🗊Презентация Вектор на плоскости

Презентация на тему : «Вектор» Выполнила Гасизова Малика 9 «Г»

Вектор на плоскости Вектор-направленный отрезок прямой, то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом обозначают Векторной величиной, или вектором (в широком смысле), называется всякая величина, обладающая направлением. Скалярной величиной, или скаляром, называется величина, не обладающая направлением.  Коллинеа́рность — отношение параллельности векторов: два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат напараллельных прямых или на одной прямой •

Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны Нулевой вектор (нуль-вектор) — вектор, начало которого совпадает с его концом. Нулевой вектор имеет норму 0 и обозначается . Нулевой вектор определяет тождественное движение пространства, при котором каждая точка пространства переходит в себя. Свойства сложения векторов

Сумма векторов a и b это третий вектор с, получаемый следующим построением: из произвольного начала Остроим вектор OL, равный а; из точки L, как из начала строим вектор LM, равный b. Вектор с = ОМ есть сумма векторов a и b («правило треугольника»). Сумма векторов a и b это третий вектор с, получаемый следующим построением: из произвольного начала Остроим вектор OL, равный а; из точки L, как из начала строим вектор LM, равный b. Вектор с = ОМ есть сумма векторов a и b («правило треугольника»).

Вычитание векторов Чтобы из вектора а вычесть вектор b надо к вектору а прибавить вектор, противоположный вектору b. Полученный в результате этой операции вектор с и будет являться разностью векторов а и b. Таким образом, с = а − b = а + (− b). Рисунок : операцию вычитания векторов.

Умножение вектора на число Умножение вектора на число k соответствует растяжению вектора в k раз при k > 1 или сжатию в   раз при 0 < k < 1, при k = 1 вектор остается прежним (для отрицательных k еще изменяется направление на противоположное). Если произвольный вектор умножить на ноль, то получим нулевой вектор. Произведение нулевого вектора и произвольного числа есть нулевой вектор. К примеру, при умножении вектора   на число 2 нам следует вдвое увеличить его длину и сохранить направление, а при умножении вектора   на минус одну треть следует уменьшить его длину втрое и изменить направление на противоположное. Приведем для наглядности иллюстрацию этого случая.

Угол между векторами Два вектора a⃗  и b⃗  всегда образуют угол. Угол между векторами может принимать значения от 0° до 180° включительно. Если векторы не параллельны, то их можно расположить на пересекающихся прямых.  Векторы могут образовать:  1. Острый угол 2. Тупой угол 3.Прямой угол 4. Угол величиной 0° (векторы сонаправлены) 5. Угол величиной 180° (векторы противоположно направлены) Угол между векторами записывают так: a⃗ b⃗ ˆ=α

Скалярным произведением двух векторов

Координаты вектора Чтобы найти координаты вектора AB, зная координаты его начальной точек А и конечной точки В, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки.

Радиус вектор. Если на плоскости Оху задана точка А (х;у), то вектор ОА называется радиус-вектором точки А. Для радиус-вектора ОА верно равенство ОА= (х;у), т.е. соответствующие координаты точки А и радиус-вектора ОА совпадают. Пусть задан вектор а = АВ и А(х1;у1), В(х2;у2). Тогда выполняется равенство АВ = (х2-х1)i + (y2-y1)j, т.е. АВ = (х2-х1;у2-у1). |AB|= √(x2-х1)²+(у2-у1)² |a|= √ х²+у ²

Условия коллинеарности векторов Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число nтакое, что a = n · b Условия коллинеарности векторов 2. Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны. N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю. Условия коллинеарности векторов 3. Два вектора коллинеарны, если их векторное произведениеравно нулевому вектору. N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач. Доказательство третего условия коллинеарности Пусть есть два коллинеарные вектора a = {ax; ay; az} и b = {nax; nay; naz}. Найдем их векторное произведение a × b = ijk = i (aybz - azby) - j (axbz - azbx) + k (axby - aybx) =  ax  ay  az  bx  by  bz  = i (aynaz - aznay) - j (axnaz - aznax) + k (axnay - aynax) = 0i + 0j + 0k = 0

Условие перпендикулярности векторов. Два ненулевых вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен девяноста градусам (  радиан). Для перпендикулярности двух ненулевых векторов   и   необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю, то есть, чтобы выполнялось равенство  . Доказательство. Пусть векторы   и   перпендикулярны. Докажем выполнение равенства  . По определению скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Так как векторы   и   перпендикулярны, то угол между ними равен девяноста градусам, следовательно,  , что и требовалось доказать. Переходим ко второй части доказательства. Теперь считаем, что  . Докажем, что векторы   и  перпендикулярны. Так как векторы   и   ненулевые, то из равенства  следует, что  . Таким образом, косинус угла между векторами   и   равен нулю, следовательно, угол   равен  , что указывает на перпендикулярность векторов   и  . Итак, необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов полностью доказано.

Направляющий вектор прямой Направляющий вектор произвольной прямой в дальнейшем обозначается буквой  , его координаты - буквами l, m, n: . Если известна одна точка   прямой и направляющий вектор  , то прямая может быть определена (двумя) уравнениями вида . (1) В таком виде уравнения прямой называются каноническими. Канонические уравнения прямой, проходящей через данные точки   и   имеют вид . (2)

Уравнение прямой 1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку A(x1, y1) в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом k, y - y1 = k(x - x1).     (1) Это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку A(x1, y1), которая называется центром пучка. 2. Уравнение прямой, проходящей через две точки: A(x1, y1) и B(x2, y2), записывается так:      (2) Угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, определяется по формуле      (3)