🗊Презентация Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно y

Категория: Математика
Нажмите для полного просмотра!
Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно y, слайд №1Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно y, слайд №2Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно y, слайд №3Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно y, слайд №4Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно y, слайд №5Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно y, слайд №6Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно y, слайд №7Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно y, слайд №8Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно y, слайд №9Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно y, слайд №10Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно y, слайд №11
Скачать
Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно y. Доклад-сообщение содержит 11 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1


Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно y, слайд №1
Описание слайда:

Слайд 2


§ 11. Дифференциальные уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной ДУ 1-го порядка, разрешенное относительно производной – уравнение, которое можно записать в виде y  = f(x,y). В общем случае ДУ 1-го порядка имеет вид: F(x, y, y ) = 0 . Если из уравнения F(x, y, y ) = 0  нельзя выразить y , то уравне- ние называют не разрешенным относительно производной.
Описание слайда:
§ 11. Дифференциальные уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной ДУ 1-го порядка, разрешенное относительно производной – уравнение, которое можно записать в виде y  = f(x,y). В общем случае ДУ 1-го порядка имеет вид: F(x, y, y ) = 0 . Если из уравнения F(x, y, y ) = 0  нельзя выразить y , то уравне- ние называют не разрешенным относительно производной.

Слайд 3


1. Уравнения, разрешаемые относительно y  неоднозначно Пусть F(x, y, y ) = 0  таково, что его можно разрешить относи- тельно y  неоднозначно. Т.е. уравнение F(x, y, y ) = 0  эквивалентно k различным уравнениям y  = f1(x,y) , y  = f2(x,y) , y  = f3(x,y) , … , y  = fk(x,y) . (15) Предположим, что для каждого из уравнений (15) найден общий интеграл: Φ1(x , y , C) = 0 , Φ2(x , y , C) = 0 , …., Φk(x , y , C) = 0 . (16) Совокупность общих интегралов (16) называется общим интегралом уравнения разрешаемого относительно y  не- однозначно.
Описание слайда:
1. Уравнения, разрешаемые относительно y  неоднозначно Пусть F(x, y, y ) = 0  таково, что его можно разрешить относи- тельно y  неоднозначно. Т.е. уравнение F(x, y, y ) = 0  эквивалентно k различным уравнениям y  = f1(x,y) , y  = f2(x,y) , y  = f3(x,y) , … , y  = fk(x,y) . (15) Предположим, что для каждого из уравнений (15) найден общий интеграл: Φ1(x , y , C) = 0 , Φ2(x , y , C) = 0 , …., Φk(x , y , C) = 0 . (16) Совокупность общих интегралов (16) называется общим интегралом уравнения разрешаемого относительно y  не- однозначно.

Слайд 4


Замечания. Замечания. 1) Совокупность (16) можно записать в виде Φ1(x , y , C)  Φ2(x , y , C)  ….  Φk(x , y , C) = 0 . 2) Если уравнение F(x, y, y ) = 0  разрешается относительно y  неоднозначно, то через каждую точку M0(x0 ,y0) области, в которой рассматривается уравнение, будет проходить в общем случае k интегральных кривых. Однако условие единственности для этой точки будет считаться нарушенным только в том случае, когда хотя бы две кривые в точке M0 будут иметь общую касательную. ПРИМЕР 1. Найти общий интеграл уравнения (y )2 – 4  x2 = 0. Найти решение, удовлетворяющее условию а) y(1) = 1 , б) y(0) = 0 .
Описание слайда:
Замечания. Замечания. 1) Совокупность (16) можно записать в виде Φ1(x , y , C)  Φ2(x , y , C)  ….  Φk(x , y , C) = 0 . 2) Если уравнение F(x, y, y ) = 0  разрешается относительно y  неоднозначно, то через каждую точку M0(x0 ,y0) области, в которой рассматривается уравнение, будет проходить в общем случае k интегральных кривых. Однако условие единственности для этой точки будет считаться нарушенным только в том случае, когда хотя бы две кривые в точке M0 будут иметь общую касательную. ПРИМЕР 1. Найти общий интеграл уравнения (y )2 – 4  x2 = 0. Найти решение, удовлетворяющее условию а) y(1) = 1 , б) y(0) = 0 .

Слайд 5


2. Неполные уравнения а) Уравнения, содержащее только производную Пусть ДУ имеет вид F(y ) = 0 . Тогда y  не должна зависеть от x и y, т.е. быть постоянной. Пусть y  = ki удовлетворяет уравнению F(y ) = 0. Тогда y = ki x + C ,  Общий интеграл уравнения будет иметь вид
Описание слайда:
2. Неполные уравнения а) Уравнения, содержащее только производную Пусть ДУ имеет вид F(y ) = 0 . Тогда y  не должна зависеть от x и y, т.е. быть постоянной. Пусть y  = ki удовлетворяет уравнению F(y ) = 0. Тогда y = ki x + C ,  Общий интеграл уравнения будет иметь вид

Слайд 6


б) Уравнения, не содержащие искомой функции б) Уравнения, не содержащие искомой функции Пусть ДУ имеет вид F(x, y ) = 0 , (17) Возможны 2 случая: 1) (17) разрешимо относительно y  неоднозначно – см. пункт 1; 2) (17) неразрешимо относительно y , но допускает параметри- ческое представление, т.е. может быть заменено двумя урав- нениями вида x = (t) , y  = (t) . Тогда решения уравнения (17) могут быть найдены в параметрическом виде. Имеем:  dy = y   dx , x = (t)   dx =    dt ,  dy = (t)     dt ,
Описание слайда:
б) Уравнения, не содержащие искомой функции б) Уравнения, не содержащие искомой функции Пусть ДУ имеет вид F(x, y ) = 0 , (17) Возможны 2 случая: 1) (17) разрешимо относительно y  неоднозначно – см. пункт 1; 2) (17) неразрешимо относительно y , но допускает параметри- ческое представление, т.е. может быть заменено двумя урав- нениями вида x = (t) , y  = (t) . Тогда решения уравнения (17) могут быть найдены в параметрическом виде. Имеем:  dy = y   dx , x = (t)   dx =    dt ,  dy = (t)     dt ,

Слайд 7


Таким образом, интегральные кривые уравнения (17) имеют параметрические уравнения: Таким образом, интегральные кривые уравнения (17) имеют параметрические уравнения: (18) Замечания. 1) Общий интеграл уравнения (17) получается исключением параметра t из системы (18) (если это возможно). 2) Если уравнение (17) можно разрешить относительно x, т.е. записать в виде x = (y ) , то в качестве параметра удобно брать t = y  . Тогда общий интеграл уравнения (в параметрическом виде):
Описание слайда:
Таким образом, интегральные кривые уравнения (17) имеют параметрические уравнения: Таким образом, интегральные кривые уравнения (17) имеют параметрические уравнения: (18) Замечания. 1) Общий интеграл уравнения (17) получается исключением параметра t из системы (18) (если это возможно). 2) Если уравнение (17) можно разрешить относительно x, т.е. записать в виде x = (y ) , то в качестве параметра удобно брать t = y  . Тогда общий интеграл уравнения (в параметрическом виде):

Слайд 8


в) Уравнения, не содержащие независимой переменной в) Уравнения, не содержащие независимой переменной Пусть ДУ имеет вид F(y, y ) = 0 , (19) Возможны 2 случая: 1) (19) разрешимо относительно y  неоднозначно – см. пункт 1; 2) (19) неразрешимо относительно y , но допускает параметри- ческое представление, т.е. может быть заменено двумя урав- нениями вида y = (t) , y  = (t) . Тогда решения уравнения (19) могут быть найдены в параметрическом виде. Имеем: y = (t)   dy =    dt , dy =    dt , y  = (t) 
Описание слайда:
в) Уравнения, не содержащие независимой переменной в) Уравнения, не содержащие независимой переменной Пусть ДУ имеет вид F(y, y ) = 0 , (19) Возможны 2 случая: 1) (19) разрешимо относительно y  неоднозначно – см. пункт 1; 2) (19) неразрешимо относительно y , но допускает параметри- ческое представление, т.е. может быть заменено двумя урав- нениями вида y = (t) , y  = (t) . Тогда решения уравнения (19) могут быть найдены в параметрическом виде. Имеем: y = (t)   dy =    dt , dy =    dt , y  = (t) 

Слайд 9


Таким образом, интегральные кривые уравнения (19) имеют параметрические уравнения: Таким образом, интегральные кривые уравнения (19) имеют параметрические уравнения: (20) Замечания. 1) Общий интеграл уравнения (19) получается исключением параметра t из системы (20) (если это возможно). 2) Если уравнение (19) можно разрешить относительно y, т.е. записать в виде y = (y ) , то в качестве параметра удобно брать t = y  . Тогда общий интеграл уравнения (в параметрическом виде):
Описание слайда:
Таким образом, интегральные кривые уравнения (19) имеют параметрические уравнения: Таким образом, интегральные кривые уравнения (19) имеют параметрические уравнения: (20) Замечания. 1) Общий интеграл уравнения (19) получается исключением параметра t из системы (20) (если это возможно). 2) Если уравнение (19) можно разрешить относительно y, т.е. записать в виде y = (y ) , то в качестве параметра удобно брать t = y  . Тогда общий интеграл уравнения (в параметрическом виде):

Слайд 10


3. Уравнение Лагранжа Уравнение F(x, y, y ) = 0  называется уравнением Лагранжа, если оно является линейным относительно x и y, т.е. имеет вид: F1(y )  x + F2(y )  y = G(y ) . Так как F2(y )  0 (иначе это будет неполное уравнение), то уравнение Лагранжа можно записать в виде y = x  (y )  + (y ) . (21) Общее решение уравнения Лагранжа можно найти в параметрическом виде. Если (y ) ≢ y  , то общее решение уравнения (21) будет иметь вид:
Описание слайда:
3. Уравнение Лагранжа Уравнение F(x, y, y ) = 0  называется уравнением Лагранжа, если оно является линейным относительно x и y, т.е. имеет вид: F1(y )  x + F2(y )  y = G(y ) . Так как F2(y )  0 (иначе это будет неполное уравнение), то уравнение Лагранжа можно записать в виде y = x  (y )  + (y ) . (21) Общее решение уравнения Лагранжа можно найти в параметрическом виде. Если (y ) ≢ y  , то общее решение уравнения (21) будет иметь вид:

Слайд 11


4. Уравнение Клеро Пусть в уравнении Лагранжа (y ) ≡ y  . В этом случае, уравнение (21) называют уравнением Клеро.  Уравнение F(x, y, y ) = 0  называется уравнением Клеро, если оно может быть записано в виде y = x  y  + (y ) . (22) Общее решение уравнения Клеро имеет вид: y = x  C + (C) . Кроме того, если  (t)  const , то уравнение Клеро имеет особое решение
Описание слайда:
4. Уравнение Клеро Пусть в уравнении Лагранжа (y ) ≡ y  . В этом случае, уравнение (21) называют уравнением Клеро.  Уравнение F(x, y, y ) = 0  называется уравнением Клеро, если оно может быть записано в виде y = x  y  + (y ) . (22) Общее решение уравнения Клеро имеет вид: y = x  C + (C) . Кроме того, если  (t)  const , то уравнение Клеро имеет особое решение

Скачать

Похожие презентации
Mypresentation.ru
Загрузить презентацию