🗊Презентация Векторы. Скаляры. Понятие вектора

Векторы Шамсутдинов Никита 9 «Г»

Скаляры. Понятие Вектора. Мы знаем, что есть 2 вида величин. Например, длина, площадь, объем, масса и прочие полностью определяются заданием своих численных величин. Такие величины называются скалярными вели- чинами или просто скалярами. Но многие физические величины, например, сила, давление, скорость, перемещение и т.д. характеризуются не только своим числовым Значением, то и направлением в пространстве. Такие физические Величины называются векторными величинами или просто Векторами. Например, если на какое-либо тело воздействовать определенной силой, то эта сила изображается направленным отрезком. (см рис. на след.слайде) Длина отрезка соответствует численной величине силы, а стрелка указывает на направление воздействия силы.

Вектор

Векторы в геометрии Аналогично можно ввести понятие геометрического вектора. В отличие от физических векторов, векторы в геометрии не имеют конкретной природы (т.е. не выражают силу, скорость и т.п.). Геометри- ческие векторы рассматриваются просто как «направленные отрезки». Любой направленный отрезок называется вектором. В геометрии также рассматривают вектор, в котором начало и конец совпадают. Такой вектор называется нулевым вектором. Отсюда следует,что любую точку плоскости можно рассматривать как нулевой вектор. Нулевой вектор обозначается так: 0

Начало и конец вектора Любой отрезок имеет 2 конца. Назовем один из этих концов начальной точкой, или началом, а другой – концом и будем считать, что отрезок направлен от начала к концу. Конец вектора изображается стрелкой. A а B Векторы можно обозначать двумя заглавными латинскими буквами (AB) или одной строчной (а)

Равенство векторов Длину отрезка АВ называют модулем вектора AB и обозначают так: |AB|. Аналогично, модуль (длина) вектора a также записывают через |a|. Например, |АВ|=3, |а|=7. Если отрезок АВ лежит на примой а, то говорят, что вектор АВ также лежит на прямой а. Если 2 вектора лежат на одной прямой или на параллельных прямых, то такие векторы называются коллинеарными. Коллинеарность векторов а и b записывают так a||b. (см рис. 1 на след. слайде)

а b рис. 1

Если векторы а и b лежат на перпендикулярных прямых, то их называют перпендикулярными (ортогональными) векторами и записывают а ⊥ b. (см рис. 2) Если коллинеарные векторы имеют одинаковые направления, то их называют сонаправленными векторами. Сонаправленность векторов а и b записывают так: a b. Если векторы с и d коллинеарны и имеют разные направления, то их называют противоположно направленными и записывают так: c d. (см рис. 3)

Векторы называются равными, если они сонаправлены и их модули равны. Иными словами, если a b и |a|=|b|, то векторы a и b называются равными, т.е. a = b.

Свойства равных векторов Теорема. Равные векторы можно совместить параллельным переносом, и, обратно, если векторы совмещаются парллельным переносом, то эти векторы равны. Доказательство. Пусть векторы АВ и CD равны (см. рис. на след. слайде). Тогда по определению |AB|=|CD| и AB CD, т.е. четырехугольник ABCD является параллелограммом, т.к. противоположные стороны АВ и CD параллельны и равны. Следовательно, АС=BD и AC||BD, т.е. АС=BD. Это значит, что векторы AB и CD можно совместить параллельным переносом. При этом точка А переходит в точку С, а точка В переходит в точку D. Обратно, пусть векторы АВ и СD совмещаются некоторым параллельным переносом и при этом точка А переходит в точку С, а точка В – в D. Тогда по определению параллельного переноса АС=BD и AC||BD, т.е. ABCD – параллелограмм. Следовательно, AB||CD |AB|=|CD|. Так как при парал- лельном переносе начало вектора АВ переходит в начало CD, а конец AB- в конец CD, то AB CD, т.е. AB=CD. Ч.Т.Д.

сЛЕДСТВИЯ Следствие 1. Если АВ=СD, то АС=ВD. Если точка А является началом вектора а, то говорят, что вектор а отложен от точки А. Следствие 2. От любой точки А можно отложить единственный вектор, равный данному вектору а.

Сложение векторов Правило треугольника Пусть даны векторы а и b. Отметим на плоскости точку А и отложим от этой точки вектор АВ, равный вектору а, а от точки В отложим вектор ВС, равный вектору b. Полученный вектор АС называют суммой векторов а и b и пишут: АС= а + b

Правило параллелограмма Правило параллелограмма Пусть даны векторы а и b. Отметим на плоскости точку А и отложим от этой точки вектор АВ, равный вектору а, и вектор АD, равный вектору b. Из этого достроим параллелограмм АВСD так, что АВ=DС, а АD=ВС. Построим вектор АС, который будет также являться диагональю АВСD, и будет суммой векторов а и b.

Свойства сложения векторов Теорема 1. Для любых векторов a, b и c верно: 1) а+b=b+a (переместительный закон); 2) (a+b)+c=a+(b+c) (сочетательный закон). Доказательство. 1) Пусть векторы а и b не коллинеарны. От некоторой точки А плоскости отложим векторы АВ=а и AD=b. (рис 1) Тогда получим параллелограмм АВСD. По правилу треугольника АС=АВ+ВС= =а+b. Аналогично, АС=AD+DC=b + a. Следовательно, а + b = b + а. 2)Отметим точку A на плоскости и отложим векторы AB = a, BC = b и CD = c (рис 2 на след слайде). Тогда (a + b) + c=(AB + BC) +CD = AC + CD = AD. С другой стороны, a + (b + c) = AB + (BC + CD) = AB + BD = AD. Отсюда имеем (a + b) +c = а + (b + c) Ч.Т.Д.

Разность векторов Разностью векторов а и b называется вектор, который в сумме с вектором b равен вектору а. Разность векторов а и b обозначается так: а – b. От некоторой точки О откладываем векторы ОА=а, ОВ=b. Тогда вектор ВА равен разности a – b. Так как ОА=ОВ+ВА, то ВА=ОА-ОВ= а – b. a A a O b B b

Умножение вектора на число Произведением вектора а≠0 на число k называется вектор, модуль которого равен числу |k| • |a| и сонаправлен с вектором а при k >0, противоположно направлен с вектором а при k < 0. Произведение числа k на вектор а записывают так: k • а. Если k=0, то 0 • а = 0. Теорема. Для любых чисел α, β и любых векторов а, b верно равенство: 1. (α • β)а = а(βα ) (сочетательный закон); 2. (α+β)а = αа + βа ( I распределительный закон); 3. α(а+b) = αa + αb ( II распределительный закон). Доказательство 1. Если αβ >0, т.е. числа α и β имеют одинаковые знаки, то вектор (α • β)а и а; α(βа) и а сонаправлены, а если числа α и β имеют разные знаки, то векторы (α • β)а и а; α(βа) и а противоположно направлены. Поэтому при любых α, β векторы (α • β)а и α(βа) сонаправлены. Теперь осталось показатать равенство их модулей: l(α•β)аl=lαβl•lаl=lαl•lβl•lаl и lα(βа)l=lαllβаl=lαl•lβl•lаl. Следовательно, (α • β)а = α(βа). Ч.Т.Д

Признак коллинеарности векторов Теорема. Чтобы вектор b был коллинеарен ненулевому вектору а, необходимо и достаточно существование числа α такого, что b= αa. Доказательство. Если b = αa , то векторы a и b коллинеарны по определению. Ч.Т.Д Следствие. Для того, чтобы точка С лежала на прямой АВ, необходимо и достаточно, чтобы существовало число α такое, что АС= α АВ.

Угол между векторами Углом между векторами АВ и АС называется угол ВАС. Углом между ненулевыми векторами а и b называется угол, образованный при откладывании этих векторов от одной точки. Угол между векторами а и b обозначают через (а , b). Если векторы сонаправлены, то угол между ними равен 0°, а если векторы противоположно направлены, то угол между ними равен 180 °

Скалярное произведение Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла угла между ними, т.е. скалярное произведение векторов равно числу |a| •|b| • cos(a , b). φ= ( a , b). a • b=|a| • |b| • cos φ. Скалярное произведение равных векторов называется скалярным квадратом этого вектора и обозначается через а². = а • а = |a| • |a| • cos0° = | а²|, т.е = | Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами: 1. Для любых векторов а и b верно равенство a • b = b • a 2. Для любых векторов а, b и c любого действительного числа α верно равенство (αa) • b = α( a • b) 3. Для любых векторов а, b и с верно равенcтво ( а + b) • c = a • c + b • c

Дополноительная информация. История векторов. Раздел математики, изучающий векторы и действия над ними называется векторной алгеброй. Основные действия над векторами, изученные нами ранее, составляют основу векторной алгебры. 3 векторных направления : геометрическое, алгебраическое, физическое. Основатель векторного исчисления-норвежец Каспар Вессель (1745-1818) Дальнейшее развитие дали англичанин Уильям Гамильтон (1805-1865), основавший алгебру комплексных чисел и другие теории, являющиеся основой векторного исчисления, ввел понятие вектор, и немец Герман Грассман (1809-1877), основавший понятие вектора с геометрической точки зрения независимо от Гамильтона.

Разложение вектора по двум неколлинеарным Теорема. Если ненулевые векторы а и b не коллинеарны, то для любого вектора с найдутся числа х и у такие, что выполняется равенство с = ха + уb, причем коэффициенты разложения х и у определяются единственным образом. (рис на след слайде) Из этой теоремы вытекает, что любой вектор можно разложить по двум произвольным неколлинеарным векторам. Если на плоскости выбраны такие 2 неколлинеарных вектора, то они называются базисными векторами плоскости. Итак, любые 2 неколлинеарных вектора можно принять в качестве базисных векторов и любой вектор этой плоскости однозначно разлагается по этим базисным векторам. А действительные числа х и у называются координатами вектора с в базисе а , b.

Координаты вектора в прямоугольной системе координат Рассмотрим прямоугольную систему координат Оху. Пусть i- единичный вектор, сонаправленнный с осью Ох, а j – единичный вектор, сонаправленный с осью Оу. Эти векторы называют координатными векторами. Так как векторы i и j не коллинеарны, то их можно рассматри- вать в качестве базисных векторов. Тогда для любого вектора а плоскости Оху найдутся единственные действительные числа х и у такие, что а = хi+ yj. Здесь числа х и у называются координатами вектора а в прямоугольгой системе координат Оху, и это записывается так: а= (х; у).

Свойства координат вектора 1. У равных векторов соответствующие координаты равны: если а= (х; у), b= (u; v) и а = b, то х=u и y=v. Обратно, векторы, у которых соответствующие координаты равны между собой: если а= ( х; у), b= (u; v) и x= u, y= v, то а=b. 2. При сложении векторов складываются их соответствующие координаты: если а=(х;у), b=(u;v), то а+b=(x+u; y+v). 3. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это же число, если а=(х; у) и λ- число, то λ • а =(λ • х; λ • у). Следствие. Координаты разности векторов равны разности соответствующих координат этих векторов : если а= (х; у), b= (u; v), то a – b = (x-u; y-v).

Радиус-вектор. Координатный вид скалярного произведения. Если на плоскости Оху задана точка А (х;у), то вектор ОА называется радиус-вектором точки А. Скалярное произведение векторов а = (х1;у1) и b = (х2;у2) определяется по формуле: а • b = x1 • y2 + x2 • y2 .

Координатный вид коллинеарности и перпендикулярности векторов. Определение угла между векторами. Если векторы а=(х1;у1) и b=(х2;у2) взаимно перпендикулярны, то (a , b) = = 90°. Поэтому их скалярное произведение равно нулю, т.е. a • b = = |a| • |b| • cos90° = 0. Тогда имеем: х1х2+у1у2=0. Это и есть условие перпендикулярности ненулевых векторов. С помощью формулы а • b = x1 • y2 + x2 • y2 можно найти косинус угла между векторами а=(х1;у1) и b=(х2;у2). Действительно, их формулы a • b = |a| • |b| • соs(a , b) находим, что cos(a , b)= a • b |a| • |b| Отсюда получим cos(a , b)= x1x2+y1y2 ·

Уравнение прямой. Направляющий вектор и вектор нормали прямой. Уравнение прямой можно задать различными способами. Например, в 8 классе мы определили прямую как серединный перпендикуляр некоторого отрезка. Теперь определим уравнение прямой с помощью векторов. Пусть дана точка М0 (х0 ;у0 ) и вектор р = (α;β) (см рис 1 на след слайде). Тогда через точку М0 параллельно вектору р проходит одна и только одна прямая l. Точка М0 называется начальной точкой прямой l, а вектор р- направляющим вектором этой прямой. Если М (х;у) является произвольной точкой прямой l, то М0М || р. Здесь направляющий вектор р = (α;β)не параллелен осям координат, т.е. α≠0, β≠0. Используя условие коллинеарности векторов, р и М0М = (х-х ;у- у ), получим уравнение: х-х0 у-у0 α β

рис 1

Спасибо за внимание