Вступ до математичного аналізу - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Вступ до математичного аналізу, слайд №1

Вступ до математичного аналізу, слайд №2

Вступ до математичного аналізу, слайд №3

Вступ до математичного аналізу, слайд №4

Вступ до математичного аналізу, слайд №5

Вступ до математичного аналізу, слайд №6

Вступ до математичного аналізу, слайд №7

Вступ до математичного аналізу, слайд №8

Вступ до математичного аналізу, слайд №9

Вступ до математичного аналізу, слайд №10

Вступ до математичного аналізу, слайд №11

Вступ до математичного аналізу, слайд №12

Вступ до математичного аналізу, слайд №13

Вступ до математичного аналізу, слайд №14

Вступ до математичного аналізу, слайд №15

Вступ до математичного аналізу, слайд №16

Вступ до математичного аналізу, слайд №17

Вступ до математичного аналізу, слайд №18

Вступ до математичного аналізу, слайд №19

Вступ до математичного аналізу, слайд №20

Вступ до математичного аналізу, слайд №21

Вступ до математичного аналізу, слайд №22

Вступ до математичного аналізу, слайд №23

Вступ до математичного аналізу, слайд №24

Вступ до математичного аналізу, слайд №25

Вступ до математичного аналізу, слайд №26

Вступ до математичного аналізу, слайд №27

Вступ до математичного аналізу, слайд №28

Вступ до математичного аналізу, слайд №29

Вступ до математичного аналізу, слайд №30

Вступ до математичного аналізу, слайд №31

Вступ до математичного аналізу, слайд №32

Вступ до математичного аналізу, слайд №33

Вступ до математичного аналізу, слайд №34

Вступ до математичного аналізу, слайд №35

Вступ до математичного аналізу, слайд №36

Вступ до математичного аналізу, слайд №37

Вступ до математичного аналізу, слайд №38

Вступ до математичного аналізу, слайд №39

Вступ до математичного аналізу, слайд №40

Вступ до математичного аналізу, слайд №41

Вступ до математичного аналізу, слайд №42

Вступ до математичного аналізу, слайд №43

Вступ до математичного аналізу, слайд №44

Вступ до математичного аналізу, слайд №45

Вступ до математичного аналізу, слайд №46

Вступ до математичного аналізу, слайд №47

Вступ до математичного аналізу, слайд №48

Вступ до математичного аналізу, слайд №49

Вступ до математичного аналізу, слайд №50

Вступ до математичного аналізу, слайд №51

Вступ до математичного аналізу, слайд №52

Вступ до математичного аналізу, слайд №53

Вступ до математичного аналізу, слайд №54

Вступ до математичного аналізу, слайд №55

Вступ до математичного аналізу, слайд №56

Вступ до математичного аналізу, слайд №57

Вступ до математичного аналізу, слайд №58

Вступ до математичного аналізу, слайд №59

Вступ до математичного аналізу, слайд №60

Вступ до математичного аналізу, слайд №61

Вступ до математичного аналізу, слайд №62

Вступ до математичного аналізу, слайд №63

Вступ до математичного аналізу, слайд №64

Вступ до математичного аналізу, слайд №65

Вступ до математичного аналізу, слайд №66

Вступ до математичного аналізу, слайд №67

Вступ до математичного аналізу, слайд №68

Вступ до математичного аналізу, слайд №69

Вступ до математичного аналізу, слайд №70

Вступ до математичного аналізу, слайд №71

Вступ до математичного аналізу, слайд №72

Вступ до математичного аналізу, слайд №73

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Вступ до математичного аналізу. Доклад-сообщение содержит 73 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Лекція 4. Вступ до математичного аналізу Функції Послідовності та їх границі Границі функцій

Слайд 2

Описание слайда:

1. Функції Коли кожному елементу x множини Х (х∈Х) ставиться у відповідність визначений елемент y множини Y (y∈Y), то кажуть, що на множині Х задано функцію Y=f(x).

Слайд 3

Описание слайда:

Графічна інтерпретація функціональної залежності (графік функції)

Слайд 4

Описание слайда:

x – незалежна змінна (аргумент); x – незалежна змінна (аргумент); X – множина визначення (існування) функції, позначається D(y); y – залежна змінна; Y – область значень функції; f – символ функціональної залежності.

Слайд 5

Описание слайда:

Функція може задаватися наступними способами: Функція може задаватися наступними способами: таблично (задається таблиця, в якій значенням x відповідають значення y); Приклад. При вивченні залежності об’ємів продаж протягом дня прохолоджувальних напоїв V торгівельною точкою (у літрах) від температури повітря t (у градусах Цельсія) отримали наступні результати: T 18 19 22 24 28 V 150 160 280 450 600 Маємо, таким чином, таблично задану функцію V(t).

Слайд 6

Описание слайда:

Функція може задаватися наступними способами: Функція може задаватися наступними способами: словесно (наприклад, функція Діріхлє: f(x)=1, якщо x – раціональне число, f(x)=0, якщо x – ірраціональне); графічно (на координатній площині зображується лінія, для кожної точки якої ордината вважається значенням функції, яке відповідає значенню абсциси); аналітично (якщо значення функції знаходиться з рівності або рівностей, які пов’язують x та y): y=x, y=sinx

Слайд 7

Описание слайда:

Можливі наступні варіанти аналітичного задання функції: Можливі наступні варіанти аналітичного задання функції: а) явне задавання функції співвідношенням y=f(x); б) неявне задавання функції співвідношенням f(x,y)=0, y(x) знаходиться як корінь рівняння f(x1,y(x1))=0 для всіх x1 з області визначення;

Слайд 8

Описание слайда:

в) параметричне задавання функції системою співвідношень: в) параметричне задавання функції системою співвідношень: де t – параметр, y вважається значенням функції, що відповідає x. Вона задає параметрично залежність y від x. Приклад. Дана функція може бути задана явно:

Слайд 9

Описание слайда:

Властивості функцій 1. Парність та непарність. Парною називається функція y=f(x), така що для ∀x∈D(x), число (-x) також належить D(x) і f(x)=f(-x), і, відповідно, непарною, якщо для ∀x∈D(x), (-x)∈D(x), проте f(-x)=-f(x). Функція, яка не є а ні парною а ні непарною називається функцією загального вигляду (або загального положення).

Слайд 10

Описание слайда:

Властивості функцій 2. Монотонність. Зростаючою (спадною) називається функція, для якої на проміжку X більшому значенню аргументу відповідає більше (менше) значення функції. Зростаючі та спадні функції називаються строго монотонними. Якщо ж більшому значенню аргументу відповідає не менше (не більше), ніж попереднє, то функція називається неспадною (незростаючою). Такі функції також називають монотонними.

Слайд 11

Описание слайда:

Приклади строго монотонних функцій y=x2 для всіх х [0;∞] y=ctgx функція зростає спадає для всіх x

Слайд 12

Описание слайда:

Приклади монотонних функцій y=|x+1|-|x| є неспадною .

Слайд 13

Описание слайда:

Властивості функцій 3. Обмеженість. Обмеженою на множині Х називається функція, для якої існує таке число М, що |f(x)|≤M для всіх x∈X.

Слайд 14

Описание слайда:

Приклади обмежених функцій y=sinx

Слайд 15

Описание слайда:

Властивості функцій 4. Періодичність. Періодичною називається функція, для якої існує таке число T≠0, що для довільного x∈D(x) виконується рівність f(x)=f(x+T), при цьому періодом функції називається найменше додатне число T, яке задовольняє цій умові.

Слайд 16

Описание слайда:

Типи функцій Якщо значенню y∈E(y) ставиться у відповідність єдине x таке, що f(x)=y то отриману функцію називають оберненою до y=f(x) позначають x=f-1(y). Наприклад: для функції у=х2 оберненою є у=√х. Складні функції (суперпозиції функцій): нехай y=f(u), де u∈D(u), а множина D(u) є областю значень функції u=ϕ(x). Тоді кажуть, що визначено складну функцію y=f(ϕ(x))=F(x), або, що те ж саме, що функція F є суперпозицією функцій f та ϕ. Наприклад: y=ln sinx (суперпозиція логарифму та синуса).

Слайд 17

Описание слайда:

Елементарні функції Степенева y=xa; Показникова y=ax; Логарифмічна y=logax; Гіперболічна y=a/x; Експоненційна y=ea/x; Многочлени Pn(x)=a0xn+a1xn-1+...+an ступеню n Примітка: перші три функції називають основними елементарними функціями, остання функція є алгебраїчною функцією.

Слайд 18

Описание слайда:

2. Послідовності та їх границі Кажуть, що задано числову послідовність, якщо кожному натуральному числу поставлене у відповідність певне дійсне число. Таким чином, числова послідовність є функцією натурального аргументу an=f(n). Послідовність записують у вигляді а1, а2,...,аn або при цьому а1, а2,...,аn члени послідовності, an=f(n) загальний (n-ий) член послідовності. Оскільки послідовність є частинним випадком функції, то для неї використовують ті ж самі терміни: монотонність , обмеженість, тощо.

Слайд 19

Описание слайда:

Число a називають границею послідовності і записують , якщо для довільного числа ε>0 знайдеться такий номер N=N(ε), що для всіх n>N(ε) виконується нерівність |an-a|< ε (інакше кажучи, знайдеться такий номер члена послідовності, починаючи з якого, всі її члени потраплять до ε - околу числа a). Число a називають границею послідовності і записують , якщо для довільного числа ε>0 знайдеться такий номер N=N(ε), що для всіх n>N(ε) виконується нерівність |an-a|< ε (інакше кажучи, знайдеться такий номер члена послідовності, починаючи з якого, всі її члени потраплять до ε - околу числа a).

Слайд 20

Описание слайда:

Якщо послідовність має границю, вона називається збіжною, інакше – розбіжною. Якщо послідовність має границю, вона називається збіжною, інакше – розбіжною. Властивості збіжних послідовностей: 1) Якщо існує границя послідовності, то вона єдина. 2) Збіжна послідовність є обмеженою. 3) Якщо, починаючи з деякого номеру n≥N виконується нерівність an

Слайд 21

Описание слайда:

Слайд 22

Описание слайда:

Слайд 23

Описание слайда:

Приклади

Слайд 24

Описание слайда:

Типи невизначеностей при знаходженні границь

Слайд 25

Описание слайда:

Приклад розкриття невизначеності при знаходженні границі має місце невизначеність типу Якщо чисельник і знаменник поділити на n то звідси матимемо

Слайд 26

Описание слайда:

має місце невизначеність типу має місце невизначеність типу Послідовність розбивають на дві частини. Для другої частини послідовності запишемо: Звідси маємо:

Слайд 27

Описание слайда:

3. Границі функцій Число А називається границею функції y=f(x) при х →∞, якщо для ∀ε > 0 (наскільки завгодно малого) знайдеться число S(ε) > 0 таке, що при всіх x, |x| > S(ε), виконується нерівність |f(x)-A|< ε. Число A називається границею функції y=f(x) при x, що прямує до x0 (записується ), якщо для ∀ε > 0 існує δ(ε) > 0 таке, що з нерівності |x-x0|< δ(ε) випливає нерівність |f(x)-A|< ε.

Слайд 28

Описание слайда:

Слайд 29

Описание слайда:

Слайд 30

Описание слайда:

Властивості функцій, що мають границю, відповідають властивостям збіжних послідовностей. Властивості функцій, що мають границю, відповідають властивостям збіжних послідовностей. 1) Якщо функція f(x) має границю при x→x0, то ця границя єдина. 2) Якщо границя функції дорівнює 0, то така функція називається нескінченно малою. 3) Функція тоді і тільки тоді має границею число A (при x, що прямує до числа x0 або ж нескінченності), коли її можна представити у вигляді f(x)=A+α(x), де α(x) – нескінченно мала величина.

Слайд 31

Описание слайда:

Приклад , оскільки х+2=3+(х-1), х-1 в цьому випадку є нескінченно малою

Слайд 32

Описание слайда:

4) Функція f(x) тоді і тільки тоді має границею число A, якщо для довільної послідовності чисел х1, х2,...,хn з її області визначення послідовність значень функції f(x1), f(x2),...,f(xn) збігається до A. (означенням границі функції за Гейне )/ 4) Функція f(x) тоді і тільки тоді має границею число A, якщо для довільної послідовності чисел х1, х2,...,хn з її області визначення послідовність значень функції f(x1), f(x2),...,f(xn) збігається до A. (означенням границі функції за Гейне )/ 5) Сталий множник виноситься за знак границі: Наприклад:

Слайд 33

Описание слайда:

6) Границя алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі границь: 6) Границя алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі границь: Наприклад: 7) Границя добутку дорівнює добутку границь: Наприклад:

Слайд 34

Описание слайда:

8) Границя частки дорівнює частці границь: 8) Границя частки дорівнює частці границь: Наприклад: 9) Якщо , , то границя складеної функції Наприклад:

Слайд 35

Описание слайда:

10) Якщо в деякому околі точки х0 (або при достатньо великих х) виконується нерівність f(x)

Слайд 36

Описание слайда:

Для нескінченно малих величин характерні наступні властивості: Для нескінченно малих величин характерні наступні властивості: а) Алгебраїчна сума скінченної кількості нескінченно малих величин є величина нескінченно мала. б) Добуток нескінченно малої величини на обмежену (в тому числі на сталу або ж іншу нескінченно малу) є величина нескінченно мала. в) Частка від ділення нескінченно малої величини на величину, яка має відмінну від нуля границю, є величина нескінченно мала. г) Величина, обернена до нескінченно малої є нескінченно велика і навпаки – величина, обернена до нескінченно великої є нескінченно мала.

Слайд 37

Описание слайда:

Примітні (важливі) границі Першою примітною границею називається границя Її наслідками є границі:

Слайд 38

Описание слайда:

Приклади

Слайд 39

Описание слайда:

Другою примітною границею називається границя: Наслідки такої границі

Слайд 40

Описание слайда:

Приклад

Слайд 41

Описание слайда:

Нескінченно малі величини називаються еквівалентними (α∼β), якщо або одного порядку малості, якщо . Якщо то α(х)називається нескінченно малою вищого порядку малості в порівнянні з β.

Слайд 42

Описание слайда:

У випадку, коли маємо добуток, або частку нескінченно малих величин, то при знаходженні границь кожна з них може бути замінена на еквівалентну. У випадку, коли маємо добуток, або частку нескінченно малих величин, то при знаходженні границь кожна з них може бути замінена на еквівалентну.

Слайд 43

Описание слайда:

З першої та другої примітних границь випливають наступні еквівалентності: З першої та другої примітних границь випливають наступні еквівалентності:

Слайд 44

Описание слайда:

Для нескінченно великих функцій корисно використовувати еквівалентність: Для нескінченно великих функцій корисно використовувати еквівалентність: Рn(х) = а0хn+а1хn-1 +... + аn ~ а0хn при х →∞

Слайд 45

Описание слайда:

Неперервність та розриви функцій Неперервною в точці х=х0 є функція y=f(x), якщо вона: а) визначена в деякому околі цієї точки; б) має скінченну границю ; в) A=f(x0) (границя співпадає зі значенням функції); неперервною на інтервалі (a; b), якщо вона неперервна в усіх точках цього інтервалу; неперервною на відрізку [a; b], якщо вона: г) неперервна на інтервалі (a; b); д) має скінченні значення f(a)=α, f(b)=β; е) мають місце рівності:

Слайд 46

Описание слайда:

1) неперервність функції означає неперервність її графіка, тобто можливість зобразити його не відриваючи олівця від паперу; 1) неперервність функції означає неперервність її графіка, тобто можливість зобразити його не відриваючи олівця від паперу; 2) функція неперервна тоді і тільки тоді, коли її приріст ∆y=y(x+∆x)-y(x) прямує до нуля при ∆x→0.

Слайд 47

Описание слайда:

Якщо функція не є неперервною в точці х0, то точка х0 називається точкою розриву функції. Якщо функція не є неперервною в точці х0, то точка х0 називається точкою розриву функції. Розрізняють наступні типи точок розриву: 1) Усувний розрив, коли існує границя , проте її значення не співпадає зі значенням f(x0) або ж останнє не існує; 2) Розрив першого роду (розрив типу «стрибок»), якщо границі та існують, проте не рівні між собою; 3) Розрив другого роду, якщо хоча б одна з границь та нескінченна або не існує.

Слайд 48

Описание слайда:

Приклад. Дослідити на розрив функцію . Приклад. Дослідити на розрив функцію . Розв’язання. Оскільки f(1) не існує, то x=1 - точка розриву функції. Обчислимо границі зліва і справа в точці x=1: Оскільки , то точка x=1 є точкою усувного розриву. Отже маємо: . Схематичний графік зображено на наступному слайді.

Слайд 49

Описание слайда:

Слайд 50

Описание слайда:

Приклад Функція має в точці x = 0 розрив першого роду («стрибок»), оскільки а значення самої функції в цій точці не визначене.

Слайд 51

Описание слайда:

Приклад Дослідити на розрив функцію Розв’язання. Оскільки f(1) не існує, то x=1 - точка розриву функції. Обчислимо односторонні границі функції в точці x=1: Оскільки друга границя дорівнює -∞ то точка х=1 точка розриву другого роду. Графік наведено на наступному слайді.

Слайд 52

Описание слайда:

Слайд 53

Описание слайда:

Функції , неперервні в точці, мають наступні властивості: Функції , неперервні в точці, мають наступні властивості: 1) Якщо функції f(x) та g(x) неперервні в точці x=x0, то їх алгебраїчна сума f(x)+g(x), добуток f(x)*g(x) та частка f(x)/g(x) (при g(x)≠0) також неперервні в точці x=x0. 2) Якщо f(x) неперервна в точці x=x0 та f(x0)>((

Слайд 54

Описание слайда:

Всі елементарні функції неперервні в усіх точках своїх областей визначення. Всі елементарні функції неперервні в усіх точках своїх областей визначення.

Слайд 55

Описание слайда:

Функції, неперервні на проміжку [a; b], мають наступні властивості: Функції, неперервні на проміжку [a; b], мають наступні властивості: 1) Якщо функція y=f(x) неперервна на проміжку, то вона обмежена на цьому проміжку. 2) Якщо функція y=f(x) неперервна на проміжку, то існують точки x1∈[a; b], x2∈[a; b] в яких функція досягає своїх найменшого m та найбільшого M значень на цьому проміжку: f(x1)=m, f(x2)=M. 3) Якщо функція неперервна на відрізку [a; b] і її значення на кінцях цього відрізку мають різні знаки, то на відрізку знайдеться точка x0 така, що f(x0)=0.

Слайд 56

Описание слайда:

Біном Ньютона Формулою бінома Ньютона називають рівність: де, a, b – дійсні числа. n=1, 2, 3,... - натуральне число. - біноміальний коефіцієнт. n! – факторіал числа n.

Слайд 57

Описание слайда:

Справедливі такі співвідношення

Слайд 58

Описание слайда:

Приклади вирішення задач Приклад 1. Знайти границі послідовностей. 1.1) 1.2)

Слайд 59

Описание слайда:

Розв’язок задачі 1.1. Розв’язок задачі 1.1. Для розкриття заданої невизначеності типу {∞/∞} виносимо в чисельнику та знаменнику вищу ступінь n . Після скорочення та врахування того, що , а також властивостей арифметичних дій над збіжними послідовностями, маємо:

Слайд 60

Описание слайда:

Розв'язання буде простішим, якщо врахувати, що Розв'язання буде простішим, якщо врахувати, що

Слайд 61

Описание слайда:

Розв’язок задачі 1.2.

Слайд 62

Описание слайда:

Приклади по розкриттю невизначеностей Приклад 1.

Слайд 63

Описание слайда:

Розв’язок прикладу 1.а. Розв’язок прикладу 1.а. Підстановка граничного значення х = 1 призводить до невизначеності типу {0/0}. Розкладемо чисельник та знаменник на множники використовуючи теорему Безу: якщо а - корінь многочлена Рn ( х ) , тобто Рn(а) = 0 , т о Рn(х) ділиться на двочлен (х-а) без залишку :

Слайд 64

Описание слайда:

Слайд 65

Описание слайда:

Розв’язок прикладу 1.в. Розв’язок прикладу 1.в. Позбудемось ірраціональності в чисельнику, помноживши чисельник і знаменник на Далі в чисельнику скористаємось формулою а2 -Ь2 =(а-Ь)(а+Ь),в знаменнику множник замінимо його значенням при х = 2 . Отже, маємо

Слайд 66

Описание слайда:

Розв’язок прикладу 1.г. Домножимо чисельник і знаменник на вирази, спряжені до чисельника і знаменника. Скориставшись відповідними формулами а2 -Ь2 =(а-Ь)(а +Ь), а3 + Ь3 = (а + Ь)(а2 - аЬ + Ь2), маємо