🗊Презентация Задача с параметром на ОГЭ

Задача с параметром на огэ

Выполнение задания 23 (ОГЭ по математике) Задача 23 – это задача с параметром, задача высокого уровня сложности. В последнее время ее называют «задачей на построение графика».

Чтобы выполнить это задание необходимо уметь: Чтобы выполнить это задание необходимо уметь: Выполнять преобразования алгебраических выражений (приводить подобные слагаемые, раскладывать выражения на множители, сокращать дроби; находить область допустимых значений переменной) Решать уравнения, неравенства и системы (линейные и второй степени) Строить и читать графики функций (линейной, квадратичной, обратно-пропорциональной, модуля, кусочной функции), уметь преобразовывать графики функции в графики и , модуль в кусочную функцию. Строить и исследовать простейшие математические модели (исследовать уравнение на предмет числа корней, исследовать поведение линейной функции в зависимости от значений коэффициентов, выстраивать алгоритм, позволяющий решить задачу с параметром)

Основным условием получения положительной оценки является верное построение графика. Основным условием получения положительной оценки является верное построение графика. Верное построение графика включает в себя следующее: Правильно подобранный и отображенный на рисунке масштаб Содержательную таблицу значений или объяснение построения графика Выколотую точку (точки), обозначенную в соответствии с ее координатами

Можно условно разбить все задачи 23 на два типа: Задачи, в которых требуется построить график и затем найти значения параметра Задачи, в которых требуется найти значения параметра и затем построить график.

Сегодня мы рассмотрим задачи 23, относящиеся к первому типу (задачи на построение графика). Задачи на построение графика, в свою очередь, также можно разбить на несколько групп: Построение графика дробно-рациональной функции Построение графика кусочно-гладкой функции Построение графика функции, содержащей модуль

Рассмотрим задачи первой группы. Рассмотрим задачи первой группы. К ней относятся те задачи, в которых нужно сократить дробь и построить график функции, учитывая, что область определения начальной и упрощенной функции, как правило, различаются. Задания этой группы решаются по следующему алгоритму: Разложить на множители числитель и знаменатель дроби, входящей в уравнение функции Выписать область определения функции (ОДЗ) Сократить дробь Построить график получившегося уравнения и учесть ОДЗ (то есть отметить «выколотые» точки) Пользуясь графиком, найти те значения параметра, которые спрашиваются в условии

Задача № 1

Решение: Сначала построим график данной функции. Область определения функции множество всех чисел , кроме 0. Чтобы построить график функции , необходимо преобразовать дробь . Разложим числитель на множители. После вынесения за скобки общего множителя , получим : . Сократим дробь на , получим : .

Графиком функции является парабола : Графиком функции является парабола :

График исходной функции получается из параболы удалением точки с абсциссой 0; . График исходной функции получается из параболы удалением точки с абсциссой 0; . Таким образом, графиком функции является та же парабола, но с «выколотой» точкой (0; -1) :

Прямая параллельна оси абсцисс. Прямая параллельна оси абсцисс. Она имеет с графиком или две общие точки ( при ) , или не имеет с графиком точек пересечения ( при ):

Задача № 2.

Решение: Сначала построим график данной функции. Найдём ОДЗ: Область определения функции множество всех чисел , кроме . Чтобы построить график функции , необходимо преобразовать выражение . Разложим числитель и знаменатель дроби на множители. После вынесения за скобки общего множителя в числителе и в знаменателе , получим : . Сократим дробь на , получим : .

Графиком функции является парабола : Графиком функции является парабола :

График исходной функции получается График исходной функции получается из параболы удалением точек с абсциссой 0 и -3; Таким образом, графиком функции является та же парабола, но с «выколотыми» точками (0; 2) и (-3; -7) :

Прямая параллельна оси абсцисс. Прямая параллельна оси абсцисс. Она имеет с графиком одну (при ) , две общие точки (при ) , или не имеет с графиком точек пересечения ( при ):

Задача № 3 Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая имеет с этим графиком ровно одну общую точку.

Решение: Сначала построим график данной функции. Область определения функции множество всех чисел , кроме . Чтобы построить график функции , необходимо преобразовать выражение . Разложим в числителе дроби на множители вторую скобку. Для этого найдём корни квадратного трёхчлена ; Исходная дробь примет вид: Сократим дробь на , получим : . Раскрыв скобки, имеем: .

Графиком функции является парабола : Графиком функции является парабола :

График исходной функции получается График исходной функции получается из параболы удалением точки с абсциссой -2 ; . Таким образом, графиком функции является та же парабола, но с «выколотой» точкой (-2;-3) :

Прямая параллельна оси абсцисс. Прямая параллельна оси абсцисс. Она имеет с графиком одну (при ) , две общие точки (при ) , или не имеет с графиком точек пересечения ( при ):

Задача № 4 Найдите все значения , при каждом из которых прямая имеет с графиком функции ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.

Решение: Сначала построим график данной функции. Графиком функции является парабола, которая получена из параболы в результате сдвига вдоль оси OY на 1 единичный отрезок вверх:

Прямая проходит через начало координат и имеет с графиком функции ровно одну общую точку , если она касается этой параболы. Условие касания реализуется, когда уравнение имеет один корень. Уравнение квадратное, оно имеет один корень, если дискриминант квадратного уравнения равен нулю. Получаем: . Прямая проходит через начало координат и имеет с графиком функции ровно одну общую точку , если она касается этой параболы. Условие касания реализуется, когда уравнение имеет один корень. Уравнение квадратное, оно имеет один корень, если дискриминант квадратного уравнения равен нулю. Получаем: . Таким образом, прямая , проходящая через начало координат, имеет с графиком функции ровно одну общую точку при , т.е. таких прямых две: и . Чтобы найти координаты точек касания каждой прямой с параболой, подставим значения параметра в уравнение . Решим два квадратных уравнения : 1 1 (1;2) (-1;2)

Задача № 5 Постройте график функции и определите, при каких значениях параметра прямая имеет с этим графиком ровно одну общую точку.

Сначала построим график данной функции. Сначала построим график данной функции. Область определения функции множество всех чисел , кроме . Чтобы построить график функции , необходимо преобразовать выражение . Сократим дробь на , получим : ) Раскрыв скобки, имеем: . Графиком функции является парабола, которая получена из параболы в результате сдвига вдоль оси OY на 6,25 единичных отрезков вниз:

График исходной функции получается График исходной функции получается из параболы удалением точки с абсциссой -1 ; . Таким образом, графиком функции является та же парабола, но с «выколотой» точкой (-1;-7,25) . Ветви параболы направлены вниз, вершиной является точка (0; -6,25) :

Прямая может эту параболу не пересекать Прямая может эту параболу не пересекать

может иметь две общих точки (две точки пересечения) может иметь две общих точки (две точки пересечения)

Чтобы прямая имела с этим графиком ровно одну общую точку, нужно чтобы Чтобы прямая имела с этим графиком ровно одну общую точку, нужно чтобы 1) или прямая касалась параболы ( и абсцисса точки касания не равна -1), 2)или прямая пересекает параболу в двух точках так, чтобы у одной из них абсцисса была равна -1. 1) Условие касания реализуется, когда уравнение имеет один корень. Уравнение квадратное, оно имеет один корень, если дискриминант этого квадратного уравнения равен нулю. Получаем: . Таким образом, прямая , проходящая через начало координат, имеет с графиком функции ровно одну общую точку при , т.е. таких прямых две: и . Чтобы найти координаты точек касания каждой прямой с параболой, подставим значения параметра в уравнение . Решим два квадратных уравнения : (-2,5;-12,5) (2,5;-12,5) Для рассмотрения второго случая подставим в уравнение и определим значение параметра : .