🗊Презентация Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр

Категория: Математика
Нажмите для полного просмотра!
Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №1Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №2Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №3Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №4Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №5Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №6Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №7Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №8Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №9Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №10Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №11Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №12Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №13Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №14Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №15Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №16Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №17Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №18Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №19Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №20Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №21Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №22Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №23Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №24Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №25Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №26Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №27Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №28Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №29Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №30Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №31Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №32Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №33Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №34Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №35Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №36Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №37Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №38Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №39Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №40Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №41Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №42Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №43Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №44Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №45Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №46Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №47Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №48Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №49Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №50Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №51Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №52Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №53Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №54Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №55Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №56Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №57Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №58Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №59Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №60Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №61Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №62Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №63Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №64Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №65Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №66Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №67Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №68Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №69Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №70Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №71Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №72Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №73Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №74Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №75Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №76Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №77Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №78Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №79Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №80Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №81Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №82Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №83Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №84Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №85Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №86Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №87Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №88Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №89Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №90Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №91Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №92Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №93
Скачать

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр. Доклад-сообщение содержит 93 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1


§5. Системы линейных уравнений
Описание слайда:
§5. Системы линейных уравнений

Слайд 2


6.1. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных называется система вида
Описание слайда:
6.1. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных называется система вида

Слайд 3


Систему (1) удобно записывать в компактной матричной форме: Систему (1) удобно записывать в компактной матричной форме: Где - матрица коэффициентов системы
Описание слайда:
Систему (1) удобно записывать в компактной матричной форме: Систему (1) удобно записывать в компактной матричной форме: Где - матрица коэффициентов системы

Слайд 4


- вектор-столбец неизвестных. - вектор-столбец неизвестных.
Описание слайда:
- вектор-столбец неизвестных. - вектор-столбец неизвестных.

Слайд 5


ОПР. Расширенной матрицей системы (1) называется матрица системы, дополненная столбцом свободных членов ОПР. Расширенной матрицей системы (1) называется матрица системы, дополненная столбцом свободных членов
Описание слайда:
ОПР. Расширенной матрицей системы (1) называется матрица системы, дополненная столбцом свободных членов ОПР. Расширенной матрицей системы (1) называется матрица системы, дополненная столбцом свободных членов

Слайд 6


Решение системы Упорядоченное множество чисел называется решением системы (1), если каждое из уравнений системы обращается в верное равенство после подстановки вместо соответственно чисел Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.
Описание слайда:
Решение системы Упорядоченное множество чисел называется решением системы (1), если каждое из уравнений системы обращается в верное равенство после подстановки вместо соответственно чисел Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.

Слайд 7


Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.
Описание слайда:
Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Слайд 8


Решить систему – это значит выяснить совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение. Две системы называются эквивалентными, если они имеют одно и то же общее решение.
Описание слайда:
Решить систему – это значит выяснить совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение. Две системы называются эквивалентными, если они имеют одно и то же общее решение.

Слайд 9


Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю: Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:
Описание слайда:
Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю: Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:

Слайд 10


6.2. Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными Данная система может быть записана в матричной форме:
Описание слайда:
6.2. Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными Данная система может быть записана в матричной форме:

Слайд 11


Основная матрица A такой системы квадратная. Определитель этой матрицы Основная матрица A такой системы квадратная. Определитель этой матрицы называется определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.
Описание слайда:
Основная матрица A такой системы квадратная. Определитель этой матрицы Основная матрица A такой системы квадратная. Определитель этой матрицы называется определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.

Слайд 12


Решение системы трех уравнений с тремя неизвестными Система трёх уравнений с тремя неизвестными имеет вид
Описание слайда:
Решение системы трех уравнений с тремя неизвестными Система трёх уравнений с тремя неизвестными имеет вид

Слайд 13


Определитель системы
Описание слайда:
Определитель системы

Слайд 14


Система (2) может быть представлена в виде Система (2) может быть представлена в виде Откуда следует, что при система (2) имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:
Описание слайда:
Система (2) может быть представлена в виде Система (2) может быть представлена в виде Откуда следует, что при система (2) имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

Слайд 15


При и хотя бы одном из При и хотя бы одном из отличном от нуля система (2) несовместна. При система (2) имеет бесчисленное множество решений.
Описание слайда:
При и хотя бы одном из При и хотя бы одном из отличном от нуля система (2) несовместна. При система (2) имеет бесчисленное множество решений.

Слайд 16


Пример Решить систему по формулам Крамера
Описание слайда:
Пример Решить систему по формулам Крамера

Слайд 17


Найдем определитель системы Найдем определитель системы
Описание слайда:
Найдем определитель системы Найдем определитель системы

Слайд 18


Вычислим Вычислим
Описание слайда:
Вычислим Вычислим

Слайд 19


По формулам Крамера находим Ответ:
Описание слайда:
По формулам Крамера находим Ответ:

Слайд 20


6.3. Исследование и решение СЛАУ. Теорема Кронекера-Капелли Рассмотрим произвольную СЛАУ (1) содержащую m уравнений и n неизвестных. Теорема 6.1. СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы:
Описание слайда:
6.3. Исследование и решение СЛАУ. Теорема Кронекера-Капелли Рассмотрим произвольную СЛАУ (1) содержащую m уравнений и n неизвестных. Теорема 6.1. СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы:

Слайд 21


Теорема 6.2. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Теорема 6.2. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.
Описание слайда:
Теорема 6.2. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Теорема 6.2. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Слайд 22


6.4. Метод Гаусса Метод Гаусса (или метод последовательного исключения неизвестных) является универсальным методом решения систем линейных алгебраических уравнений.
Описание слайда:
6.4. Метод Гаусса Метод Гаусса (или метод последовательного исключения неизвестных) является универсальным методом решения систем линейных алгебраических уравнений.

Слайд 23


С помощью элементарных преобразований система уравнение приводится к равносильной системе ступенчатого вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных находятся все остальные переменные. С помощью элементарных преобразований система уравнение приводится к равносильной системе ступенчатого вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных находятся все остальные переменные.
Описание слайда:
С помощью элементарных преобразований система уравнение приводится к равносильной системе ступенчатого вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных находятся все остальные переменные. С помощью элементарных преобразований система уравнение приводится к равносильной системе ступенчатого вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных находятся все остальные переменные.

Слайд 24


Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов: Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов: На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому виду. На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из полученной ступенчатой системы.
Описание слайда:
Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов: Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов: На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому виду. На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из полученной ступенчатой системы.

Слайд 25


Элементарные преобразования Перестановка уравнений местами. Умножение какого-либо уравнения системы на число, отличное от нуля. Умножение какого-либо уравнения системы на число, отличное от нуля и прибавление его к какому-либо уравнению системы.
Описание слайда:
Элементарные преобразования Перестановка уравнений местами. Умножение какого-либо уравнения системы на число, отличное от нуля. Умножение какого-либо уравнения системы на число, отличное от нуля и прибавление его к какому-либо уравнению системы.

Слайд 26


Рассмотрим метод Гаусса для системы третьего порядка, определитель которой не равен нулю: Рассмотрим метод Гаусса для системы третьего порядка, определитель которой не равен нулю:
Описание слайда:
Рассмотрим метод Гаусса для системы третьего порядка, определитель которой не равен нулю: Рассмотрим метод Гаусса для системы третьего порядка, определитель которой не равен нулю:

Слайд 27


Исключим из второго и третьего уравнений, используя элементарные преобразования системы а затем в полученной системе исключим из третьего уравнения. Мы приведем систему к «треугольному» виду: Исключим из второго и третьего уравнений, используя элементарные преобразования системы а затем в полученной системе исключим из третьего уравнения. Мы приведем систему к «треугольному» виду:
Описание слайда:
Исключим из второго и третьего уравнений, используя элементарные преобразования системы а затем в полученной системе исключим из третьего уравнения. Мы приведем систему к «треугольному» виду: Исключим из второго и третьего уравнений, используя элементарные преобразования системы а затем в полученной системе исключим из третьего уравнения. Мы приведем систему к «треугольному» виду:

Слайд 28


После этого начинается обратный ход метода Гаусса: из последнего уравнения находим , из второго - , из первого - Замечание. Если коэффициент в системе равен нулю, то можно поменять местами уравнения или неизвестные.
Описание слайда:
После этого начинается обратный ход метода Гаусса: из последнего уравнения находим , из второго - , из первого - Замечание. Если коэффициент в системе равен нулю, то можно поменять местами уравнения или неизвестные.

Слайд 29


Рассмотренный метод решения, заключающийся в сведении исходной системы к системе, имеющей треугольный вид называется методом Гаусса.
Описание слайда:
Рассмотренный метод решения, заключающийся в сведении исходной системы к системе, имеющей треугольный вид называется методом Гаусса.

Слайд 30


Пример Рассмотрим систему
Описание слайда:
Пример Рассмотрим систему

Слайд 31


Исключим x из второго и третьего уравнения. Для этого первое уравнение умножим на –2 и сложим со вторым, затем первое уравнение умножим на –3 и сложим с третьим. Исключим x из второго и третьего уравнения. Для этого первое уравнение умножим на –2 и сложим со вторым, затем первое уравнение умножим на –3 и сложим с третьим.
Описание слайда:
Исключим x из второго и третьего уравнения. Для этого первое уравнение умножим на –2 и сложим со вторым, затем первое уравнение умножим на –3 и сложим с третьим. Исключим x из второго и третьего уравнения. Для этого первое уравнение умножим на –2 и сложим со вторым, затем первое уравнение умножим на –3 и сложим с третьим.

Слайд 32


Получим систему, равносильную данной: Получим систему, равносильную данной: Далее исключим y из третьего уравнения, для чего второе уравнение полученной системы умножим на –1 и сложим с третьим. Получим систему
Описание слайда:
Получим систему, равносильную данной: Получим систему, равносильную данной: Далее исключим y из третьего уравнения, для чего второе уравнение полученной системы умножим на –1 и сложим с третьим. Получим систему

Слайд 33


Из третьего уравнения подставим во второе и найдем Подставив найденные значения и в первое уравнение получим Ответ:
Описание слайда:
Из третьего уравнения подставим во второе и найдем Подставив найденные значения и в первое уравнение получим Ответ:

Слайд 34


Пример Решить систему методом Гаусса Решение. Поменяем местами первое и второе уравнения системы (т. к. удобно иметь коэффициент при равный 1):
Описание слайда:
Пример Решить систему методом Гаусса Решение. Поменяем местами первое и второе уравнения системы (т. к. удобно иметь коэффициент при равный 1):

Слайд 35


Получим систему Получим систему Последнее равенство неверно. Следовательно, система несовместна. Ответ:
Описание слайда:
Получим систему Получим систему Последнее равенство неверно. Следовательно, система несовместна. Ответ:

Слайд 36


Пример Решить систему методом Гаусса Решение. Умножим первое уравнение на (-2) и сложим со вторым: Таким образом, в системе остается одно уравнение
Описание слайда:
Пример Решить систему методом Гаусса Решение. Умножим первое уравнение на (-2) и сложим со вторым: Таким образом, в системе остается одно уравнение

Слайд 37


Такая система имеет бесчисленное множество решений. Эти решения можно записать в виде:
Описание слайда:
Такая система имеет бесчисленное множество решений. Эти решения можно записать в виде:

Слайд 38


Пример 1. Установить, совместна ли система и, если она совместна, найти ее решение по формулам Крамера.
Описание слайда:
Пример 1. Установить, совместна ли система и, если она совместна, найти ее решение по формулам Крамера.

Слайд 39


Решение Запишем систему в матричном виде:
Описание слайда:
Решение Запишем систему в матричном виде:

Слайд 40


Определитель системы равен Определитель системы равен
Описание слайда:
Определитель системы равен Определитель системы равен

Слайд 41


Найденное решение - это точка пересечения прямых Найденное решение - это точка пересечения прямых и
Описание слайда:
Найденное решение - это точка пересечения прямых Найденное решение - это точка пересечения прямых и

Слайд 42


2. Установить, совместна ли система и, если она совместна, найти ее решение по формулам Крамера. 2. Установить, совместна ли система и, если она совместна, найти ее решение по формулам Крамера. Решение. Запишем систему в матричном виде:
Описание слайда:
2. Установить, совместна ли система и, если она совместна, найти ее решение по формулам Крамера. 2. Установить, совместна ли система и, если она совместна, найти ее решение по формулам Крамера. Решение. Запишем систему в матричном виде:

Слайд 43


Определитель системы: Определитель системы: Определитель отличен от нуля, следовательно система несовместна (т.е. не имеет решений).
Описание слайда:
Определитель системы: Определитель системы: Определитель отличен от нуля, следовательно система несовместна (т.е. не имеет решений).

Слайд 44


Так как каждое уравнение системы – это уравнение прямой и система не имеет решения, то это значит, что прямые и параллельны и не имеют общих точек.
Описание слайда:
Так как каждое уравнение системы – это уравнение прямой и система не имеет решения, то это значит, что прямые и параллельны и не имеют общих точек.

Слайд 45


Тема: АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Описание слайда:
Тема: АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Слайд 46


Линия на плоскости часто задается как множество точек, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свойством. Линия на плоскости часто задается как множество точек, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свойством. Замечание: геометрическим образом заданного уравнения не всегда является линия.
Описание слайда:
Линия на плоскости часто задается как множество точек, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свойством. Линия на плоскости часто задается как множество точек, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свойством. Замечание: геометрическим образом заданного уравнения не всегда является линия.

Слайд 47


ОПР. Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии. ОПР. Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии. ОПР. Переменные x и y в уравнении линии называются текущими координатами точек линии.
Описание слайда:
ОПР. Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии. ОПР. Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии. ОПР. Переменные x и y в уравнении линии называются текущими координатами точек линии.

Слайд 48


§1. Уравнения прямой на плоскости Простейшей из линий является прямая. Каждая прямая на плоскости OXY определяется уравнением первой степени с двумя неизвестными. Обратно: каждое линейное уравнение первого порядка с двумя неизвестными определяет некоторую прямую на плоскости.
Описание слайда:
§1. Уравнения прямой на плоскости Простейшей из линий является прямая. Каждая прямая на плоскости OXY определяется уравнением первой степени с двумя неизвестными. Обратно: каждое линейное уравнение первого порядка с двумя неизвестными определяет некоторую прямую на плоскости.

Слайд 49


1.1. Различные виды уравнений прямой Уравнение называется общим уравнением прямой. Каждая прямая на плоскости определяется линейным уравнением первой степени с двумя неизвестными вида и каждое линейное уравнение определяет некоторую прямую.
Описание слайда:
1.1. Различные виды уравнений прямой Уравнение называется общим уравнением прямой. Каждая прямая на плоскости определяется линейным уравнением первой степени с двумя неизвестными вида и каждое линейное уравнение определяет некоторую прямую.

Слайд 50


Уравнение прямой в отрезках Пусть дана прямая . Если , то, разделив на : Обозначив , , Получим уравнение прямой в отрезках; a и b – отрезки, которые она отсекает на осях координат.
Описание слайда:
Уравнение прямой в отрезках Пусть дана прямая . Если , то, разделив на : Обозначив , , Получим уравнение прямой в отрезках; a и b – отрезки, которые она отсекает на осях координат.

Слайд 51


Пример Записать уравнение прямой в отрезках. Построить прямую. Решение.
Описание слайда:
Пример Записать уравнение прямой в отрезках. Построить прямую. Решение.

Слайд 52


Уравнение прямой с угловым коэффициентом k Дана прямая , которая пересекает оси координат и не параллельна ни одной из них. Пусть угол наклона к положительному направлению оси Ox равен . Точка пересечения с Oy – .
Описание слайда:
Уравнение прямой с угловым коэффициентом k Дана прямая , которая пересекает оси координат и не параллельна ни одной из них. Пусть угол наклона к положительному направлению оси Ox равен . Точка пересечения с Oy – .

Слайд 53


Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, слайд №53
Описание слайда:

Слайд 54


Пусть – произвольная точка прямой. Пусть – произвольная точка прямой. – уравнение прямой с угловым коэффициентом , где Частные случаи: 1). – уравнение прямой, параллельной оси Ох и отстоящей от нее на ;  2). – прямая проходит через начало координат; 3). – уравнение оси Ox; 4). – уравнение оси Oy;
Описание слайда:
Пусть – произвольная точка прямой. Пусть – произвольная точка прямой. – уравнение прямой с угловым коэффициентом , где Частные случаи: 1). – уравнение прямой, параллельной оси Ох и отстоящей от нее на ;  2). – прямая проходит через начало координат; 3). – уравнение оси Ox; 4). – уравнение оси Oy;

Слайд 55


Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении k Пусть дана точка и задан угловой коэффициент k. Тогда уравнение прямой имеет вид:
Описание слайда:
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении k Пусть дана точка и задан угловой коэффициент k. Тогда уравнение прямой имеет вид:

Слайд 56


Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и
Описание слайда:
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и

Слайд 57


Угол между прямыми Рассмотрим на плоскости две прямые: и Пусть прямые пересекаются в точке M.
Описание слайда:
Угол между прямыми Рассмотрим на плоскости две прямые: и Пусть прямые пересекаются в точке M.

Слайд 58


Углом между прямыми и будем называть наименьший угол, на который надо повернуть вокруг точки M против часовой стрелки до совпадения ее со второй прямой . Углом между прямыми и будем называть наименьший угол, на который надо повернуть вокруг точки M против часовой стрелки до совпадения ее со второй прямой .
Описание слайда:
Углом между прямыми и будем называть наименьший угол, на который надо повернуть вокруг точки M против часовой стрелки до совпадения ее со второй прямой . Углом между прямыми и будем называть наименьший угол, на который надо повернуть вокруг точки M против часовой стрелки до совпадения ее со второй прямой .

Слайд 59


Угол между прямыми: Угол между прямыми: Взаимное расположение двух прямых: Прямые совпадают: 2. Прямые параллельны: 3. Перпендикулярны:
Описание слайда:
Угол между прямыми: Угол между прямыми: Взаимное расположение двух прямых: Прямые совпадают: 2. Прямые параллельны: 3. Перпендикулярны:

Слайд 60


Расстояние от точки до прямой Расстояние d от точки до прямой
Описание слайда:
Расстояние от точки до прямой Расстояние d от точки до прямой

Слайд 61


Тема: Элементы векторной алгебры
Описание слайда:
Тема: Элементы векторной алгебры

Слайд 62


§1. Векторы 1.1. Основные понятия Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Примерами скалярных величин являются: площадь, длина, объем, температура, работа, масса. Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины называют векторными. Векторная величина геометрически изображается с помощью вектора.
Описание слайда:
§1. Векторы 1.1. Основные понятия Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Примерами скалярных величин являются: площадь, длина, объем, температура, работа, масса. Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины называют векторными. Векторная величина геометрически изображается с помощью вектора.

Слайд 63


ОПР. Вектором называется направленный отрезок. На чертеже вектор изображается отрезком, на котором стрелкой помечено направление
Описание слайда:
ОПР. Вектором называется направленный отрезок. На чертеже вектор изображается отрезком, на котором стрелкой помечено направление

Слайд 64


Если один конец отрезка AB - точка  A - начало вектора, а точка  B - конец вектора, то вектор обозначается символом Если один конец отрезка AB - точка  A - начало вектора, а точка  B - конец вектора, то вектор обозначается символом
Описание слайда:
Если один конец отрезка AB - точка  A - начало вектора, а точка  B - конец вектора, то вектор обозначается символом Если один конец отрезка AB - точка  A - начало вектора, а точка  B - конец вектора, то вектор обозначается символом

Слайд 65


Расстояние между началом и концом вектора называется его модулем (или длиной). Модуль обозначается Расстояние между началом и концом вектора называется его модулем (или длиной). Модуль обозначается Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором, обозначается . Модуль нулевого вектора равен 0, а направление не определено. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным (или ортом), обозначается
Описание слайда:
Расстояние между началом и концом вектора называется его модулем (или длиной). Модуль обозначается Расстояние между началом и концом вектора называется его модулем (или длиной). Модуль обозначается Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором, обозначается . Модуль нулевого вектора равен 0, а направление не определено. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным (или ортом), обозначается

Слайд 66


Векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной прямой), называются коллинеарными Векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной прямой), называются коллинеарными Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Описание слайда:
Векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной прямой), называются коллинеарными Векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной прямой), называются коллинеарными Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Слайд 67


Два коллинеарных вектора называются противоположными, если они имеют равные модули и противоположное направление. Вектор, противоположный вектору , обозначается Два коллинеарных вектора называются противоположными, если они имеют равные модули и противоположное направление. Вектор, противоположный вектору , обозначается
Описание слайда:
Два коллинеарных вектора называются противоположными, если они имеют равные модули и противоположное направление. Вектор, противоположный вектору , обозначается Два коллинеарных вектора называются противоположными, если они имеют равные модули и противоположное направление. Вектор, противоположный вектору , обозначается

Слайд 68


1.2. Линейные операции над векторами Линейными операциями над векторами называют их сложение, вычитание, умножение вектора на число. Суммой двух векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец ― с концом вектора , при условии, что начало вектора совмещено с концом вектора . Записывают
Описание слайда:
1.2. Линейные операции над векторами Линейными операциями над векторами называют их сложение, вычитание, умножение вектора на число. Суммой двух векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец ― с концом вектора , при условии, что начало вектора совмещено с концом вектора . Записывают

Слайд 69


Дано: Дано:
Описание слайда:
Дано: Дано:

Слайд 70


Умножение вектора на число Произведением вектора на число называется вектор , который удовлетворяет условиям: 1)  и ― одинаково направлены при и ― противоположно направлены при
Описание слайда:
Умножение вектора на число Произведением вектора на число называется вектор , который удовлетворяет условиям: 1)  и ― одинаково направлены при и ― противоположно направлены при

Слайд 71


Дано: - некоторое число; Дано: - некоторое число;
Описание слайда:
Дано: - некоторое число; Дано: - некоторое число;

Слайд 72


1.3. Проекция вектора на ось Пусть в пространстве задана ось т. е. направленная прямая.
Описание слайда:
1.3. Проекция вектора на ось Пусть в пространстве задана ось т. е. направленная прямая.

Слайд 73


Если точка M лежит на оси, то ее проекция на ось совпадает с самой точкой. Если точка M лежит на оси, то ее проекция на ось совпадает с самой точкой. Пусть — произвольный вектор. Обозначим через и проекции на ось соответственно начала и конца вектора и рассмотрим вектор ОПР. Проекцией вектора на ось называется положительное число , если вектор и ось одинаково направлены и отрицательное число если вектор и ось противоположно направлены.
Описание слайда:
Если точка M лежит на оси, то ее проекция на ось совпадает с самой точкой. Если точка M лежит на оси, то ее проекция на ось совпадает с самой точкой. Пусть — произвольный вектор. Обозначим через и проекции на ось соответственно начала и конца вектора и рассмотрим вектор ОПР. Проекцией вектора на ось называется положительное число , если вектор и ось одинаково направлены и отрицательное число если вектор и ось противоположно направлены.

Слайд 74


Если точки и совпадают, то проекция вектора равна 0. Если точки и совпадают, то проекция вектора равна 0. Проекция вектора на ось обозначается: пр Угол между вектором и осью (или угол между двумя векторами) изображен на рисунке
Описание слайда:
Если точки и совпадают, то проекция вектора равна 0. Если точки и совпадают, то проекция вектора равна 0. Проекция вектора на ось обозначается: пр Угол между вектором и осью (или угол между двумя векторами) изображен на рисунке

Слайд 75


1.4. Линейная зависимость векторов При решении различных задач, как правило, приходится иметь дело не с одним вектором, а с некоторой совокупностью векторов одной размерности. Такую совокупность векторов называют системой векторов и обозначают:
Описание слайда:
1.4. Линейная зависимость векторов При решении различных задач, как правило, приходится иметь дело не с одним вектором, а с некоторой совокупностью векторов одной размерности. Такую совокупность векторов называют системой векторов и обозначают:

Слайд 76


ОПР. Линейной комбинацией векторов (1) называется вектор вида ОПР. Линейной комбинацией векторов (1) называется вектор вида   где – любые действи-тельные числа. В этом случае говорят также, что вектор линейно выражается через векторы
Описание слайда:
ОПР. Линейной комбинацией векторов (1) называется вектор вида ОПР. Линейной комбинацией векторов (1) называется вектор вида   где – любые действи-тельные числа. В этом случае говорят также, что вектор линейно выражается через векторы

Слайд 77


ОПР. Система ненулевых векторов (1) называется линейно зависимой, если существую такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация данной системы с указанными числами равна нулевому вектору: ОПР. Система ненулевых векторов (1) называется линейно зависимой, если существую такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация данной системы с указанными числами равна нулевому вектору: Если же равенство (2) для данной системы векторов выполняется лишь при то такая система векторов называется линейно независимой.
Описание слайда:
ОПР. Система ненулевых векторов (1) называется линейно зависимой, если существую такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация данной системы с указанными числами равна нулевому вектору: ОПР. Система ненулевых векторов (1) называется линейно зависимой, если существую такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация данной системы с указанными числами равна нулевому вектору: Если же равенство (2) для данной системы векторов выполняется лишь при то такая система векторов называется линейно независимой.

Слайд 78


ОПР. Размерностью системы векторов называется максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. ОПР. Размерностью системы векторов называется максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Если таких векторов n, то система называется n-мерной. ОПР. Совокупность n линейно независимых векторов n -мерной системы векторов (1) называется ее базисом.
Описание слайда:
ОПР. Размерностью системы векторов называется максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. ОПР. Размерностью системы векторов называется максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Если таких векторов n, то система называется n-мерной. ОПР. Совокупность n линейно независимых векторов n -мерной системы векторов (1) называется ее базисом.

Слайд 79


Теорема Каждый вектор n-мерной системы векторов можно представить и притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса Теорема Каждый вектор n-мерной системы векторов можно представить и притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса   Равенство (3) называется разложением вектора по базису а числа – координатами вектора относительно этого базиса.
Описание слайда:
Теорема Каждый вектор n-мерной системы векторов можно представить и притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса Теорема Каждый вектор n-мерной системы векторов можно представить и притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса   Равенство (3) называется разложением вектора по базису а числа – координатами вектора относительно этого базиса.

Слайд 80


В силу единственности разложения (3) каждый вектор однозначно может быть определен координатами в некотором базисе. В силу единственности разложения (3) каждый вектор однозначно может быть определен координатами в некотором базисе. На плоскости любые два неколлинеарных вектора образуют базис. В пространстве любые три некомпланарных вектора образуют базис.
Описание слайда:
В силу единственности разложения (3) каждый вектор однозначно может быть определен координатами в некотором базисе. В силу единственности разложения (3) каждый вектор однозначно может быть определен координатами в некотором базисе. На плоскости любые два неколлинеарных вектора образуют базис. В пространстве любые три некомпланарных вектора образуют базис.

Слайд 81


1.5. Координаты вектора Координатами вектора в прямоугольной системе координат OXY называются проекции x, y, вектора на оси координат. Обозначают
Описание слайда:
1.5. Координаты вектора Координатами вектора в прямоугольной системе координат OXY называются проекции x, y, вектора на оси координат. Обозначают

Слайд 82


Множество всех n-мерных векторов с действительными координатами обозначается Таким образом, вектор
Описание слайда:
Множество всех n-мерных векторов с действительными координатами обозначается Таким образом, вектор

Слайд 83


Если , – единичные векторы (орты) координатных осей, то вектор можно представить в виде Если , – единичные векторы (орты) координатных осей, то вектор можно представить в виде Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов , , образуемых им с осями координат OX и OY соответственно.
Описание слайда:
Если , – единичные векторы (орты) координатных осей, то вектор можно представить в виде Если , – единичные векторы (орты) координатных осей, то вектор можно представить в виде Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов , , образуемых им с осями координат OX и OY соответственно.

Слайд 84


Если вектор имеет начало в точке Если вектор имеет начало в точке и конец в точке , то координаты вектора равны разности соответствую-щих координат конечной и начальной его точек: Модуль вектора
Описание слайда:
Если вектор имеет начало в точке Если вектор имеет начало в точке и конец в точке , то координаты вектора равны разности соответствую-щих координат конечной и начальной его точек: Модуль вектора

Слайд 85


Пример Даны точки и Найти: а) координаты б) модуль Решение. а) Координаты б) Модуль найдем, используя формулу
Описание слайда:
Пример Даны точки и Найти: а) координаты б) модуль Решение. а) Координаты б) Модуль найдем, используя формулу

Слайд 86


1.6. Действия над векторами, заданными координатами Пусть тогда
Описание слайда:
1.6. Действия над векторами, заданными координатами Пусть тогда

Слайд 87


Условие параллельности векторов и Условие параллельности векторов и Условие перпендикулярности векторов и
Описание слайда:
Условие параллельности векторов и Условие параллельности векторов и Условие перпендикулярности векторов и

Слайд 88


1.7. Скалярное произведение векторов ОПР. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произве-дению их модулей на косинус угла между ними: Если известны координаты векторов и то скалярное произведение можно вычислить по формуле
Описание слайда:
1.7. Скалярное произведение векторов ОПР. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произве-дению их модулей на косинус угла между ними: Если известны координаты векторов и то скалярное произведение можно вычислить по формуле

Слайд 89


Свойства скалярного произведения: 1). 2). 3). 4).
Описание слайда:
Свойства скалярного произведения: 1). 2). 3). 4).

Слайд 90


Угол между векторами: Условие перпендикулярности векторов: если и ― ненулевые векторы.
Описание слайда:
Угол между векторами: Условие перпендикулярности векторов: если и ― ненулевые векторы.

Слайд 91


Пример Найти скалярное произведение векторов И , если угол между ними равен 60°, Решение. Так как то
Описание слайда:
Пример Найти скалярное произведение векторов И , если угол между ними равен 60°, Решение. Так как то

Слайд 92


Рассмотрим пространство Рассмотрим пространство Вектор Тогда
Описание слайда:
Рассмотрим пространство Рассмотрим пространство Вектор Тогда

Слайд 93


Компланарность векторов Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда
Описание слайда:
Компланарность векторов Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда

Скачать

Похожие презентации
Mypresentation.ru
Загрузить презентацию