🗊Презентация Задачи по планиметрии на ЕГЭ

Дополнительный теоретический материал В треугольнике со сторонами a, b, c расстояние от вершины А до точек касания вписанной окружности сторон, содержащих эту вершину, равно Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали – полусумме оснований (средней линии).

Если окружность касается стороны ВС треугольника АВС и продолжений сторон АВ и АС, то расстояние от А до точки касания окружности с прямой АВ равно полупериметру треугольника АВС Если окружность касается стороны ВС треугольника АВС и продолжений сторон АВ и АС, то расстояние от А до точки касания окружности с прямой АВ равно полупериметру треугольника АВС Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. Трапеция вписана в некоторую окружность тогда и только тогда, когда она является равнобедренной.

Центр окружности, описанной около трапеции, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам трапеции. Центр окружности, описанной около трапеции, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам трапеции. При любом способе касания точка касания и центры окружностей лежат на одной прямой. При внешнем касании центры окружностей расположены на линии центров по разные стороны от точки касания, при внутреннем – по одну сторону. Расстояние между центрами касающихся окружностей радиусов R и r (R≥r) равно R+r при внешем касании и R-r при внутреннем.

Пересекающиеся в точка А и В окружности имеют общую хорду АВ. Пересекающиеся в точка А и В окружности имеют общую хорду АВ. Общая хорда перпендикулярна линии центров и делится ею пополам. Медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника

Диагональ параллелограмма разбивает его на два равновеликих треугольника. Диагональ параллелограмма разбивает его на два равновеликих треугольника. Трапеция разбивается диагоналями на два равновеликих треугольника (примыкающих к боковым сторонам) и два подобных треугольника (примыкающих к основаниям). Если у двух треугольников равны высоты, то их площади относятся как основания.

Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие, отсекает от него треугольник, подобный данному. Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие, отсекает от него треугольник, подобный данному. Если р - полупериметр треугольника, ra - радиус вневписанной окружности, касающейся стороны равной a, то S = (p-a)ra Расстояние между центрами вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей находится по формуле

Опорные задачи Отрезок общей внешней касательной к двум окружностям радиусов R и r равен Пусть в треугольнике АВС проведены высоты АК, и СМ, тогда треугольник ВКМ подобен данному с коэффициентом подобия, равным |cos B| Пусть О – центр окружности, вписанной в треугольник АВС, тогда

• В треугольнике ABC АВ =12, ВС = 5, СА = 10. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD : DC = 4:9. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках Е и F. Найдите длину отрезка EF. • В треугольнике ABC АВ =12, ВС = 5, СА = 10. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD : DC = 4:9. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках Е и F. Найдите длину отрезка EF. • В треугольнике со сторонами а, Ь, с расстояние от вершины А до точек касания вписанной окружности сторон, содержащих эту вершину, равно Решение Пусть AD = d, BD = x, DC = у. Тогда для окружности вписанной в треугольник ADC имеем

А для окружности вписанной в треугольник ADB Поскольку в условии сказано, что точка D лежит на прямой ВС, то существует два ее положения, при которых будет выполняться условие BD: DC = 4:9. Соответственно, существует два рисунка, удовлетворяющих условию задачи.

Вариант пробного платного ЕГЭ На стороне CD квадрата ABCD построен равнобедренный прямоугольный треугольник CPD с гипотенузой CD. Найдите высоту треугольника АВР, проведенную из А, если сторона квадрата равна 4. Дано: AB=4, CP=PD, AK-высота. Найти: АК

Решение Первый случай, когда точка Р лежит вне квадрата АВСD: 1. CD = 4, значит CP=PD= 2. Рассмотрим треугольник ВСР, в нем ВС=4, СР= По теореме косинусов находим АР= 3. Проведем высоту РН в равнобедренном треугольнике АВР, так как РН = 6, то из формулы площади треугольника найдем АК АК=

Второй случай когда точка Р лежит внутри квадрата: Точка Р совпадет с точкой пересечения диагоналей, поэтому высотой треугольника АВР будет катет АР= Ответ :

Диагностическая работа от 20.10.10 Окружность S радиуса 12 вписана в прямоугольную трапецию с основаниями 28 и 21. Найдите радиус окружности, которая касается основания, большей боковой стороны и окружности S.

Решение Первый случай, когда окружность касается нижнего основания: По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки получаем, что СN=9, ND=16, KD=16. Треугольник OKD – прямоугольный, поэтому OD=20. Треугольники OKD и HMD подобны по двум углам, поэтому составим отношение Пусть MH = у, тогда DH = 8-у, находим у=3

Второй случай, когда окружность касается верхнего основания. Второй случай, когда окружность касается верхнего основания. По теореме Пифагора найдем ОС = 15. Также используя отношение сторон подобных треугольников получаем пропорцию То есть у = Ответ: 3 и

Диагностическая работа от 9.12.10 Расстояние между параллельными прямыми равно 12. на одной из них лежит точка С , а на другой – точки А и В, причем треугольник АВС – остроугольный равнобедренный и его боковая сторона равна 13. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

Решение Первый случай, когда С – вершина равнобедренного треугольника. По условию СН = 12, АС = 13, треугольник АВС- равнобедренный, поэтому АН = 5, значит, АВ=10. Из формул площади треугольника выразим радиус То есть

Второй случай, когда АС= АВ=13, СН=12 Второй случай, когда АС= АВ=13, СН=12 1. По теореме Пифагора АН=5, значит НВ=8, 2. Подставив в формулу получаем Ответ:

Ященко и Со (30 вариантов-2011) В параллелограмме АВСD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками М и N так, что BM:MN=1:3. Найти ВС, если АВ=6.

Решение Первый случай, когда точки M и N лежат на отрезке ВС, считая от вершины В соответственно По свойству биссектрисы параллелограмма получаем АВ=ВМ=NC=CD=6. Так как BM:MN=1:3, то MN=18, значит ВС=30. Второй случай, когда биссектрисы пересекаются в параллелограмме Тогда BN=CM=6, пусть ВМ=х, MN=3x х+3х=6, то есть х=1,5, значит ВС=7,5. Ответ: 30 и 7,5.

Ященко и Со (30 вариантов - 2011) Основание равнобедренного треугольника равно 40, косинус угла при вершине 15/17. Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие – на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если одна из его сторон вдвое больше другой.

Решение Первый случай, когда большая сторона прямоугольника лежит на основании. По теореме косинусов находим АВ = . По теореме Пифагора находим BD = 80. Пусть KN=2x, KD=x, LK=x. Рассмотрим треугольники ABD и LBP , они подобны по двум углам, поэтому находим х=16, значит, S=512.

Во втором случае на основании треугольника лежит меньшая сторона прямоугольника, тогда Во втором случае на основании треугольника лежит меньшая сторона прямоугольника, тогда Пусть KN=x, KD=0,5x, LK=2x. Подставив в пропорцию получим Получаем х=20, значит S=800. Ответ: 512 и 800.

Ященко и Со (30 вариантов – 2011) Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 18, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 5. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжения других его сторон.

Решение Пусть ВС = a, АС = b, - радиус вневписанной окружности, касающейся стороны AC , - радиус вневписанной окружности, касающейся стороны ВС. Треугольники ВОК и ВСD подобны, значит, Подставим известные величины и выразим а через b Применив теорему Пифагора получаем АС=15, АВ=19,5

5. Применив свойство отрезка касательной к вневписанной окружности, получаем 5. Применив свойство отрезка касательной к вневписанной окружности, получаем ВМ = 0,5 (19,5∙2+15)=27 6. Из формулы площади треугольника находим радиусы вневписанных окружностей Ответ: 18 и 11,25

Задача 2 Дан круговой сектор АОВ радиуса R с центральным углом в 90 ○ . На радиусах АО и ОВ этого сектора как на диаметрах построены полуокружности, расположенные внутри данного сектора. Полуокружность с центром О1 на радиусе ОВ сектора АОВ, радиуса О1В касается полуокружности, построенной на радиусе АО, и дуги АВ в точке В. Определить радиус окружности, касающейся этих трех полуокружностей.

Решение.