Геометрическая вероятность - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Геометрическая вероятность. Доклад-сообщение содержит 51 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Слайд 2

Описание слайда:

Слайд 3

Описание слайда:

Пример: Игла Бюффона. Стол разграфлен параллельными линиями на расстоянии 2а, на стол случайным образом бросается игла длиной 2L, L

Слайд 4

Описание слайда:

Положение иглы можно характеризовать двумя параметрами: Х - расстояние от центра иглы до ближайшей линии, φ - угол между направлением иглы и линии. Положение иглы можно характеризовать двумя параметрами: Х - расстояние от центра иглы до ближайшей линии, φ - угол между направлением иглы и линии. "Случайность" положения иглы означает, что Х может равновероятно принимать любые значения от 0 до а, а φ - соответственно - от 0 до . Тогда пространство элементарных событий представим прямоугольником, а событие А (пересечение произошло) - областью под кривой Х = L×sinφ, т.к. для пересечения нужно, чтобы Х было меньше, чем L×sinφ.

Слайд 5

Описание слайда:

Слайд 6

Описание слайда:

Слайд 7

Описание слайда:

Слайд 8

Описание слайда:

Слайд 9

Описание слайда:

Слайд 10

Описание слайда:

Если события А и В принадлежат одному полю событий и вероятность В не равна 0, то условной вероятностью А при условии В называется отношение вероятности пересечения А и В к вероятности В. Если события А и В принадлежат одному полю событий и вероятность В не равна 0, то условной вероятностью А при условии В называется отношение вероятности пересечения А и В к вероятности В.

Слайд 11

Описание слайда:

Пример : Пусть в области, представленной на рисунке , задана геометрическая вероятность. Событие А - треугольник выше диагонали, событие В - нижняя половина области. Р(А) = 1/2 , Р(В) = 1/2 , Р(АВ) = 1/8 , P(A/B) = 1/4 . Пример : Пусть в области, представленной на рисунке , задана геометрическая вероятность. Событие А - треугольник выше диагонали, событие В - нижняя половина области. Р(А) = 1/2 , Р(В) = 1/2 , Р(АВ) = 1/8 , P(A/B) = 1/4 .

Слайд 12

Описание слайда:

Если P(A/B) = P(A), то события А и В называются независимыми . Для независимых событий из определения условной вероятности следует: Если P(A/B) = P(A), то события А и В называются независимыми . Для независимых событий из определения условной вероятности следует:

Слайд 13

Описание слайда:

Пусть событие А может произойти только совместно с одним из несовместных между собой событий Hi . Пусть событие А может произойти только совместно с одним из несовместных между собой событий Hi .

Слайд 14

Описание слайда:

Пример1: Магазин закупает оптом половину всех компьютеров у фирмы LLL, треть - у фирмы МММ и 1/6 - у фирмы NNN. У фирмы LLL 10% компьютеров с браком, у фирмы МММ брак составляет 5%, а у фирмы NNN - 15%. Какова вероятность того, что наудачу выбранный компьютер в этом магазине - бракованный ? Дано: Р(Н1) = 1/2, Пример1: Магазин закупает оптом половину всех компьютеров у фирмы LLL, треть - у фирмы МММ и 1/6 - у фирмы NNN. У фирмы LLL 10% компьютеров с браком, у фирмы МММ брак составляет 5%, а у фирмы NNN - 15%. Какова вероятность того, что наудачу выбранный компьютер в этом магазине - бракованный ? Дано: Р(Н1) = 1/2, Р(Н2) = 1/3, Р(Н3) = 1/6, Р(А/Н1) = 0.1, Р(А/Н2) = 0.05, Р(А/Н3) = 0.15. Получаем: P(A)=0.1*1/2+0.05*1/3+ 0.15*1/6=0.092

Слайд 15

Описание слайда:

Слайд 16

Описание слайда:

Слайд 17

Описание слайда:

В предыдущем примере можно поставить и другой вопрос. Обнаружен компьютер с браком, какова вероятность, что он получен от фирмы NNN ? Т.е. зная вероятности Р(Нi), которые называются априорные вероятности гипотез Нi, и условные вероятности Р(А/Нi) события А при каждой гипотезе, мы хотим найти апостериорную вероятность Р(Нi/А) i-той гипотезы при условии, что событие А произошло: В предыдущем примере можно поставить и другой вопрос. Обнаружен компьютер с браком, какова вероятность, что он получен от фирмы NNN ? Т.е. зная вероятности Р(Нi), которые называются априорные вероятности гипотез Нi, и условные вероятности Р(А/Нi) события А при каждой гипотезе, мы хотим найти апостериорную вероятность Р(Нi/А) i-той гипотезы при условии, что событие А произошло:

Слайд 18

Описание слайда:

Пример 3: Студент приходит в медпункт и жалуется на плохое самочувствие, хотя по виду этого не скажешь. У медсестры две гипотезы Н1 - он действительно болен, Н2 - он здоров, но хочет получить справку, например, для продления сессии. По внешнему виду она оценивает априорные вероятности Р(Н1) = 0.3, Р(Н2) = 0.7 и ставит ему градусник. Измеренная температура 37.5 (событие А). Предположим, Р(А/Н1) = 0.9 (не при всякой болезни повышается температура), Р(А/Н2) = 0.05 (у некоторых здоровых людей нормальная температура немного повышена или студент мог незаметно натереть градусник). Теперь апостериорная Пример 3: Студент приходит в медпункт и жалуется на плохое самочувствие, хотя по виду этого не скажешь. У медсестры две гипотезы Н1 - он действительно болен, Н2 - он здоров, но хочет получить справку, например, для продления сессии. По внешнему виду она оценивает априорные вероятности Р(Н1) = 0.3, Р(Н2) = 0.7 и ставит ему градусник. Измеренная температура 37.5 (событие А). Предположим, Р(А/Н1) = 0.9 (не при всякой болезни повышается температура), Р(А/Н2) = 0.05 (у некоторых здоровых людей нормальная температура немного повышена или студент мог незаметно натереть градусник). Теперь апостериорная вероятность того, что студент болен:

Слайд 19

Описание слайда:

Эксперимент, результат которого существенно изменяет априорные вероятности гипотез, называют информативным. Перед постановкой сложного и (или) дорогостоящего эксперимента всегда имеет смысл оценить его информативность на основе имеющихся данных об априорных и условных вероятностях. Эксперимент, результат которого существенно изменяет априорные вероятности гипотез, называют информативным. Перед постановкой сложного и (или) дорогостоящего эксперимента всегда имеет смысл оценить его информативность на основе имеющихся данных об априорных и условных вероятностях.

Слайд 20

Описание слайда:

Слайд 21

Описание слайда:

Пусть имеется пространство Пусть имеется пространство элементарных событий U, на нем построено поле событий и для каждого события А из этого поля определена вероятность Р(А). Каждому элементарному событию gi из U сопоставим число ξi. Потребуем, чтобы для любого х (-∞

Слайд 22

Описание слайда:

В строгом определении задание пространства элементарных событий означает по существу задание условий, в которых возникают те или иные значения случайной величины, а если эти условия заданы, то тем самым определена и F(x). В строгом определении задание пространства элементарных событий означает по существу задание условий, в которых возникают те или иные значения случайной величины, а если эти условия заданы, то тем самым определена и F(x). Например, нельзя сказать, что "температура - случайная величина". Но "температура воздуха, измеряемая на данной метеостанции в случайный момент времени в течение года" - случайная величина, "температура воздуха в случайно выбранной точке земного шара 1 января 2001г. в 12.00 по Московскому времени" - другая случайная величина.

Слайд 23

Описание слайда:

F(+∞) = 1 F(-∞) = 0 F(x) - не убывающая функция х

Слайд 24

Описание слайда:

Случайные величины могут быть непрерывными, т.е. принимать любые значения в некотором интервале (например, упомянутые выше температуры). У них F(x) - непрерывная функция. Случайные величины могут быть дискретными т.е. принимать только конечное или счетное множество определенных значений (например, число очков при бросании игральной кости; число телефонных звонков, поступающих конкретному абоненту в течение суток). У таких величин F(x) имеет разрывы в точках, соответствующих принимаемым значениям. Такие величины удобнее характеризовать указанием возможных значений и их вероятностей. Случайные величины могут быть непрерывными, т.е. принимать любые значения в некотором интервале (например, упомянутые выше температуры). У них F(x) - непрерывная функция. Случайные величины могут быть дискретными т.е. принимать только конечное или счетное множество определенных значений (например, число очков при бросании игральной кости; число телефонных звонков, поступающих конкретному абоненту в течение суток). У таких величин F(x) имеет разрывы в точках, соответствующих принимаемым значениям. Такие величины удобнее характеризовать указанием возможных значений и их вероятностей.

Слайд 25

Описание слайда:

Пример: число очков при бросании кости Значения хi: 1 2 3 4 5 6 Пример: число очков при бросании кости Значения хi: 1 2 3 4 5 6 Вероятности р(хi) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Функция распределения:

Слайд 26

Описание слайда:

Для непрерывных случайных величин вводится понятие плотности распределения р(х), которая есть производная от функции распределения. Для непрерывных случайных величин вводится понятие плотности распределения р(х), которая есть производная от функции распределения.

Слайд 27

Описание слайда:

Для непрерывных распределений всегда Для непрерывных распределений всегда

Слайд 28

Описание слайда:

Слайд 29

Описание слайда:

Вид функций F(x), р(х), или перечисление р(хi) называют законом распределения случайной величины. Вид функций F(x), р(х), или перечисление р(хi) называют законом распределения случайной величины. Хотя можно представить себе бесконечное разнообразие случайных величин, законов распределения гораздо меньше. Во-первых, различные случайные величины могут иметь совершенно одинаковые законы распределения. Например: пусть y принимает всего 2 значения 1 и -1 с вероятностями 0.5; величина z = -y имеет точно такой же закон распределения.

Слайд 30

Описание слайда:

Во-вторых, очень часто случайные величины имеют подобные законы распределения, т.е., например, р(х) для них выражается формулами одинакового вида, отличающимися только одной или несколькими постоянными. Эти постоянные называются параметрами распределения. Во-вторых, очень часто случайные величины имеют подобные законы распределения, т.е., например, р(х) для них выражается формулами одинакового вида, отличающимися только одной или несколькими постоянными. Эти постоянные называются параметрами распределения. Хотя в принципе возможны самые разные законы распределения, обычно рассматривают несколько наиболее типичных законов. Важно обратить внимание на условия, в которых они возникают, параметры и свойства этих распределений.

Слайд 31

Описание слайда:

Так называют распределение случайной величины, которая может принимать любые значения в интервале (a,b), причем вероятность попадания ее в любой отрезок внутри (a,b) пропорциональна длине отрезка и не зависит от его положения, а вероятность значений вне (a,b) равна 0. Так называют распределение случайной величины, которая может принимать любые значения в интервале (a,b), причем вероятность попадания ее в любой отрезок внутри (a,b) пропорциональна длине отрезка и не зависит от его положения, а вероятность значений вне (a,b) равна 0.

Слайд 32

Описание слайда:

Распределение с плотностью, описываемой формулой Распределение с плотностью, описываемой формулой

Слайд 33

Описание слайда:

Слайд 34

Описание слайда:

Пример : Кость бросают 5 раз, какова вероятность того, что 6 очков выпадет дважды ? n = 5, Пример : Кость бросают 5 раз, какова вероятность того, что 6 очков выпадет дважды ? n = 5, m = 2, p = 1/6, q = 5/6

Слайд 35

Описание слайда:

Слайд 36

Описание слайда:

Пример1 : число вызовов, поступающих на станцию скорой помощи в течение часа. Разобьем интервал времени Т (1 час) на малые интервалы dt, такие что вероятность поступления двух и более вызовов в течение dt пренебрежимо мала, а вероятность одного вызова р пропорциональна dt: р = μdt ; будем рассматривать наблюдение в течение моментов dt как независимые испытания, число таких испытаний за время Т: n = T / dt. Если предполагать, что вероятности поступления вызовов не меняются в течение часа, то полное число вызовов подчиняется закону Бернулли с параметрами: n = T / dt, р = μdt . Устремив dt к нулю, получим, что n стремится к бесконечности, а произведение n×р остается постоянным: а = n×р = μТ. Пример1 : число вызовов, поступающих на станцию скорой помощи в течение часа. Разобьем интервал времени Т (1 час) на малые интервалы dt, такие что вероятность поступления двух и более вызовов в течение dt пренебрежимо мала, а вероятность одного вызова р пропорциональна dt: р = μdt ; будем рассматривать наблюдение в течение моментов dt как независимые испытания, число таких испытаний за время Т: n = T / dt. Если предполагать, что вероятности поступления вызовов не меняются в течение часа, то полное число вызовов подчиняется закону Бернулли с параметрами: n = T / dt, р = μdt . Устремив dt к нулю, получим, что n стремится к бесконечности, а произведение n×р остается постоянным: а = n×р = μТ.

Слайд 37

Описание слайда:

Пример 2: число молекул идеального газа в некотором фиксированном объеме V. Разобьем объем V на малые объемы dV такие, что вероятность нахождения двух и более молекул в dV пренебрежимо мала, а вероятность нахождения одной молекулы пропорциональна dV: р = μdV; будем рассматривать наблюдение каждого объемчика dV как независимое испытание, число таких испытаний n=V/dV; если предполагать, что вероятности нахождения молекулы в любом месте внутри V одинаковы, полное число молекул в объеме V подчиняется закону Бернулли с параметрами: n = V / dV, р = μdV. Устремив dV к нулю, получим, что n стремится к бесконечности, а произведение n×р остается постоянным: а = n×р =μV. Пример 2: число молекул идеального газа в некотором фиксированном объеме V. Разобьем объем V на малые объемы dV такие, что вероятность нахождения двух и более молекул в dV пренебрежимо мала, а вероятность нахождения одной молекулы пропорциональна dV: р = μdV; будем рассматривать наблюдение каждого объемчика dV как независимое испытание, число таких испытаний n=V/dV; если предполагать, что вероятности нахождения молекулы в любом месте внутри V одинаковы, полное число молекул в объеме V подчиняется закону Бернулли с параметрами: n = V / dV, р = μdV. Устремив dV к нулю, получим, что n стремится к бесконечности, а произведение n×р остается постоянным: а = n×р =μV.

Слайд 38

Описание слайда:

Слайд 39

Описание слайда:

Определение: Математическим ожиданием называется - для дискретной случайной величины: Определение: Математическим ожиданием называется - для дискретной случайной величины:

Слайд 40

Описание слайда:

- для непрерывной случайной величины: - для непрерывной случайной величины:

Слайд 41

Описание слайда:

a . Если С - постоянная величина, то МС = С b . МСх = СМх c . Математическое ожидание суммы случайных величин всегда равно сумме их математических ожиданий: М(х+y) = Мх + Мy a . Если С - постоянная величина, то МС = С b . МСх = СМх c . Математическое ожидание суммы случайных величин всегда равно сумме их математических ожиданий: М(х+y) = Мх + Мy

Слайд 42

Описание слайда:

d. Вводится понятие условного математического ожидания. Если случайная величина принимает свои значения хi с различными вероятностями p(xi/Hj) при разных условиях Hj, то условное математическое ожидание определяется как d. Вводится понятие условного математического ожидания. Если случайная величина принимает свои значения хi с различными вероятностями p(xi/Hj) при разных условиях Hj, то условное математическое ожидание определяется как

Слайд 43

Описание слайда:

Если известны вероятности событий Hj, может быть найдено полное математическое ожидание: Если известны вероятности событий Hj, может быть найдено полное математическое ожидание:

Слайд 44

Описание слайда:

Рассмотрим гипотезы Н1 - герб выпал в первый Рассмотрим гипотезы Н1 - герб выпал в первый же раз, Н2 - в первый раз он не выпал. Очевидно, р(Н1) = р(Н2) = ½; Мx / Н1 = 1; Мx / Н2 на 1 больше искомого полного матожидания, т.к. после первого бросания монеты ситуация не изменилась, но один раз она уже брошена. Используя формулу полного математического ожидания, имеем Мх = Мx / Н1×р(Н1) + Мx / Н2×р(Н2) = 1×0.5 + (Мх + 1)×0.5 , разрешая уравнение относительно Мх, получаем сразу Мх = 2 .

Слайд 45

Описание слайда:

Рассмотрим более общий случай: сколько Рассмотрим более общий случай: сколько пройдет испытаний до первого появления события, если его вероятность Р . Гипотеза Н1 - оно появилось в первый же раз, Н2 - в первый раз оно не появилось. Очевидно, р(Н1) =Р, р(Н2) = 1-Р; Мx / Н1 = 1; Мx / Н2 на 1 больше искомого полного матожидания, т.к. После первого испытания ситуация не изменилась, но одно испытание уже сделано. Используя формулу полного математического ожидания, имеем Мх = Мx / Н1×р(Н1) + Мx / Н2×р(Н2) = 1×Р + (Мх + 1)×(1-Р)=P+Мх-Mx×P+1-P : -Mx ×P+1=0 разрешая уравнение относительно Мх, получаем сразу Мх = 1/Р .

Слайд 46

Описание слайда:

e . Если f(x) - есть функция случайной величины х, то определено понятие математического ожидания функции случайной величины: e . Если f(x) - есть функция случайной величины х, то определено понятие математического ожидания функции случайной величины: - для дискретной случайной величины:

Слайд 47

Описание слайда:

Определение: Дисперсией случайной величины х называется математическое ожидание квадрата отклонения значения величины от ее математического ожидания: Dx = M(x-Mx)2 Определение: Дисперсией случайной величины х называется математическое ожидание квадрата отклонения значения величины от ее математического ожидания: Dx = M(x-Mx)2

Слайд 48

Описание слайда:

- для непрерывной случайной величины: - для непрерывной случайной величины:

Слайд 49

Описание слайда:

a . Если С - постоянная величина, то DС = 0 a . Если С - постоянная величина, то DС = 0 b . DСх = С2Dх c . Дисперсия суммы случайных величин равна сумме их дисперсий только, если эти величины независимы d . Для вычисления дисперсии удобно использовать формулу: