🗊Презентация Загадочное число π

Загадочное число

Задачи Узнать… 1. Чему равно это число. 2. Как его раньше вычисляли. 3. Где оно используется. 4 .В чём его особенность. 5.Как его вычислить по круговой диаграмме. 6. Как это повлияло на нашу жизнь.

Чему равно число ? Многие думают, что число равно 3.14, но это не так! Это число равняется тысячам, нет - миллионам цифр! На самом деле оно равно 3.1415926535897932…Вы его сейчас увидите НЕ полностью на следующих слайдах…

Число равно:…(1 часть) 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102 7019385211055596446229489549303819544288109756659334461 2847564823378678316527120190914554856692346034861045432 6648213393607250249141273724587006606315588174881520920 9628292540917153643678925903500113305305488204665213841 4695194151160943305727036575959195309218611738193251179 3105118548074462379952749557351885752724891227938183011 9491298336733624406566430860213949463952247371907021798 6094370277053921717629317675238467481845766940513200056 8127145263560827785771342757789609173637178721468440901

Число равно:…(2 часть) 2249534301465495853710507922796892589235420199581121290 2196086403441815981362977477130995051870721134999999837 2978049951059731732816096318595024459455346908302642522 3082533446850352519311881710100031378387528865875332083 8142061717766914730359825349042875546873115956286388235 3787593751957781857780532171226806613001927876611195909 2164201989380952572010654858632788659361533818279682303 0195203530185296899577362259941389124972177528347913151 5574857242454150695950829533116861727855889075098381754 6374649393192550604009277016711390098488240128583616035 6370756010471018194295559619894676783744944825537977472 6847104047534646208046684259069491293313677028989152104 7521620569550240580381501935112533824300355875402474964 7326391419927260426992279678235478163600934172164121992 4585315030286182974555706749838505494588586926995590927

Число равно:…(3 часть) 2107975093029553211653449872027559602364806654991198818 3479775356636980742654252786255181841757467289097777279 3800081647060016145249192173217214772350141441973568548 1613611573525521334757418494684385233239073941433345477 6241686251898356948556209921922218427255025425888767179 0494601653466804988627232791786085784383827957976681454 1009538837853609506800542251252051173929848960841284886 2694560424196528502221066118630674427852203919494504712 3713786950956354371917287457764557573952413890865832645 9958133904780275900994557640789512694683983525957098258 2262052248940772571947826848260147699090264013639443745 5305068203496252451749399651431429809190659250937221696 4615157098583874105978859597729754989301517539284681382 6868386894277415599185592524595395943104997252468084598 7273644695848653836736222626099124608051243884390451244

Число равно:…(4 часть) 1365497627807977156914359977001295160894416948585558484 0635342207222582848864815845602850601684273945226746767 8895252138522549954656727823986456596116354886230577456 4980355936345681743241125150760694794510965960940252288 7971089314566913686722874894056010150330861792868092087 4760917824938589009714909675985261365549781893129784821 6829989487226588048575640142704775551323796414515237462 3436454285844479526586782105114135473573952311342716610 2135969535231442952484937187110145765403590279934403742 0073105785390621983874478084784896833214457138687519435 0643021845319104848100537061468067491927819119793995206 1419663428754440643745123718192179998391015919561814675 1426912397489409071864942319515679452080951465502252316 0388193014209376213785595663893778708303906979207734672 2182562599661501421503068038447734549202605414665525201 4974428507325186650021324340881907104863317345496514539 0579526856100550810665879699816357473638405257145910289 7064140110971205280439039759515677157700420337869936007

Число равно:…(5 часть) 2305587631763594218731251471205329281918261861258673215 7919841484882916447060957527069572209175671167229109816 9091528017350671274858322287183520935396572512108357915 1369882091444210057510334671103141267111369908658515398 3150197016515116851714376575183515565088490998985998238 7345528331635507647918535893226185489632132933089857054 2046752590709154814165498594516371802709819943099244889 5757128289059232332609729971208443357325548938239119325 9745366730583604142813883032038249037589852437441702913 2765618093773444030707459211201913020330380197621101100 4492932151608424448596376698389522868478312355265821314 4957685726243344189303968642624341077322697802807318915 4411010446823252716201052652272111660396885573092547110 5578537634668206531098965269186205647693125705863566201 8558100729360659876486117910453348850348113657686753249 4416680396255797877185550845529654126654085305143444318 5867597514566140580070023787765913440171274947042056223 0538994561314071127000407854733259939081454564645880797

Число равно:…(6 часть) 2708266830634328587856983052358089330657574067954571637 7525420211495576158140025012622859413021647155097925923 0990796547376125517656751357517829666454779174501129961 4890304639947132962107340437518957359614589019389713111 7904297828564750320319889151402870808599048010941214722 1317947647772622414254854540332157185306142288137585043 0633217518297986522371721591507715592547487389866549494 5011465405284335539379003975926557214638530673609657120 9180763832716641627488880078692550290228472104031721186 0820419000422966171196377921337575114959501566049631862 9472654736425230817703675159067350235072835405670403867 4351362222477158915049530984448933309634087807693259939 7805419341447377441842631298608099888687413260472156951 6239658645730216315981931951673538129741677294786724229 2465436680098067692823828058996400482435403701416314965 8979409243237896907069779422362508221688957383798623001 5937764715512289357860158815175578297352334450428151262 7203734314653197777416031990665541876397929334419521541

Число равно:…(7 часть) 3418994854447345673831624993419131814809277771038638773 4317720754565453220777092120190516609628049092636019759 8828161332316563652861932568633606273567630354477628035 0450777235547105859548702790814356240145171806246435267 9456127531813407833033625423278394497538243720583531147 7119926063813345776879695970309833913077109870408591337 4641442822772634559470474587847787201927715280731767907 7071572134447305057007334924369311383504931631284042512 1925651798069411352801314701304781643788518529092854520 1165839341965621349143415956258658655705526904965209858 0338507224264829397285847831630577775606888764462482468 5792603953527734803048029005876075825104747091643961362 6760449256274204208320856611906254543372131535958450687 7246029016187667952405163425225771954291629919306455377 9914037340432875262888963995879475729174642535745525407 9091451357111369410911939325191076020825202618798531887 7058429725916778131495990090192115971737278476847268608 4900337702424291651300500516832336435038951702989392233

Число равно:…(8 часть) 4517220138128069550117844087451960121228599371623130171 1444846409038906449544400619869075485160263275052983491 8740786680881833851022833450850486082503930213321971551 8430635455007668282949304137765527939751754613953984683 3936383047461199565385815384205685338621867252334028308 7112328278921250771252946322956398989893582116745527010 2183564622013496715188190973038119800497340723961036854 0664319395097901906995395524530054505806855019567302292 1913933918568034490398205955100226353536192041994745538 5938102343955449597783779023742161727111723643435439478 2218185286240851400666044332588856986705431547069657474 5855033232334210730154594051655379068662733379958511562 5784322988273723198987571415957811196358330059408730681 2160287649528674460477464915995054973742562690104903778 1985835938146574126804925648798556145372347867330390468

Число равно:…(9 часть) 8383436346553794986419270563872931748723320837601123029 9113679386270894387993620162951541337142489283072201269 0147546684765357616477379467520049075715552781965362132 3926405160136358155907422020203187277605277219005561484 2555187925303435139844253223415762336106425063904975008 6562710953591945589751413103482276930624743536325691607 8154781811528436579570511086153315044521274739245449454 2368288605134084148637767009612071512491404302725386076 4823634143346235189757664521641376796903149501910857598 4423919862916421939949072362346468441173940326591840443 7805133389452574239950829659122850855582157250310712570 1266830240292952522011872676756220415420516184163484756 5169998 116141010029960783869092916030288400269104140792 8862150784245167090870006332821206504183718065355672525 3256753285129104248776182582976515795984703562226293486

Как было придумано число ? Число придумал Уильям Джонс, но после него было много открытий об этом числе. Историю разбили на периоды, о которых я сейчас буду рассказывать.

Геометрический период Постоянство отношения длины любой окружности к её диаметру было замечено уже давно. Жители Междуречья применяли довольно грубое приближение числа π. Как следует из древних задач, в своих расчетах они используют значение π ≈3. Более точное значение для π использовали древние египтяне. В Лондоне и Нью-Йорке хранятся две части древнеегипетского папируса, который называют «папирус Ринда». Папирус был составлен писцом Армесом примерно между 2000-1700 гг. до н.э.. Армес в своем папирусе написал, что площадь круга с радиусом r равна площади квадрата со стороной, то есть π=3.16 Древнегреческий математик Архимед (287-212 гг. до н.э.) впервые поставил задачу измерения круга на научную почву. Рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа π в виде дроби  22/7 которое до сих называется архимедовым числом. Метод достаточно простой, но при отсутствии готовых таблиц тригонометрических функций потребуется извлечение корней. Кроме этого, приближение сходится к π очень медленно: с каждой итерацией погрешность уменьшается лишь вчетверо.

Атлантический период Несмотря на это, до середины 17 века все попытки европейских учёных вычислить число π сводились к увеличению сторон многоугольника. Так например, голландский математик Лудольф Ван Цейлен (1540-1610 гг.) вычислил приближенное значение числа π с точностью до 20-ти десятичных цифр. На вычисление ему понадобилось 10 лет. Удваивая по методу Архимеда число сторон вписанных и описанных многоугольников, он дошел до угольника с целью вычисления π с 20 десятичными знаками. После смерти в его рукописях были обнаружены ещё 15 точных цифр числа π. Лудольф завещал, чтобы найденные им знаки были высечены на его надгробном камне. В честь него число π иногда называли «лудольфовым числом» или «константой Лудольфа». Одним из первых, кто представил метод, отличный от метода Архимеда, был Франсуа Виет (1540-1603 гг.). Он пришел к результату что круг, диаметр которого равен единице, имеет площадь:

…имеет площадь С другой стороны, площадь равна  . Подставив и упростив выражение, можно получить следующую формулу бесконечного произведения для вычисления приближенного значения  :

Полученная формула представляет собой первое точное аналитическое выражение для числа π. Кроме этой формулы, Виет, используя метод Архимеда, дал с помощью вписанных и описанных многоугольников, начиная с 6-угольника и заканчивая многоугольником с 216⋅6 сторонами приближение числа π с 9 правильными знаками. Английский математик Уильям Броункер (1620-1684 гг.), используя цепную дробь, получил следующие результаты вычисления  : Данный метод вычисления приближения числа  требует довольно больших вычислений, чтобы получить хотя бы небольшое приближение. Получаемые в результате подстановки значения то больше, то меньше числа π, и каждый раз все ближе к истинному значению, но для получения значения 3,141592 потребуется совершить довольно большие вычисления. Другой английский математик Джон Мэчин (1686-1751 гг.) в 1706 году для вычисления числа π со 100 десятичными знаками воспользовался формулой, выведенной Лейбницем в 1673 году, и применил её следующим образом:

Ряд быстро сходится и с его помощью можно вычислить число π с большой точностью. Формулы подобного типа использовались для установки нескольких рекордов в эпоху компьютеров. В XVII в. с началом периода математики переменной величины наступил новый этап в вычислении π. Немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716 гг.) в 1673 году нашел разложение числа π, в общем виде его можно записать следующим бесконечным рядом: Ряд получается при подстановке: Леонард Эйлер развивает идею Лейбница в своих работах, посвященных использованию рядов для arctg x при вычислении числа π. В трактате «De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi» (О различных методах выражения квадратуры круга приближенными числами),написанном в 1738 году, рассматриваются методы усовершенствования вычислений по формуле Лейбница. Эйлер пишет о том, что ряд для арктангенса будет сходиться быстрее, если аргумент будет стремиться к нулю. Для x=1 сходимость ряда очень медленная: для вычисления с точностью до 100 цифр необходимо сложить   членов ряда. Ускорить вычисления можно, уменьшив значение аргумента. Если принять , то получается ряд:

По утверждению Эйлера, если мы возьмем 210 членов этого ряда, то получим 100 верных знаков числа. Полученный ряд неудобен, потому что необходимо знать достаточно точное значение иррационального числа . Также Эйлер в своих вычислениях использовал разложения арктангенсов на сумму арктангенсов меньших аргументов:

Далеко не все формулы для вычисления π, которые использовал Эйлер в своих записных книжках, были опубликованы. В опубликованных работах и записных книжках он рассмотрел 3 различных ряда для вычисления арктангенса, а также привел множество утверждений, касающихся количества суммируемых членов, необходимых для получения приближенного значения π c заданной точностью. В последующие годы уточнения значения числа π происходили все быстрее и быстрее. Так, например, в 1794 году Георг Вега (1754-1802 гг.) определил уже 140 знаков, из который только 136 оказались верными.

Период компьютерных вычислений XX век ознаменован совершенно новым этапом в вычислении числа π. Индийский математик Сриниваса Рамануджан (1887-1920 гг.) обнаружил множество новых формул для π. В 1910 году он получил формулу для вычисления π через разложение арктангенса в ряд Тейлора::

При k=100 достигается точность в 600 верных цифр числа π. Появление ЭВМ позволило существенно увеличить точность получаемых значений за более короткие сроки. В 1949 году всего за 70 часов с помощью ENIAC группа ученых под руководством Джона фон Неймана (1903-1957 гг.) получила 2037 знаков после запятой числа π . Давид и Грегорий Чудновские в 1987 году получили формулу, с помощью которой смогли установить несколько рекордов в вычислении π:

Каждый член ряда дает по 14 цифр. В 1989 году было получено 1 011 196 691 цифра после запятой. Данная формула хорошо подходит для вычисления π на персональных компьютерах. На данный момент братья являются профессорами в политехническом институте Нью-Йоркского университета. Важным событием недавнего времени стало открытие формулы в 1997 году Саймоном Плаффом . Она позволяет извлечь любую шестнадцатеричную цифру числа π без вычисления предыдущих. Формула носит название «Формула Бэйли — Боруэйна — Плаффа» в честь авторов статьи, где формула была впервые опубликована. Она имеет следующий вид:

В 2006 году Саймон, используя PSLQ, получил несколько красивых формул для вычисления π. Например, В 2009 году японские ученые, используя суперкомпьютер T2K Tsukuba System, получили число π c 2 576 980 377 524 десятичными знаками после запятой. Вычисления заняли 73 часа 36 минут. Компьютер был оснащен 640-ка четырех ядерными процессорами AMD Opteron, что обеспечило производительность в 95 триллионов операций в секунду.

Следующее достижение в вычислении π принадлежит французскому программисту Фабрису Беллару , который в конце 2009 года на своем персональном компьютере под управлением Fedora 10 установил рекорд, вычислив 2 699 999 990 000 знаков после запятой числа π. За последние 14 лет это первый мировой рекорд, который поставлен без использования суперкомпьютера. Для высокой производительности Фабрис использовал формулу братьев Чудновских. В общей сложности вычисление заняло 131 день (103 дня расчеты и 13 дней проверка результата). Достижение Беллара показало, что для таких вычислений не обязательно иметь суперкомпьютер.

Всего через полгода рекорд Франсуа был побит инженерами Александром Йи и Сингеру Кондо. Для установления рекорда в 5 триллионов знаков после запятой числа π был также использован персональный компьютер, но уже с более внушительными характеристиками: два процессора Intel Xeon X5680 по 3,33 ГГц, 96 ГБ оперативной памяти, 38 ТБ дисковой памяти и операционная система Windows Server 2008 R2 Enterprise x64. Для вычислений Александр и Сингеру использовали формулу братьев Чудновских. Процесс вычисления занял 90 дней и 22 ТБ дискового пространства. В 2011 году они установили еще один рекорд , вычислив 10 триллионов десятичных знаков числа π. 

Вычисления происходили на том же компьютере, на котором был поставлен их предыдущий рекорд и занял в общей сложности 371 день. В конце 2013 года Александр и Сингеру улучшили рекорд до 12,1 триллиона цифр числа π, вычисление которых заняло у них всего 94 дня. Такое улучшение в производительности достигнуто благодаря оптимизации производительности программного обеспечения, увеличения количества ядер процессора и значительного улучшения отказоустойчивости ПО. Текущим рекордом является рекорд Александра Йи и Сингеру Кондо, который составляет 12,1 триллиона цифр после запятой числа π.  

Таким образом, мы рассмотрели методы вычисления числа π, используемые в древние времена, аналитические методы, а также рассмотрели современные методы и рекорды по вычислению числа π на компьютерах. 

Где используется число ? Число используют в математике там, где есть окружность. Например:

за внимание!!!