Предел функции - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Предел функции. Доклад-сообщение содержит 47 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Математический анализ (ю) Лекция - 2

Слайд 2

Описание слайда:

Повтор лекции 1 Логическая символика Умение логически мыслить – логика – является основным инструментом процесса математического анализа. Логика в математике – наука о способах доказательств и опровержений; – совокупность научных теорий с доказательствами и опровержениями 1. Конъюкцией высказываний относительно p и q называют высказывание, которое истинно только тогда, когда оба высказывания ( и p , и q ) истинны. Логический символ конъюкции  заменяет союз “и” 2. Дизъюкцией высказываний относительно p и q называют высказывание, которое ложно в том и только в том случае, когда оба высказывания ( и p , и q ) ложны, а истинно, когда хотя бы одно из них ( p или q ) истинно. Логический символ дизъюкции  заменит союз “или” .

Слайд 3

Описание слайда:

Слайд 4

Описание слайда:

Для сокращения и уточнения записей высказываний вводятся знаки: Для сокращения и уточнения записей высказываний вводятся знаки:  – квантор общности (логический эквивалент слов “все”, “каждый” );  – квантор существования (логический эквивалент слова “некоторый”),  ,  – символы принадлежности или непринадлежности : например, выражение “для всякого элемента x множества Е ” записывается в виде ; выражение “… существует по крайней мере один элемент множества Е , такой что … ” записывается как . .  А – символ отрицания высказывания А

Слайд 5

Описание слайда:

Слайд 6

Описание слайда:

Слайд 7

Описание слайда:

Слайд 8

Описание слайда:

Числовая последовательность Числовая последовательность Часто последовательность задается формулой для вычисления ее элементов по их номерам : 1, 1/2 , 1/3 , …,1/n – функция натурального аргумента : xn = f(n) Определение: число a наз. пределом последовательности xn, если ε > 0 N = N(ε) : ( n > N  |xn – a | < ε ) Обозначение : Определение: последовательность xn, имеющая предел a называется сходящейся ( к числу a ) , а не имеющая предел – расходящейся. Примеры (1) : , т.е. a = 0 . Поскольку выражение | 1/n – 0 | = 1/n < ε выполнено  n > 1/ε = N(ε) N(ε) – не обязательно целое, n – номер, обязательно целое. (2) : x n – стационарная последовательность, xn = a . n  ; т.к. n  |x n – a | = | a – a | = 0 < ε

Слайд 9

Описание слайда:

Геометрическая интерпретация Геометрическая интерпретация

Слайд 10

Описание слайда:

Замечание. Обратное неверно, например, r

Слайд 11

Описание слайда:

Слайд 12

Описание слайда:

Доказательство. Доказательство.

Слайд 13

Описание слайда:

Слайд 14

Описание слайда:

Слайд 15

Описание слайда:

Слайд 16

Описание слайда:

Слайд 17

Описание слайда:

Слайд 18

Описание слайда:

Число a наз. пределом последовательности x 1, x 2, x 3, …, x n, … Число a наз. пределом последовательности x 1, x 2, x 3, …, x n, … , если для любого ε > 0 существует число N = N(ε) такое, что |x n – a| < ε при n > N . Пример: показать, что Составим разность если n > 1/ε – 1 = N(ε) . Таким образом, для каждого положительного числа ε найдется число N = 1/ε – 1 такое, что при n > N будет иметь место неравенство n > 1/ε – 1 . Следовательно, число a = 2 является пределом

Слайд 19

Описание слайда:

Слайд 20

Описание слайда:

Свойства сходящейся последовательности Свойства сходящейся последовательности при Это означает , что

Слайд 21

Описание слайда:

Пример : найти предел последовательности Пример : найти предел последовательности

Слайд 22

Описание слайда:

Предел функции

Слайд 23

Описание слайда:

Замечание: в т. a функция f(x) может быть не определена . Например f(x) = x•sin 1/x определена всюду, кроме 0 , Замечание: в т. a функция f(x) может быть не определена . Например f(x) = x•sin 1/x определена всюду, кроме 0 , но  Пусть ε > 0 , тогда |x•sin 1/x - 0| = |x|•|sin 1/x|  |x| < ε при условии 0 < |x - 0| = |x| < δ(ε) = ε

Слайд 24

Описание слайда:

Определение : функция f(x)  A при x  a (A, a - числа), Определение : функция f(x)  A при x  a (A, a - числа), если для любого  > 0 существует δ = δ(ε) > 0 такое, что . | f(x) – A| <  при 0 < |x – a | < δ Аналогично, если |f(x) – A| <  при |x| > N () 1. 2. 3.

Слайд 25

Описание слайда:

Предел по Коши в области бесконечности :

Слайд 26

Описание слайда:

Слайд 27

Описание слайда:

. .

Слайд 28

Описание слайда:

Слайд 29

Описание слайда:

Слайд 30

Описание слайда:

Основные теоремы о пределах функций

Слайд 31

Описание слайда:

Слайд 32

Описание слайда:

Слайд 33

Описание слайда:

Слайд 34

Описание слайда:

Практические методы нахождения пределов 1. При отыскании предела отношения двух целых многочленов P(x), Q(x) при х →  полезно оба члена отношения предварительно разделить на . Аналогично и для дробей, содержащих иррациональности Пример : = = 1 2. Если P(а) = 0 и Q(а) = 0 , то дробь P(x) / Q(x) рекомендуется сократить на бином (x - a) . 3. Иррациональные выражения приводятся к рациональному виду путем введения новой переменной. Например : = ? Решение. Полагая , получим = = 4. Полезно знать, что если существует и положителен , то = .

Слайд 35

Описание слайда:

Бесконечно малые функции

Слайд 36

Описание слайда:

Свойства бесконечно малых функций

Слайд 37

Описание слайда:

Слайд 38

Описание слайда:

Слайд 39

Описание слайда:

. Два замечательных предела Рассмотренные свойства функций, имеющих предел в точке a  расширенной числовой прямой, дают возможность проанализировать их поведение в окрестности этой точки a . Однако в ряде случаев этих свойств и установленных правил предельного перехода недостаточно. Одним из классических примеров подобного случая является поведение функции (sin x) / x в окрестности точки a = 0 . Пусть х - центральный угол окружности единичного радиуса , причем 0 < x < /2 (см. следующий слайд).

Слайд 40

Описание слайда:

Слайд 41

Описание слайда:

Слайд 42

Описание слайда:

Слайд 43

Описание слайда:

Слайд 44

Описание слайда:

Слайд 45

Описание слайда:

. .

Слайд 46

Описание слайда:

Определение Пусть f(x) и g(x) определены в Ú(a) . Определение Пусть f(x) и g(x) определены в Ú(a) . Если , то функции f(x) и g(x) называются эквивалентными (асимптотически равными) при х → a . Обозначение: f ~ g , х → a . Пример : sin x ~ x , х → 0 . Теорема (критерий эквивалентности функций)