🗊Презентация Тройные интегралы. Вычисление объема тела

Тройные интегралы. Вычисление объема тела.

Понятие тройного интеграла вводиться аналогично понятию двойного интеграла. Понятие тройного интеграла вводиться аналогично понятию двойного интеграла. Пусть функция f(x,y,z)  определена в ограниченной замкнутой области T, которая принадлежит трехмерному пространству с определенной декартовой системой координат Oxyz.  Разобьем заданную область на n частей, которые не имеют общих внутренних точек и объемы которых равны соответственно. В каждой такой элементарной области возьмем произвольную точку Pi(xi,yi,zi) n составим интегральную сумму ∑f(xi,yi,zi)dVi i=1

Тройной интеграл в общем виде записывается следующим образом: Тройной интеграл в общем виде записывается следующим образом: f(x,y,z) – подынтегральная функция трех переменных. dxdydz – произведение дифференциалов. T – область интегрирования – пространственное тело ограниченное множеством поверхностей. Вычислить тройной интеграл – это значит найти ЧИСЛО: В соответствии с общим смыслом интегрирования, произведение dxdydz равно бесконечно малому объему dV элементарного тела. Тройной интеграл объединяет все эти бесконечно малые частички по области , в результате чего получается интегральное (суммарное) значение объёма тела:

Как решать тройной интеграл? Пример 1. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного поверхностями Варианты ответа: 1) 2) 3) 4) С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного поверхностями 1)используем формулу  Сначала изобразим параллельную ортогональную проекцию тела на координатную плоскость XOY. 2) выясняем, чем тело ограничено с сверху, чем снизу и выполняем пространственный чертёж. z=y² параболический цилиндр расположенный над плоскостью XOY и проходящий через ось OX:

3)Выбираем порядок обхода тела: Двигаемся по OZ 3)Выбираем порядок обхода тела: Двигаемся по OZ Двигаемся по OY => Двигаемся по OX Решение свелось к двойному интегралу, используем формулу: Ответ: 1)

Пример 2. Пример 2. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Выполнить чертёж. Варианты ответа: 1) 2) 3) 4) Решим систему  получены две прямые, лежащие в плоскости параллельные оси Изобразим проекцию тела на плоскость XOY: Искомое тело ограниченно плоскостью z=0 снизу и параболическим цилиндром z=1-x² сверху:

Составим порядок обхода тела: Двигаемся по OZ Составим порядок обхода тела: Двигаемся по OZ Двигаемся по OY Двигаемся по OX При интегрировании по «игрек» – «икс» считается константой, поэтому константу целесообразно сразу вынести за знак интеграла. Ответ: 2)

Пример 3. Пример 3. Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями  Выполнить чертёжи данного тела и его проекции на плоскость XOY. Варианты отета: 1) 2) 3) 4) Решение: придерживаемся того же порядка действий: в первую очередь рассматриваем уравнения, в которых отсутствует переменная «зет». Оно здесь одно. Проекция цилиндрической поверхности на плоскость представляет собой «одноимённую» окружность. Плоскости  ограничивают искомое тело снизу и сверху («высекают» его из цилиндра) и проецируются в круг Плоскость пересекает цилиндр под косым углом, в результате чего получается эллипс. Из уравнения вычислим значения функции («высоту») в напрашивающихся точках

Проекция тела на плоскость XOY представляет собой круг, и это весомый аргумент в пользу перехода к цилиндрической системе координат: Проекция тела на плоскость XOY представляет собой круг, и это весомый аргумент в пользу перехода к цилиндрической системе координат: Найдём уравнения поверхностей в цилиндрических координатах: порядок обхода тела: Ответ: 3)

Пример 4. Пример 4. С помощью тройного интеграла вычислить объём заданного тела: , где   – произвольное положительное число.  неравенство   задаёт шар с центром в начале координат радиуса  , а неравенство – «внутренность» кругового цилиндра с осью симметрии радиуса . Таким образом, искомое тело ограничено круговым цилиндром сбоку и симметричными относительно плоскости   сферическими сегментами сверху и снизу.  Варианты ответа: 1) 2) 3) 4) Порядок обхода:

Решаем методом подведения под знак дифференциала: Ответ: 4)