🗊Презентация Задачи математического и линейного программирования

Задачи математического и линейного программирования Общая задача математического программирования формулируется следующим образом: найти экстремум целевой функции (1) при системе ограничений на переменные (2)

Итак, математическое программирование – это раздел математики, посвящённый решению задач, связанных с нахождением экстремумов функций нескольких переменных при наличии ограничений на переменные. Итак, математическое программирование – это раздел математики, посвящённый решению задач, связанных с нахождением экстремумов функций нескольких переменных при наличии ограничений на переменные.

Если целевая функция Если целевая функция (1) и система ограничений (2) линейны, то задача математического программирования называется задачей линейного программирования (ЛП).

В общем случае задача ЛП может быть записана в виде: В общем случае задача ЛП может быть записана в виде: (3) , , , (4) т.е. требуется найти экстремум целевой функции (3) и соответствующие ему значения переменных при условии, что переменные удовлетворяют системе ограничений (4) и условию неотрицательности .

Задача использования ресурсов Для изготовления нескольких видов продукции , …, используют видов ресурсов , ,…, (например, различные материалы, электроэнергию и т.д.). Объём каждого вида ресурсов ограничен и известен: Известно также количество каждого вида ресурса, расходуемого на производство единицы j-го вида продукции. Кроме того, известна прибыль, получаемая от реализации единицы каждого вида продукции . Условие задачи можно представить в виде табл. 1

Табл. 1 Табл. 1

Пусть количество каждого вида продукции, которое необходимо произвести. Для первого ресурса имеет место неравенство-ограничение Аналогичные неравенства будут и для остальных видов ресурсов. Следует учитывать, что все значения , Общая прибыль, получаемая от реализации всей продукции может быть представлена как функция для которой нужно найти максимальное значение. Таким образом, математическая модель задачи использования ресурсов запишется в виде: , (5)

Каноническая форма задачи линейного программирования В случае, когда все ограничения являются уравнениями и все переменные удовлетворяют условию неотрицательности, задачу линейного программирования называют канонической. Она может быть представлена в координатной, векторной или матричной форме записи.

а) каноническая задача ЛП в координатной форме имеет вид: а) каноническая задача ЛП в координатной форме имеет вид: (6) Данную задачу можно записать, используя знак суммирования:

б) каноническая задача ЛП в векторной форме имеет вид: б) каноническая задача ЛП в векторной форме имеет вид: (7) где

в) каноническая задача ЛП в матричной форме имеет вид: в) каноническая задача ЛП в матричной форме имеет вид: где

Приведение общей задачи линейного программирования к канонической форме При составлении математических моделей экономических задач ограничения в основном формируются в системы неравенств. Поэтому необходимо уметь переходить от них к системам уравнений. Например, рассмотрим линейное неравенство (8) и прибавим к его левой части некоторую величину такую, чтобы неравенство превратилось в равенство (9) , где Неотрицательная переменная называется дополнительной переменной. Следующая теорема даёт основание для возможности такого преобразования.

Теорема 1. Теорема 1. Каждому решению неравенства (8) соответствует единственное решение уравнения (9) и неравенства , и, наоборот, каждому решению уравнения (9) с соответствует решение неравенства (8). Доказательство. Пусть решение неравенства (8). Тогда . Возьмём число Ясно, что Подставив в уравнение (9), получим Первая часть теоремы доказана.

Пусть теперь вектор удовлетворяет уравнению (9) с , т.е. Пусть теперь вектор удовлетворяет уравнению (9) с , т.е. Отбрасывая в левой части последнего равенства неотрицательную величину , получаем , и т.д. Таким образом, доказанная теорема фактически устанавливает возможность приведения всякой задачи ЛП к каноническому виду. Для этого достаточно в каждое ограничение, имеющее вид неравенства, ввести свою дополнительную неотрицательную переменную.

Замечание. В дальнейшем мы будем излагать симплекс-метод для канонической задачи ЛП при исследовании целевой функции на минимум. В тех задачах, где требуется найти максимум , достаточно рассмотреть функцию , найти её минимальное значение, а затем, меняя знак на противоположный, определить искомое максимальное значение .