🗊Презентация Вычисление значений многочлена. Вычисление функций с помощью степенных рядов. Многочленные приближения

Лекция 2 Вычисление значений многочлена. Схема Горнера Вычисление функций с помощью степенных рядов Многочленные приближения Вычисление функций методом итераций

Вычисление значений различных математических функций иногда представляет собой самостоятельную задачу, а иногда необходимо при решении других задач. Функции, даже элементарные, не могут быть вычислены с помощью операций языка программирования, и поэтому вычисляются с помощью программ. Вычисление значений различных математических функций иногда представляет собой самостоятельную задачу, а иногда необходимо при решении других задач. Функции, даже элементарные, не могут быть вычислены с помощью операций языка программирования, и поэтому вычисляются с помощью программ. Некоторые элементарные функции (тригонометрические, логарифмические, гиперболические и ряд других) могут быть вычислены с помощью программ, входящих в состав систем программирования. Например, для вычисления функций при программировании на языке Visual Basic могут быть использованы многочисленные процедуры (методы) класса System.Math. Для использования этих функций в программе на Visual Basic необходимо в начале файла с программой поместить код Imports System.Math. Еще большие возможности по вычислению функций дают математические пакеты прикладных программ (ППП), например, знакомые вам MathCad и MatLab. Но на практике может возникнуть необходимость вычисления функции, отсутствующей даже в ППП, а, следовательно, необходимость разработки собственной программы с использованием известных методов решения задачи. В любом случае необходимо знать методы вычисления различных функций и оценки вносимых ими погрешностей, чтобы грамотно использовать готовые программы, а при необходимости решить задачу самостоятельно.

Вычисление значений многочлена. Постановка задачи Пусть дан многочлен (полином) n-й степени:  Pn(x) = a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an  с действительными коэффициентами ai (i = 0, 1,…n) и пусть требуется найти значение этого многочлена при x = u:  Pn(u) = a0un + a1un-1 + … + an-1u + an  

Вычисление значений многочлена. Схема Горнера Вычисление эффективнее всего выполнять, используя лишь операции сложения и умножения. Пусть, например, n = 7. Тогда  P7(u) = a0u7 + a1u6 + a2u5 + a3u4 + a4u3 + a5u2 + a6u + a7  Представим это выражение в следующем виде:  P7(u) = (((((((a0u +a1)u + a2)u + a3)u + a4)u + a5)u + a6)u + a7)  Тогда вычисление P7(u) требует выполнения следующей последовательности действий: b0 = a0 c1 = b0u b1 = a1 + c1 c2 = b1u b2 = a2 + c2 c3 = b2u b3 = a3 + c3 c4 = b3u b4 = a4 + c4 c5 = b4u b5 = a5 + c5 c6 = b5u b6 = a6 + c6 c7 = b6u b7 = a7 + c7

Алгоритм реализации схемы Горнера В краткой форме схема Горнера может быть представлена в виде рекуррентной формулы  Pn = Pn–1u + ai; i = 1, 2, … n; P0 = a0  

Разложение функций в ряд Маклорена Некоторые трансцендентные (т.е. неалгебраические) функции раскладываются в ряд Маклорена: Представим этот бесконечный ряд в виде суммы  f(x) = Pn(x) + Rn(x),  где а Rn(x) – остаточный член.

Разложение функций в ряд Маклорена Если ряд Маклорена сходится, то , и при достаточно малом Rn(x) значение функции f(x) ≈ Pn(x) с абсолютной погрешностью Rn(x). Таким образом, погрешность этого метода вычисления значений функций определяется величиной Rn(x) и может регулироваться путем выбора количества суммируемых членов ряда n. При вычислении функции путем разложения в ряд Маклорена надо знать радиус сходимости ряда, т.е. ограничения на величину x, и оценку величины Rn(x) для обеспечения условия |Rn(x)| < ε, где ε – заданная допустимая абсолютная погрешность.

Рекуррентные формулы Во многих случаях вычисление членов ряда непосредственно по общей формуле члена ряда трудоемко и может вызвать дополнительные ошибки округления. В таких случаях очередной член ряда вычисляют не по общей, а по рекуррентной формуле – через предыдущий член ряда. Для получения рекуррентной формулы необходимо выполнить следующие операции: Записать формулу для k–го члена ряда ak. Записать формулу для (k-1)-го члена ряда ak-1, заменив в предыдущей формуле всюду k на k-1. Получить формулу для отношения q = ak/ak-1, произведя необходимые упрощения и сокращения. Записать в развернутом виде полученную рекуррентную формулу в виде ak= q ∙ ak-1, значения k, при которых она работает, и значение первого члена ряда a0.

Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций

Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций

Вывод рекуррентной формулы для ряда ex

Приведение аргумента ex к диапазону|x| < 1 При больших по абсолютной величине значениях x данный ряд сходится медленно, и за счет погрешностей округления результат может оказаться не просто неточным, а бессмысленным. Скорость сходимости ряда будет большой при |x| < 1. Для приведения x к этому диапазону его представляют обычно в виде суммы: x = E(x) + z, где E(x) – целая часть x, 0<=z<1 – дробная часть x. Тогда ex = eE(x) ∙ ez, где eE(x) вычисляется путем возведения в целую степень, а ez – путем разложения в ряд.

Схема алгоритма вычисления ex

Рекуррентные формулы для рядов sin(x) и cos(x)

Приведение аргумента sin(x) и cos(x) к отрезку [0; π/4]

Схема алгоритма вычисления sin(x)

Рекуррентные формулы и формулы приведения для функции arctg(x)

Рекуррентные формулы и формулы приведения для функции ln(z)

Алгоритм приведения аргумента ln(x)

Схема алгоритма вычисления ln x

Рекуррентные формулы для рядов sinh(x) и cosh(x)

Свойства функций sinh(x) и cosh(x) Четность–нечетность sinh(-x) = -sinh(x) cosh(-x) = cosh(x)

Многочленные приближения ex и ln x ex ≈ a0x7+a1x6+a2x5+a3x4+a4x3+a5x2+a6x+a7 a0 = 0,0002040 a1 = 0,0014393 a2 = 0,0083298 a3 = 0,0416350 a4 = 0,1666674 a5 = 0,5000063 a6 = 1,0 a7 = 0,9999998 |x| <= 1 Δ = 2∙10-7 ln(1+x) ≈ a0x7+a1x6+a2x5+a3x4+a4x3+a5x2+a6x+a7 a0 = 0,010757369 a1 = -0,055119959 a2 = 0,134639267 a3 = -0,225873284 a4 = 0,328233122 a5 = -0,499470150 a6 = 0,999981028 a7 = 0 |x| <= 1 Δ = 2∙10-7

Многочленные приближения sin x и cos x sin x ≈ a0x9+a2x7+a4x5+a6x3+a8x a0 = 0,000002608 a2 = -0,000198107 a4 = 0,008333075 a6 = -0,166666589 a8 = 1,000000002 |x| <= π/2 Δ = 6∙10-9 cos x ≈ a0x10+a2x8+a4x6+a6x4+a8x2+a10 a0 = -0,000000269591 a2 = 0,000024795132 a4 = -0,001388885683 a6 = 0,041666665950 a8 = -0,499999999942 a10 = 1,0 |x| <= 1 Δ = 2∙10-9

Многочленное приближение tg x tg x ≈ a0x13+a2x11+a4x9+a6x7+a8x5+a10x3+a12x a0 = 0,0095168091 a2 = 0,0029005250 a4 = 0,0245650893 a6 = 0,0533740603 a8 = 0,1333923995 a10 = 0,3333314036 a12 = 1,0 |x| <= π/4 Δ = 2∙10-8

Вычисление функций методом итераций Всякую функцию y = f(x) можно различными способами задавать неявно, т.е. некоторым уравнением F(x,y) = 0, где x – заданный параметр, а y - неизвестное. …………………………. Условия сходимости: F'(x,y) и F''(x,y) существуют и знакопостоянны в окрестности корня уравнения Правило останова: |yn+1 - yn| < ε – допустимая абс. погр.

Вычисление квадратного корня методом итераций

Схема алгоритма вычисления √x

Вычисление корня p–й степени методом итераций Выбор y0

Вычисление корня p–й степени методом итераций. Формула Ньютона Если преобразовать выражение y = p√x к виду F(x,y) = yp– x, то получим другую итерационную формулу: известную как формула Ньютона. При p = 2 из формулы Ньютона получается формула Герона.