🗊” Построение правильных многоугольников циркулем и линейкой ” .

” Построение правильных многоугольников циркулем и линейкой ” .

Цель урока Создать условия для более глубокого усвоения знаний по теме, высокого уровня обобщения и систематизации знаний.

Методические задачи Выяснить , всякий ли правильный многоугольник можно построить с помощью циркуля и линейки; Повторить способы построения правильных многоугольников и познакомить с новыми способами; Познакомить с перспективными технологиями и новыми разработками построения правильных многоугольников; Показать применение правильных многоугольников в окружающем нас мире.

Выпуклые и невыпуклые многоугольники Многоугольник- это фигура, составленная из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону. На рисунке 1 многоугольник F1 выпуклый, а многоугольник F2 невыпуклый. Многоугольник называется невыпуклым, если прямая, содержащая сторону многоугольника разбивает его на две части. Все треугольники выпуклы, а многоугольники с большим числом сторон могут быть как выпуклыми, так и невыпуклыми.

Правильные многоугольники На рисунке 1 представлены правильный треугольник , шестиугольник и четырех угольник.

Великий математик, механик и инженер древности Архимед (греч. Αρχιμήδης, родился 287 до н. э. - 212 до н. э.) Периметр (сумма длин сторон) правильного n-угольника при заданном числе сторон n наиболее близок к длине его описанной окружности среди всех вписанных в нее n-угольников; таким же свойством он обладает и по отношению к вписанной окружности. Поскольку вычисление длины окружности считалось в древности весьма важной задачей, много усилий было затрачено на то, чтобы научиться оценивать периметр вписанной в нее правильного многоугольника при достаточно больших n. Особенно преуспел в этом Архимед.

Евклид ( родился в 330 году до н. э. в небольшом городке Тире, недалеко от  Афин). Впрочем, правильные многоугольники привлекали внимание древнегреческих учёных задолго до Архимеда. Пифагорейцы, в философии которых числа играли главную роль, придавали очень большое значение задаче о делении окружности на равные части, т. е. о построении правильного вписанного многоугольника. В "Началах" Евклида приводятся построения с помощью циркуля и линейки правильных многоугольников с числом сторон от трёх до шести, а также пятнадцати угольника. Этим последним особенно интересовались: согласно измерениям древних астрономов, угол наклона плоскости эклиптики к экватору равнялся 1/5 полного угла, т.е. 24°(истинное значение чуть меньше -23°27'). Задача о построение правильных многоугольников была полностью решена лишь спустя два тысячелетия.

Основные формулы. Вычисление угла правильного многоугольника : Сторона правильного многоугольника : Площадь правильного многоугольника : Радиус вписанной окружности :

.Применение формул Для правильного треугольника Для правильного четырехугольника Для правильного шестиугольника

Любой ли правильный многоугольник можно построить с помощью циркуля и линейки ? Если построен какой-нибудь правильный n-угольник, то с помощью циркуля и линейки можно построить правильный 2n-угольник. Опишем около данного многоугольника А1, А2… Аn oкружность. Для этого построим серединные перпендикуляры a и b к oтрезкам А1 А2 и А2 А3 ( на рисунке n= 4). Они пересекаются в некоторой точке О. Окружность с центром О радиуса ОА1 является описанной около многоугольника А1 А2…Аn. Построим теперь середины B1, B2, …, Bn соответственно дуг А1 А2, А2А3,…, Аn А1 следующим образом. Точки B1и B2 получаются как точки пересечения прямых а и b с дугами А1 А2 и А2 А3. Для построения точки B3 проведём oкружность с центром А3 радиуса А3 B2. Одна из точек пересечения этой oкружности с описанной окружностью есть точка B2, а другая - искомая точка B3. Аналогично строятся точки B4,…, Bn. Соединив каждую из точек B1,B2,…, Bn отрезками с концами соответствующей дуги, получим 2n-угольник А1В1А2В2А3… Аn Bn, который является правильным в силу теоремы о вписанном в окружность многоугольнике На рисунке по данному правильному четырёхугольнику А1А2А3А4 построен правильный восьмиугольник А1В1А2…В4. Итак, если мы можем построить циркулем и линейкой правильный n-угольник, где n - данное натуральное число, то можно построить правильные 2n-угольник, 4n-угольник и, вообще, (2^k*n)-угольник, где k - любое натуральное число.

Построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки .

. .

.

Петропавловская крепость

Платоновы тела Платоновы тела - трехмерный аналог плоских правильных многоугольников.   Существует лишь пять выпуклых правильных многогранников - тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями. Доказательство этого факта известно уже более двух тысяч лет; этим доказательством и изучением пяти правильных тел завершаются "Начала" Евклида.  Существование только пяти правильных многогранников относили к строению материи и Вселенной. Пифагорейцы, а затем Платон полагали, что материя состоит из четырех  основных элементов:  огня, земли, воздуха и воды .Согласно их мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных Платоновых тел.

Работы Эшера

Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для Эшера. В его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов Существует лишь пять правильных многогранников, то есть таких тел, все грани которых состоят из одинаковых правильных многоугольников. Они еще называются телами Платона. Это - тетраэдр, гранями которого являются четыре правильных треугольника, куб с шестью квадратными гранями, октаэдр, имеющий восемь треугольных граней, додекаэдр, гранями которого являются двенадцать правильных пятиугольников, и икосаэдр с двадцатью треугольными гранями. На гравюре "Четыре тела" Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.

"Порядок и хаос". Большое количество различных многогранников может быть получено объединением правильных многогранников, а также превращением многогранника в звезду. Для преобразования многогранника в звезду необходимо заменить каждую его грань пирамидой, основанием которой является грань многогранника. Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в работе "Порядок и хаос". В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором. Заметим также, что анализируя картину можно догадаться о природе источника света для всей композиции - это окно, которое отражается левой верхней части сферы.

Спасибо за внимание Дом. Задание: На альбомном листе начертить правильный треугольник, четырехугольник, шестиугольник, восьмиугольник, пятиугольник и десятиугольник.. Сдать во вторник 26 февраля.