🗊Презентация Вычисление интегралов

Объять необъятное... Учитель информатики МОАУ СОШ № 17 МО Кореновский район Краснодарского края Лобурь Ирина Анатольевна

Дорогой одиннадцатиклассник! Я хочу познакомить тебя вот с чем... Тебе, наверное, приходилось сталкиваться с такими фразами, как объять необъятное. А вычислить невычислимое? Вот это я и предлагаю тебе сейчас сделать. Будь внимательным, а для перемещения по страницам моего проекта используй клавиши PgDown (далее) и PgUp (назад). Если встретишь подчеркнутый текст жёлтого цвета, щелкни на нём левой кнопкой мыши.

Введение Тебе уже, наверное, знакомо понятие определенного интеграла? Тогда ты должен знать, что Где F(x) – Первообразная функции f(x), для которой справедливо следующее равенство: Поэтому, чтобы вычислить достаточно найти первообразную F(x) и… задача решена!

А, только, вот вопрос: А, если такой функции не существует?! В математике много примеров так называемых «неберущихся» интегралов, например: или . А если функция, как результат статистической обработки данных, задана таблично? А вдруг ты - экономист какого-либо скупого миллиардера, и он велел тебе произвести следующий расчет: «Я желаю бассейн, имеющий форму выложить дражайшими самоцветами. Но помни, расчет должен быть как можно более точным, т. к. от твоей экономности во многом будет зависеть твоё жалование.» И ты, великий математик, начинаешь решать эту задачу. Ты прекрасно знаешь, чтобы вычислить площадь криволинейной фигуры нужно вычислить интеграл. Ты берешься за карандаш и исписываешь кипу листов, не находя решения! Интеграл не берется! Как же быть? И вот тут тебе на помощь придет твой верный помощник - компьютер!

Вычислим интеграл поместим в ячейку А2 значение а - начало промежутка интегрирования, и заполним столбик А с шагом h=0.001 до значения b. В ячейку B2 введём формулу, задающую функцию f(x): Вычислим интеграл поместим в ячейку А2 значение а - начало промежутка интегрирования, и заполним столбик А с шагом h=0.001 до значения b. В ячейку B2 введём формулу, задающую функцию f(x): = A2^2 и скопируем её до ячейки B1002. А далее воспользуемся одним из трёх способов.

Метод прямоугольников Этот метод тебе хорошо известен. Разобьём нашу фигуру на прямоугольники: И вычислим площадь каждого получившегося прямоугольника: .

Для этого в ячейку С2 запишем и скопируем её до значения b-h (ячейка В1001)! Теперь сделаем то же самое, но только в качестве f(xi) будем брать левые стороны прямоугольников. Для этого в ячейку С2 запишем и скопируем её до значения b-h (ячейка В1001)! Теперь сделаем то же самое, но только в качестве f(xi) будем брать левые стороны прямоугольников. Но, внимание! Заполнение начнём с ячейки D3! В неё поместим =a3^2*0.001 и скопируем эту формулу до значения b включительно (ячейка D1002)! Сумму получившихся в столбце D результатов поместим в ячейку E3. Учитывая, что при совмещении этих двух рисунков, наш график функции окажется между получившимися ступенчатыми фигурами, заключаем: значение площади нашей фигуры также заключено между площадями ступенчатых фигур. Поэтому в E4 поместим =(E2+E3)/2. Нажмём Enter и приблизительное значение нашего интеграла готово! Хотите большей точности – уменьшите шаг!

Согласись, это гораздо ближе к делу! Итак, как и в предыдущем случае открываем Excel и заполняем линейки столбцов А и В. Найдем теперь площадь одной маленькой трапеции: Согласись, это гораздо ближе к делу! Итак, как и в предыдущем случае открываем Excel и заполняем линейки столбцов А и В. Найдем теперь площадь одной маленькой трапеции: В ячейку С2 запишем для нашей функции y=x2: = (a2^2 + (a^2 + 0,001)^2)*0,001/2 и скопируем эту формулу до значения b-h (ячейка B1001), и в ячейку D2 поместим сумму получившихся значений.

Это и есть наш результат! Это и есть наш результат!

Метод парабол (метод Симпсона) Этот метод является одним из более совершенных и точных, так как в этом случае идет приближение подынтегральной кривой к другой кривой – параболе:

Для вычисления интеграла по формуле Симпсона заменим нашу функцию по формуле квадратичного интерполирования Для вычисления интеграла по формуле Симпсона заменим нашу функцию по формуле квадратичного интерполирования где Тогда Перейдём к новой переменной интегрирования, учитывая, что x=x0+ ht, dx=hdt, t=0 при x=x0 и t=2 при x=x2 Или Эта формула называется формулой Симпсона или формулой парабол.

При таком приближении криволинейная трапеция на участке заменяется параболой и производится интегрирование полученной параболы. При таком приближении криволинейная трапеция на участке заменяется параболой и производится интегрирование полученной параболы. В разделе вычислительной математики используют формулу Симпсона для каждого отрезка интегрирования (заметим, их должно быть чётное число!) получим: . . . . . Суммируя эти равенства получим:

Теперь разберёмся с Excelем: Теперь разберёмся с Excelем: Уже известным способом заполняем столбец А с шагом 0,002 от значения а (для нашего промежутка – 1) до значения b (у нас – 2). Столбец В – с тем же шагом, но от значения а+h до значения b-h (для нашего интеграла от 1,001 до 1,999). Столбцы С и D заполняем формулой =a2^2 и =b2^2 соответственно. Согласно формуле Симпсона в ячейку Е1 помещаем =с2+с502, в ячейку Е2 =4*СУММ(d2:d501), а в ячейку Е3 запишем =2*СУММ(с3: с501). В ячейку Е4 помещаем =0,001/3*(е1+е2+е3). Взгляните на полученный результат!

Подведём итог. При вычислении интеграла четырьмя способами Подведём итог. При вычислении интеграла четырьмя способами у меня получились следующие результаты: По формуле Ньютона-Лейбница - ; По формуле прямоугольников – 2,333333; По формуле трапеций – 2,333333; По формуле Симпсона – 2,333333. Хочу заметить, что этот метод можно использовать также для оценки площадей фигур, ограниченных вертикальными асимптотами. Например, для функции : !!!

Упражнение Теперь я предлагаю вам потренироваться вычислять невычислимое. Выберите любой интеграл, который вы можете вычислить по формуле Ньютона-Лейбница, и попробуйте вычислить его одним из предложенных мною способов. Метод прямоугольников Метод трапеций Метод Симпсона