🗊Презентация Вариационный ряд

Дисциплины: «Теория вероятностей», «Математическая статистика», «Теория вероятностей и математическая статистика» Тема: Вариационный ряд

Основные определения Математическая статистика изучает случайные события и случайные величины по результатам наблюдений. Статистическая совокупность – это совокупность предметов или явлений, объединенных каким-либо общим признаком. Статистические данные – это результат наблюдений над статистической совокупностью – это сведения о том, какие значения принял в итоге наблюдения изучаемый признак. Функция, характеризующая наблюдаемую случайную величину, называется статистикой. Она каждому набору наблюдаемых значений признака ставит в соответствие определенное действительное число. Генеральная совокупность – это совокупность объектов или наблюдений, все элементы которой подлежат изучению при статистическом анализе. Число объектов в генеральной совокупности называется ее объемом.

Основные определения Часть объектов генеральной совокупности, используемая для исследования, называется выборочной совокупностью или выборкой. Для того чтобы по выборке можно было адекватно судить о случайной величине, она должна быть репрезентативной. Существует два способа образования выборки: 1) повторная выборка, когда каждый элемент, случайно отобранный и исследованный, возвращается в общую совокупность и может быть отобран повторно; 2) бесповторная выборка, когда отобранный элемент не возвращается в общую совокупность

Основные определения Пусть n число проведенных наблюдений случайной величины Х, среди которых r различных вариантов, каждое из которых фиксировалось ni раз: ni - называются частотами варианты хi, - частости (доли, относительные частоты); Частоты и частости называются весами. В бесповторной выборке все ni=1, а r=n.

Основные определения Ряд вариант, расположенных в порядке возрастания их значений, с соответствующими им весами называется вариационным рядом. Вариационный ряд называется дискретным, если он представляет собой выборку значений дискретной случайной величины Вариационный ряд называется непрерывным (интервальным), если он представляет собой выборку значений непрерывной случайной величины

Основные определения Для наглядности представления рядов используют: полигоны по точкам (xi,ni) или (ci,ni), где сi - середины интервалов интервальных рядов, Гистограммы (столбиковые) на интервалах, Кумулянты по точкам (xi,mi) или (ci,mi), где mi – это накопленные частоты. Эмпирической функцией распределения вариационного ряда называется функция, равная накопленным частостям: Эмпирической плотностью распределения непрерывного вариационного ряда называется функция равная внутри интервалов и равная нулю за указанными интервалами.

Пример 1. В магазине за день было продано 45 пар мужской обуви. Имеется выборка значений случайной величины Х – размера обуви: 39, 41, 40, 42, 41, 40, 42, 44, 40, 43, 42, 41, 43, 39, 42, 41, 42, 39, 41, 37, 43, 41, 38, 43, 42, 41, 40, 41, 38, 44, 40, 39, 41, 40, 42, 40, 41, 42, 40, 43, 38, 39, 41, 41, 42. Построить дискретный вариационный ряд, полигон, кумулянту и эмпирическую функцию распределения. Решение. Для построения вариационного ряда различные значения признака располагаем в порядке их возрастания и под каждым из этих значений записываем его частоту:

Построим для этого ряда полигон. Построим для этого ряда полигон. Сначала отметим на графике точки И соединим их прямыми отрезками

По построенной выше таблице распределения найдем накопленные частоты и частости По построенной выше таблице распределения найдем накопленные частоты и частости

Построим эмпирическую функцию распределения Построим эмпирическую функцию распределения

Числовые характеристики вариационного ряда: Выборочное среднее – средняя арифметическая наблюдаемых вариант признака

Числовые характеристики вариационного ряда: 2. Вариационный размах: 3. Выборочное среднее линейное отклонение

Свойства дисперсии: дисперсия постоянной величины равна нулю; если ко всем вариантам случайной величины добавить постоянное число, то дисперсия не изменится; если все варианты случайной величины умножить на одно и то же число k, то дисперсия умножится на Правило сложения дисперсий Если , то

Пример 2 В условии примера 1 вычислим числовые характеристики полученного вариационного ряда: n=45

Пример 3 Приведены данные об урожайности ржи на различных участках поля:

Задача для самостоятельного решения: В таблице приведен ряд моментов t срока работы электрической лампочки в годах. Построить интервальный вариационный ряд, найти среднее значение и дисперсию выборки, размах, коэффициент вариации, построить полигон и гистограмму, эмпирическую функцию распределения, эмпирическую плотность распределения:

Ответы к задачам задания 4: 1. Интервал движения автобуса равен 15 минутам. Какова вероятность того, что пассажир на остановке автобуса будет ждать его не более 5 минут? (1/3) 2. Пусть случайная величина Х распределена равномерно на отрезке [0,5]. Найти . (25/12) 3. Пусть Х – нормально распределенная случайная величина с параметрами а=1 и σ=2. Найти вероятности и . (р1=0,979, р2=0,242) 4. Пусть Х – непрерывная случайная величина с функцией распределения F(x)=ax+b, сосредоточенной на отрезке (-1;4). Найти a и b. (а=1/5, b=1/5) 5. Суммарная месячная выручка 10 фирм в среднем равна 10000 руб. В 90% случаях эта выручка отклоняется от средней не более чем на 1000 руб. Найти вероятность того, что очередная месячная выручка не превосходит 9500 руб. (0,2011) 6. Счетчик улавливает частицы, количество которых представляет собой пуассоновский поток с параметром λ=0,1. Чему равно время наблюдения частиц, чтобы с вероятностью 0,9 прибор уловил хотя бы одну частицу? (23) 7. Значение веса пойманной рыбы подчиняется нормальному закону с параметрами а=375 и σ=25 (г). Найти вероятность того, что вес одной рыбы будет а) от 300 до 425 г.; б) больше 300 г. (а) 0,9759; б) 0,9987)