🗊Презентация Типовые классы детерминированных аналитических моделей

  МЧС РОССИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГОСУДАРСТВЕННОЙ ПРОТИВОПОЖАРНОЙ СЛУЖБЫ

Литература по учебной дисциплине Зарубин В.С. Математическое моделирование в технике. Вып. XXI. / В.С. Зарубин. – М.: Букинист, 2010 – 495с. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: Учебник для бакалавров. – М.: Юрайт, 2011. Шикин Е.В. Математические методы и модели управлений: Учеб. пособие/ Е.В. Шикин, А.Г. Чхартишвили. – М.:. Дело, 2002.

Учебные вопросы: 1. Классификация детерминированных аналитических моделей. 2. Непрерывные и дискретные детерминирован­ные модели. 3. Категорийно-функторные и теоретико-множественные математические модели.

1. Классификация детерминированных аналитических моделей

Для построения математических моделей применяют разнообразные математические средства. В зависимости от признаков классификации моделей: - характер связи между параметрами и показателем качества объекта (детерминированные, вероятностные и неопределенные); - учет времени. Статические (не учитываются изменения параметров во времени), динамические (учитывают изменения параметров во времени) модели; - количество этапов операции моделирования (одноэтапные и многоэтапные модели); - тип параметров (дискретные и непрерывные параметры).

Типовые математические схемы

Уровни формального описания объектов моделирования Приняты следующие верхние уровни абстрактного (формального) описания объектов моделирования: Лингвистический, использующий исчисление высказываний математической логики. Теоретико-множественный (частный случай лингвистического), использующий понятия множества, подмножества, элемента множества и отношений между элементами (пересечение, объединение, разность и др.). Абстрактно - алгебраический, вытекающий из теоретико-множественного, при условии, что отношения (связи) между элементами рассматриваемых множеств устанавливаются с помощью однозначных функций. Топологический, возникающий в случае, если на элементах рассматриваемых множеств используется понятие топологической структуры, когда используется язык общей топологии или её ветвей, например, язык теории графов.

2. Непрерывные и дискретные детерминирован­ные модели.

Наиболее подходящим аппаратом для построения непрерывно детерминированных моделей функционирования объектов являются алгебраические и дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения – это уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, причем в уравнения входят не только функции, но и их производные различных порядков. Все дифференциальные уравнения можно разделить на 2 группы: - уравнения в частных производных, в которых неизвестны функции многих переменных; - обыкновенные дифференциальные уравнения, в которых неизвестны функции только одной переменной.

Порядок старшей производной, входящей в дифференциальные уравнения модели, характеризует порядок дифференциального уравнения. У линейного дифференциального уравнения его левая часть есть многочлен 1-й степени относительно неизвестной функции y и её производных y’, y”, …, y(n). Многочлен не содержит произведений переменной и ее производных аn(х)y(n) + an – 1(x)y(n – 1) + … +a0(x)y = f(x) где функции аn(х), an – 1(х), …, а0(х) – коэффициенты, а f(x) – свободный член линейного дифференциального уравнения. У однородных дифференциальных уравнений правая часть равна нулю f(x) = 0.

Общим решением линейного дифференциального уравнения является функция y = (x, c1, c2, …, cn), которая содержит столько независимых постоянных c1, c2, … , cn, каков порядок n этого уравнения. Наиболее разработаны методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го и 2-го порядков, линейных дифференциальных уравнений с частыми производными. Обычно в непрерывно детерминированных математических моделях в качестве независимой переменной, от которой зависят неизвестные искомые функции, служит время t. Поскольку математические модели (схемы) рассмотренного вида отражают динамику изучаемого объекта, т.е. его функционирование во времени, то их называют D-схемами (от англ. dynamic).

В качестве иллюстрации построения математических моделей в виде D-схем можно привести пример формализации функционирования двух элементарных объектов различной физической природы

Процессы функционирования обоих объектов можно исследовать на основе общей непрерывно детерминированной математической модели. Кроме того, функционирование одного из объектов можно исследовать с помощью другого.

Для построения дискретно детерминированных моделей функционирования объектов применяют математический аппарат конечных автоматов (F-схемы). На основе этого аппарата процесс функционирования объекта представляют автоматом, который в ходе функционирования перерабатывает дискретную информацию и меняет свои внутренние состояния в допустимые моменты времени. Конечный автомат - это автомат, у которого множества входных воздействий, состояний и выходных характеристик являются конечными. Для детерминированных автоматов должно выполняться условие однозначности переходов. Автомат, находящийся в некотором состоянии, под действием конкретного входного воздействия может перейти только в конкретное соседнее состояние. При графическом способе задания автомата из любой вершины не могут выходить две и более дуги, отмеченные одним и тем же входным воздействием.

3. Категорийно-функторные и теоретико-множественные математические модели

Категорийно-функторные математические модели относятся к лингвистическому уровню абстрактного описания объектов-оригиналов. Для обозначения вводимых понятий используется совокупность символов и правил их применения, которые совместно и образуют абстрактный язык. Высказывания, определяющие понятия на данном языке, означают, что имеется некоторое предложение, построенное по правилам языка, представляющее формулу алгебры логики (ФАЛ), которая содержит варьируемые конституенты и переменные, которые только при определённых значениях делают высказывание истинным.

Все высказывания делятся на два вида: 1. Категории (термы) - высказывания, с помощью которых обозначают элементы объекта-оригинала, названия режимов функционирования и т.д.; 2. Функторы - высказывания, определяющие отношения между термами.

Совокупность элементов объекта-оригинала представляет некоторые множества, а совокупности элементов его отдельных компонентов – подмножества. Каждый из названных компонентов обладает определенными свойствами и находится в некоторых отношениях с другими элементами. Следовательно, объекты-оригиналы всегда можно формально описать с помощью термов и функторов. С помощью категорийно-функторных моделей можно получить только общие сведения об объектах-оригиналах. Основной идеей теории категорий является выражение понятия отношения принадлежности элемента множеству через термины связей этого множества с другими множествами.

Множество суть совокупность элементов, обладающих общим свойством (природой, семантикой). Два способа порождения множеств: а) для конечных множеств – перечисление элементов; б) для бесконечных множеств – алгоритм или правила порождения. Каждый элемент множества должен отличаться от другого. Обычно для описания элементов применяется такой способ кодирования, при котором код каждого элемента уникален. Интерпретация множества - приписывание некоторого набора свойств той совокупности элементов, которые объединены в множество. Пример 1. Множество натуральных чисел N. Каждый элемент множества представляет собой код, построенный из алфавита цифр Z = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Известны способы кодирования двоичных чисел, чисел с плавающей запятой, обратных и дополнительных кодов. Пример 2. В языках программирования механизм кодирования объектов, составляющих множества, и операций над объектами определяет сущность языка.

В отличии от операций над элементами множеств теоретико-множественные операции определяются над совокупностью элементов, так что результат операции есть новое множество. Существуют три базовые операции – объединение, пересечение, дополнение (интерпретация операций известна из курса математики). На совокупности этих операций определена Булева алгебра, которая позволяет производить эквивалентные преобразования формул, описывающие множества, сконструированные из исходных множеств. Множество, сконструированное из базовых и заданное формулой, в общем случае не наследует свойства исходных базовых множеств. Вопрос наследования свойств (интерпретаций) приходится определять особо, для чего, например, в объектно-ориентированных языках, вводятся специальные механизмы.

Отношения Пусть задано множество А (конечное или бесконечное), введем понятие декартова произведения А  А, которое представляет собой множество всех пар D2={аi, aj}, где (i, j ) = 1, 2, 3, …, (ai, aj)  A, и допускается i = j. Итак, D2 задает декартово пространство, элементами которого являются все возможные пары. Любое подмножество   А  А = D2 называется бинарным отношением. Математическая модель - это конечная совокупность множеств и отношений на этих множествах с заданной интерпретацией. Пример. Линейное уравнение y = 0.5x + 1 есть бинарное отношение, где D1 – множество действительных чисел. Пары чисел лежат на прямой y = 0.5x + 1 и только на ней.

Формальные языки Пусть А={а, b, …, z}. Введем процедуру, порождающую все возможные слова в алфавите А, сначала слова длиной в один символ, далее два символа и т.д., длины n. Полученное множество слов обозначим как А*. Понятно, что А* - бесконечное множество слов. Процедура порождения слов описывается индуктивной схемой с единственной операцией, которая называется конкатенацией: 1. Вводится пустое слово  (А0 = ) . 2. К пустому слову приписываются последовательно все буквы из алфавита А, получается слово длины 1, которые составляют множество А’={a, b, …}. … (n-1). Пусть порождено множество Аn—1 слов длины n – 1. n. Каждое слово y  An получается из x  An–1 приписыванием букв из алфавита, так что y1=x*a, y2=x*b и т.д. Формальным языком L называется любое подмножество A*, т.е. L  A, т.е. язык L является отношением на А*. Кроме того, на множестве задают функции и операции.

Теоретико-множественные модели - математические модели в виде абстрактно-алгебраического описания, согласно которому систему S представляют в виде совокупности соотношений, определяемых на декартовом произведении множеств: совокупность входных воздействий на систему X; совокупность воздействий внешней среды V; совокупность внутренних (собственных) параметров системы C; совокупность выходных характеристик системы Y. Такое описание применимо к широкому классу систем, т.е. представляет собой почти универсальную модель. Однако, при сложной многоуровневой структуре системы модель становится ненаглядной, трудно воспринимаемой и трудно анализируемой. Методом повышения наглядности систем является представление ее в виде графа.

Теоретико-множественные математические модели можно рассматривать, как частный случай категорийно-функторных, если провести аналогию понятий «терма» и «множества» и, соответственно, понятий «функтора» и «отношения». С точки зрения теоретико-множественного подхода к построению математических моделей термы - это некоторые множества, с помощью которых перечисляются элементы компонент объекта-оригинала, а функторы устанавливают характер отношений между введёнными множествами. Аналогично можно рассматривать в виде термов множества элементов процесса функционирования компонент объекта-оригинала, а функторы отражают характер отношений между введёнными множествами.

В простейшем случае задано множество элементов системы S (элементов процесса функционирования) N = {vi : i I }. Тогда можно определить систему S как некоторое отношение в виде декартова произведения S  N x N {vi : i I }, элементы которого есть составляющие структуры системы S и процесса её функционирования, а множество этих составляющих называют системным множеством.