашем распоряжении 10 цифр - 0, 1, 2, ..., 9. Только в первой ячейке не может быть цифры 0 - иначе номер не будет 7-значным (мы не рассматриваем варианты, когда телефонный номер не может начинаться еще на какие-то цифры, например, на 8 в Москве). Таким образом, 1-ю ячейку мы можем заполнить 9 способами, а 2-ю, 3-ю и т. д. до последней - 10 способами. Следовательно, по правилу умножения, общее число комбинаций будет равна произведению: N = 9·106 = 9 000 000. Пример. Выбрать книгу или диск (один предмет) из 10 книг и 12 дисков можно N = 10 +12 = 22 способами.

Рассмотрим основные понятия комбинаторики. Пусть дано множество из п различных элементов и из него мы выбираем случайным образом т элементов (0 < т < п). Рассмотрим основные понятия комбинаторики. Пусть дано множество из п различных элементов и из него мы выбираем случайным образом т элементов (0 < т < п). Эти m-элементные подмножества могут отличаться: составом элементов; порядком следования элементов; возможностью повтора элементов в подмножестве; объемом подмножества. В соответствии с этим выделяют следующие виды подмножеств. 1. Размещения - упорядоченные т-элементные подмножества п-элементного множества, которые отличаются как составом, так и порядком следования элементов. Число всех размещений Аmn из n элементов по т (где т < п), определяется по формуле:

Напомним, что факториал есть Напомним, что факториал есть n! = п · (п - 1) ·... · 3 · 2 · 1; 0! = 1. Пример. Сколькими способами можно случайным образом из 25 студентов курса выбрать двух (с учетом порядка их выбора)? Решение. Так как в данном случае важно не только то, какие два человека будут выбраны из 25 (состав элементов n), но и кто из них первый, а кто - второй (порядок следования элементов), то общее число комбинаций будет числом размещений из 25 элементов по 2 (m). Таким образом, искомое общее число способов будет равно:

Размещения с повторениями Размещения с повторениями Каждое размещение с повторениями из п элементов по т элементов может состоять не только из различных элементов, но из т каких угодно и как угодно повторяющихся элементов или не содержать их вообще. Например, возьмем в качестве трех элементов цифры 1, 2 и 3, тогда п = 3. Построим соединения из них, содержащие два элемента (т = 2), которые будут отличаться друг от друга либо элементами, либо порядком их расположения Таких соединений будет девять (число размещений с повторениями из трех по два): 11 12 13 21 22 23 31 32 33 Число размещений с повторениями из п элементов по т элементов будем обозначать символом

2. Перестановки - любые упорядоченные множества, в которые входят по одному все n различных элементов исходного множества. Число всех перестановок Рn из n элементов определяется по формуле: 2. Перестановки - любые упорядоченные множества, в которые входят по одному все n различных элементов исходного множества. Число всех перестановок Рn из n элементов определяется по формуле: Рn = п! Перестановки - это частный вид размещений, когда п = т: Рn = Аmn. Пример. Сколькими способами можно поставить 5 человек в очередь? Решение. Так как в данном случае искомые комбинации будут состоять из всех 5 элементов исходного множества, то общее число комбинаций будет числом перестановок из 5 элементов. Таким образом, искомое общее число способов будет равно: Р5 = 5! = 5·4·3·2·1 = 120.

Перестановки с повторениями Перестановки с повторениями Пусть имеется совокупность n элементов, среди которых m элементов первого типа, l элементов второго типа и k элементов третьего типа (m + l + k = n). Для расчета числа возможных перестановок с повторениями применяют формулу: Например, возьмем две цифры (1 и 2), которые в 4-значном (n = 4) числе повторяются по 2 раза (m = 2, k = 2). Число возможных перестановок с повторениями Найдем все эти перестановки: 1122 1212 1221 2112 2121 2211.

3. Сочетания – это m-элементные подмножества 3. Сочетания – это m-элементные подмножества n-элементного множества, которые отличаются только составом элементов (порядок их следования не важен!). Число всех сочетаний Сmn из п элементов по т (где т < п), определяется по формуле: Пример. Сколькими способами можно вызвать двух человек из группы 25 человек случайным образом к доске? Решение. Так как в данном случае важно только то, какие 2 человека будут выбраны из 25 человек группы (состав элементов), а порядок их следования не важен, то общее число комбинаций будет числом сочетаний из 25 элементов по 2. Таким образом, искомое общее число способов будет равно:

Сочетания с повторениями Сочетания с повторениями Рассмотрим случай, когда сочетание из п элементов по т элементов может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до т включительно, или не содержать его совсем. Такое соединение называется сочетанием с повторениями. Например, возьмем в качестве трех элементов цифры 1, 2 и 3, тогда п = 3. Построим соединения из них, содержащие два элемента (т = 2), которые будут отличаться друг от друга хотя бы одним элементом, при этом каждый элемент может повторяться. Таких соединений будет шесть (число перестановок с повторениями): 11 12 13 22 23 33 Формула для вычисления числа сочетаний с повторениями:

Примеры для обсуждения Примеры для обсуждения Четыре студента претендуют на три места в олимпиаде. Сколько существует способов распределения мест между ними? Сколькими способами можно выбрать 7 красок из 9? Если выполняются соотношения п > 2, т < п, то какое число больше: Аnm или С nm ? Сколькими способами можно составить список из пяти фамилий? Сколькими способами можно переставить буквы в слове олово?