Математическая логика - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Математическая логика. Доклад-сообщение содержит 129 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА Лекция 1

Слайд 2

Описание слайда:

МЫСЛИТЕЛЬНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ логика интуиция интуиция-суждение интуиция-догадка «Таким образом, логика и интуиция играют каждая свою необходимую роль. Обе они неизбежны. Логика, которая одна может дать достоверность, есть орудие доказательства; интуиция есть орудие изобретательства» (А. Пуакаре)

Слайд 3

Описание слайда:

λογος (греч.)– слово, смысл Математическая логика: предмет – логика метод – математика Язык: предметный (язык – объект) язык исследователя

Слайд 4

Описание слайда:

(древнегреч.) Аристотель (384-322 до н.э.): теория дедукции – логического вывода Евклид (330–275 до н.э.) (нем.) Лейбниц (1646–1716): «идеи заменить вычислениями» (англ.) Дж. Буль (1815-1864), (шотл.) А. де Морган (1806-1871), (амер.) Ч. Пирс (1839– 1914), (рус.) П.С. Порецкий (1846–1907) (рус.) Н.И. Лобачевский (1792–1856), (венг.) Я.Бояи (1802 - 1860) парадоксы теории множеств (конец 19 в.) (англ.) Рассел (1872-1970). Парадокс: по закону брадобрей должен брить только тех, кто не бреет себя сам. Кто бреет брадобрея?

Слайд 5

Описание слайда:

НАПРАВЛЕНИЯ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ логицизм ((нем.) Фреге(1848-1925), Пирс, (ит.) Пеано (1858-1932), Рассел, (англ.) Уайтхед (1861-1947)) невозможность вывести из логич. аксиом существование бесконечного множества, создание богатого логич. аппарата формализм ((нем.) Д.Гильберт (1862-1943), (австр.) Гёдель (1906-1978)) неполнота формализованной арифметики интуиционизм ((голланд.) Брауэр (1881-1966)) отказ от рассмотрения бесконечных множеств как завершенных совокупностей, от закона исключенного третьего, признание только конструктивных доказательств

Слайд 6

Описание слайда:

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД: 3 СТАДИИ РАЗВИТИЯ

Слайд 7

Описание слайда:

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Слайд 8

Описание слайда:

ВЫСКАЗЫВАНИЕ Высказывание – исходное понятие (не определяется через другие) Форма существования высказывания – предложение предметного языка, чаще повествовательное. Высказывание – смысл, содержание предложения. Истинное высказывание соответствует действительности. Всякое высказывание либо истинно, либо ложно и не может быть тем и другим одновременно.

Слайд 9

Описание слайда:

ПРОСТЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ Примеры: Земля – планета солнечной системы 57=35 простые (атомарными, элементарными) истинные высказывания 3 Рим – столица Франции ложные

Слайд 10

Описание слайда:

Всякий важный двигатель работает без бензина Земля вращается быстро Который час? Решить квадратное уравнение не высказывания x + 7 = 9 высказывательная форма (при указании конкретного значения x имеем высказывание)

Слайд 11

Описание слайда:

СВОБОДНЫЕ И СВЯЗАННЫЕ ВХОЖДЕНИЯ ПЕРЕМЕННОЙ переменная называется связанной, если подстановка в нее имен конкретных объектов недопустима именная (высказывательная) форма называется k-местной, если она содержит ровно k различных параметров 0-местная форма – имена и высказывания

Слайд 12

Описание слайда:

Слайд 13

Описание слайда:

Слайд 14

Описание слайда:

Слайд 15

Описание слайда:

А – посылка, антецедент импликации, В – заключение, консеквент ⟷ ⟺ ≡ эквиваленция

Слайд 16

Описание слайда:

ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ СВЯЗОК 0, Л, f, ⏊ 1, И, t, ⏉

Слайд 17

Описание слайда:

ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ инверсия, отрицание (НЕ, NOT) конъюнкция (И, AND) дизъюнкция (нестрогая, неисключающая) (ИЛИ, OR) импликация (IMP) эквиваленция (EXV) дизъюнкция (строгая, исключающая) (XOR) штрих Шеффера (И-НЕ) стрелка Пирса (ИЛИ-НЕ)

Слайд 18

Описание слайда:

ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ АЛФАВИТ АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ Пропозициональные переменные назовем элементарными формулами, или атомами. Алфавит алгебры высказываний: пропозициональные переменные, логические константы, логические операторы (связки), скобки Конечные последовательности букв алфавита называются словами.

Слайд 19

Описание слайда:

ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ А, В – метазнаки (произв. формулы) Формулы в определении: 1) – элементарные (атомы), 2) – сложные (молекулы)

Слайд 20

Описание слайда:

ФОРМАЛИЗАЦИЯ И ИНТЕРПРЕТАЦИЯ Метаязык – это язык, служащий для объяснения другого языка. Формула сама по себе не имеет никакого содержания, не является ни истинной, ни ложной. Формализация – переход от высказывания естественного языка к формуле логики в-ний. Интерпретация – переход от формулы логики в-ний к высказыванию естественного языка. Таблица истинности – таблица значений формулы – указывает логическое значение формулы при любой ее интерпретации. Если в формуле n атомов, то возможных наборов их значений – 2n

Слайд 21

Описание слайда:

КЛАССИФИКАЦИЯ ФОРМУЛ АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ выполнимые ( = 1 хотя бы для одной конкретизации) тавтологии (общезначимые, тождественно истинные) ( = 1 для любой конкретизации) опровержимые ( = 0 хотя бы для одной конкретизации) противоречия (тождественно ложные) ( = 0 для любой конкретизации)

Слайд 22

Описание слайда:

ЛОГИЧЕСКАЯ РАВНОСИЛЬНОСТЬ Два высказывания равносильны, если они одновременно истинны или одновременно ложны. Две формулы равносильны, если их эквиваленция является тавтологией: Формулы равносильны тогда и только тогда, когда их таблицы истинности совпадают. Отношение равносильности формул является отношением эквивалентности. Поэтому множество всех формул разбивается на классы эквивалентности – классы равносильных формул.

Слайд 23

Описание слайда:

ПРОВЕРКА ОБЩЕЗНАЧИМОСТИ

Слайд 24

Описание слайда:

KLEENE ВВЕДЕНИЕ В МЕТАМАТЕМАТИКУ ОСНОВНЫЕ ТАВТОЛОГИИ

Слайд 25

Описание слайда:

KLEENE ВВЕДЕНИЕ В МЕТАМАТЕМАТИКУ ОСНОВНЫЕ ТАВТОЛОГИИ

Слайд 26

Описание слайда:

KLEENE ВВЕДЕНИЕ В МЕТАМАТЕМАТИКУ ОСНОВНЫЕ ТАВТОЛОГИИ

Слайд 27

Описание слайда:

KLEENE ВВЕДЕНИЕ В МЕТАМАТЕМАТИКУ ОСНОВНЫЕ ТАВТОЛОГИИ

Слайд 28

Описание слайда:

БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ Если формула содержит n переменных, то она задает некоторую функцию где = {0, 1}. Способы задания: формулой истинностной таблицей

Слайд 29

Описание слайда:

НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ДЛЯ ФОРМУЛ АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ Переход к равносильной формуле, содержащей только связки: отрицание конъюнкция дизъюнкция Конъюнктивным одночленом от переменных называется конъюнкция этих переменных или их отрицаний.

Слайд 30

Описание слайда:

НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ДЛЯ ФОРМУЛ АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ Дизъюнктивным одночленом от переменных называется дизъюнкция этих переменных или их отрицаний. Дизъюнктивной нормальной формой называется дизъюнкция конъюнктивных одночленов : где - кон. одн-ны (не обязательно различные)

Слайд 31

Описание слайда:

НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ДЛЯ ФОРМУЛ АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ Конъюнктивной нормальной формой называется конъюнкция дизъюнктивных одночленов : где - диз. одн-ны (не обязательно различные) Для формулы существует неограниченно много как конъюнктивных, так и дизъюнктивных нормальных форм СКНФ и СДНФ – единственны.

Слайд 32

Описание слайда:

СОВЕРШЕННЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ДЛЯ ФОРМУЛ АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ Одночлен от переменных называется совершенным, если в него от каждой пары входит один и только один представитель. СКНФ и СДНФ содержат только совершенные одночлены

Слайд 33

Описание слайда:

СОВЕРШЕННЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ДЛЯ ФОРМУЛ АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Слайд 34

Описание слайда:

СПОСОБЫ ПРИВЕДЕНИЯ ФОРМУЛЫ АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ К СН-ФОРМЕ СДН-форма: СКН-форма:

Слайд 35

Описание слайда:

СОВЕРШЕННЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ДЛЯ ФОРМУЛ АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ Теорема (о представлении формул алгебры высказываний совершенными импликативными нормальными формулами). Каждая не тождественно ложная формула алгебры высказываний от n аргументов имеет единственную (с точностью до перестановки импликативных членов) СИНФ.

Слайд 36

Описание слайда:

СПОСОБЫ ПРИВЕДЕНИЯ ФОРМУЛЫ АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ К СН-ФОРМЕ СИН-форма:

Слайд 37

Описание слайда:

БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА

Слайд 38

Описание слайда:

БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ ДВУХ АРГУМЕНТОВ

Слайд 39

Описание слайда:

БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ n АРГУМЕНТОВ

Слайд 40

Описание слайда:

ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДСТВИЕ

Слайд 41

Описание слайда:

ТЕОРЕМА О ДЕДУКЦИИ

Слайд 42

Описание слайда:

ПРАВИЛА ЛОГИЧЕСКИХ УМОЗАКЛЮЧЕНИЙ (ПРИМЕРЫ СТРУКТУР ПРАВИЛЬНОГО МЫШЛЕНИЯ) Правило вывода:

Слайд 43

Описание слайда:

ПРАВИЛА ЛОГИЧЕСКИХ УМОЗАКЛЮЧЕНИЙ (ПРИМЕРЫ СТРУКТУР ПРАВИЛЬНОГО МЫШЛЕНИЯ)

Слайд 44

Описание слайда:

АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ Логическая структура - условие, достаточное условие для (для того, чтобы бб было истинным, достаточно, чтобы истинным было высказывание ии ) - заключение, необходимое условие для (если истинно, то с небходимостью должно быть также истинным) Логическая структура - критерий для

Слайд 45

Описание слайда:

АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ Пусть теорема имеет форму Тогда утверждение называют обратным, - противоположным - обратным противоположному (явл. теоремой)

Слайд 46

Описание слайда:

АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ Теорема Тогда противоположное утверждение

Слайд 47

Описание слайда:

СПОСОБЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТЕОРЕМ косвенного доказательства, доказательства разбором случаев, от противного (приведения к абсурду), цепочкой импликаций, цепочкой эквиваленций. Энтимема – довод, в котором одна или несколько посылок или само заключение явно не формулируются.

Слайд 48

Описание слайда:

ДЕДУКТИВНЫЕ И ИНДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ Умозаключение – переход от посылок к заключению (следствию) (логическая операция, состоящая в получении нового высказывания из одного или нескольких ранее известных) Рассуждение – последовательность умозаключений, причем посылками последующих умозаключений служат следствия предыдущих умозаключений данной последовательности. Дедуктивное умозаключение, прежде всего, основано на анализе формальной (логической) структуры посылок и следствия, индуктивное – на анализе их содержания.

Слайд 49

Описание слайда:

ДЕДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ

Слайд 50

Описание слайда:

ИНДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ

Слайд 51

Описание слайда:

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ

Слайд 52

Описание слайда:

ПОНЯТИЕ ПРЕДИКАТА

Слайд 53

Описание слайда:

ПОНЯТИЕ ОДНОМЕСТНОГО ПРЕДИКАТА (ВЫРАЖАЕТ СВОЙСТВО)

Слайд 54

Описание слайда:

ПРИМЕРЫ ОДНОМЕСТНЫХ ПРЕДИКАТОВ

Слайд 55

Описание слайда:

ПОНЯТИЕ МНОГОМЕСТНОГО ПРЕДИКАТА (ВЫРАЖАЕТ ОТНОШЕНИЕ)

Слайд 56

Описание слайда:

КЛАССИФИКАЦИЯ ПРЕДИКАТОВ

Слайд 57

Описание слайда:

КВАНТОРЫ

Слайд 58

Описание слайда:

КВАНТОРЫ

Слайд 59

Описание слайда:

КВАНТОРЫ: ПРИМЕРЫ

Слайд 60

Описание слайда:

РАВНОСИЛЬНОСТЬ ПРЕДИКАТОВ

Слайд 61

Описание слайда:

СЛЕДОВАНИЕ ПРЕДИКАТОВ

Слайд 62

Описание слайда:

РАВНОСИЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ

Слайд 63

Описание слайда:

РАВНОСИЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ

Слайд 64

Описание слайда:

ЛОГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ

Слайд 65

Описание слайда:

ЛОГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ

Слайд 66

Описание слайда:

ПРИМЕРЫ ОПЕРАТОРОВ, СВЯЗЫВАЮЩИХ ПЕРЕМЕННЫЕ

Слайд 67

Описание слайда:

ПРИВЕДЕННАЯ ФОРМА

Слайд 68

Описание слайда:

ПРЕДВАРЕННАЯ НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА

Слайд 69

Описание слайда:

ПРОБЛЕМА РАЗРЕШЕНИЯ ДЛЯ ОБЩЕЗНАЧИМОСТИ И ВЫПОЛНИМОСТИ

Слайд 70

Описание слайда:

ИСЧИСЛЕНИЯ

Слайд 71

Описание слайда:

ИСЧИСЛЕНИЕ (ФОРМАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ)

Слайд 72

Описание слайда:

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Слайд 73

Описание слайда:

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: ПОЛНОТА ТЕОРИИ

Слайд 74

Описание слайда:

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ

Слайд 75

Описание слайда:

ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Слайд 76

Описание слайда:

ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Слайд 77

Описание слайда:

ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Слайд 78

Описание слайда:

ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Слайд 79

Описание слайда:

ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Слайд 80

Описание слайда:

ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ

Слайд 81

Описание слайда:

ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ

Слайд 82

Описание слайда:

ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ

Слайд 83

Описание слайда:

ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ

Слайд 84

Описание слайда:

ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ

Слайд 85

Описание слайда:

ТЕОРЕМА ГЁДЕЛЯ О НЕПОЛНОТЕ

Слайд 86

Описание слайда:

ТЕОРЕМА ГЁДЕЛЯ О НЕПОЛНОТЕ

Слайд 87

Описание слайда:

ТЕОРЕМА ГЁДЕЛЯ О НЕПОЛНОТЕ Логика второго порядка в математической логике – формальная система, расширяющая логику первого порядка возможностью квантификации (общности и существования) не только над переменными, но и над предикатами. Логика второго порядка несводима к логике первого порядка. В свою очередь, она расширяется логикой высших порядков и теорией типов.

Слайд 88

Описание слайда:

ЛОГИКА В ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Слайд 89

Описание слайда:

ОПРЕДЕЛЕНИЯ: СТРОЕНИЕ Свойство считают существенным для объекта, если оно присуще этому объекту и без него он не может существовать. Объем понятия – это множество всех объектов, обозначаемых одним термином (словом или группой слов). Содержание понятия – это множество всех существенных свойств объекта, отраженных в этом понятии

Слайд 90

Описание слайда:

ОПРЕДЕЛЕНИЯ: СТРОЕНИЕ Пример: Объем понятия «прямоугольник» – это множество различных прямоугольников, содержание – свойства прямоугольников: «иметь четыре прямых угла», «иметь равные противоположные стороны», «иметь равные диагонали» и т.д.

Слайд 91

Описание слайда:

ОПРЕДЕЛЕНИЯ: СТРОЕНИЕ если увеличивается объем понятия, то уменьшается его содержание, и наоборот. Например, объем понятия «квадрат» является частью объема понятия «прямоугольник», в содержании понятия «квадрат» содержится больше свойств, чем в содержании понятия «прямоугольник»

Слайд 92

Описание слайда:

ОПРЕДЕЛЕНИЯ: СТРОЕНИЕ Видовое отличие – это свойства (одно или несколько), которые позволяют выделить определяемые объекты из объема родового понятия.

Слайд 93

Описание слайда:

ОПРЕДЕЛЕНИЯ: СТРОЕНИЕ Если понятие а определено через род и видовое отличие, то о его объеме – множестве А – можно сказать, что в нем содержатся такие объекты, которые принадлежат множеству С (объему родового понятия с) и обладают свойством Р: А = {х: х ∈ С и Р(х)}.

Слайд 94

Описание слайда:

ОПРЕДЕЛЕНИЯ: СТРОЕНИЕ Одно и то же понятие определить через род и видовое отличие, соблюдая сформулированные выше правила, можно по-разному. Пример: квадрат – это прямоугольник, у которого соседние стороны равны; прямоугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны; ромб, у которого есть прямой угол; параллелограмм, у которого все стороны равны, а углы прямые.

Слайд 95

Описание слайда:

ОПРЕДЕЛЕНИЯ: СТРОЕНИЕ Первичные понятия косвенно определяются через систему аксиом математической теории Пример: В элементарной геометрии первичными могут быть: - множество геометр. элементов (точек, прямых, плоскостей) - отношения «принадлежит» («инцидентно»), «между», «равно» («конгруэнтно»)

Слайд 96

Описание слайда:

ОПРЕДЕЛЕНИЯ: СТРОЕНИЕ В определении только Q(x) является высказывательной формой Само определение – это соглашение, оно не является ни высказыванием, ни высказывательной формой (нет смысла говорить, истинно определение или ложно)

Слайд 97

Описание слайда:

ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ: СТРОЕНИЕ Внешний квантор общности в определении и теореме часто опускают Квантор существования опускать нельзя.

Слайд 98

Описание слайда:

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ А(х) => В(х), можно прочитать по разному: Из А(х) следует В(х). Всякое А(х) есть В(х). ЕСЛИ А(Х), ТО В(Х). В(х) есть следствие А(х). А(х) есть достаточное условие для В(х). В(х) есть необходимое условие для А(х).

Слайд 99

Описание слайда:

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ «число х кратно 4» => «число х кратно 2» Всякое число, которое кратно 4, кратно и 2. Если число кратно 4, то оно кратно и 2. Кратность числа 2 есть следствие кратности его 4. Кратность числа 4 есть достаточное условие для его кратности 2 (Для того чтобы число было кратно 2, достаточно, чтобы оно было кратно 4). Кратность числа 2 есть необходимое условие для его кратности 4 (Для того чтобы число было кратно 4, необходимо, чтобы оно было кратно 2).

Слайд 100

Описание слайда:

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ Данное Обратное данному Противоположное данному Контрапозитивное данному (обратное противоположному)

Слайд 101

Описание слайда:

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ Примеры: Дана теорема: «если число делится на 3 и 4, то оно делится на 12». Обратное: «если число делится на 12, то оно делится на 3 и 4» Противоположное: «если число не делится на 3 или не делится на 4, то оно не делится на 12». Контрапозитивное: «если число не делится на 12, то оно не делится на 3 или не делится на 4».

Слайд 102

Описание слайда:

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ Дана теорема: «во всяком прямоугольнике диагонали равны». Обратное: «если диагонали четырехугольника равны, то он является прямоугольником» контрпример: равнобокая трапеция Противоположное: «если четырехугольник не является прямоугольником, то в нем диагонали не равны» контрпример: равнобокая трапеция Контрапозитивное: «если диагонали четырехугольника не равны, то он не является прямоугольником».

Слайд 103

Описание слайда:

Слайд 104

Описание слайда:

ДЕДУКТИВНЫЕ И ИНДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ Дедуктивным называется умозаключение, в котором посылки и заключение находятся в отношении логического следования. Неполная индукция – это умозаключение, в котором на основании того, что некоторые объекты класса обладают определенным свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты данного класса.

Слайд 105

Описание слайда:

ПРИМЕРЫ СХЕМ ПРАВИЛЬНЫХ УМОЗАКЛЮЧЕНИЙ Правило заключения: Пример: Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х делится на 5. Запись числа 135 оканчивается цифрой 5. Следовательно, число 135 делится на 5.

Слайд 106

Описание слайда:

ПРИМЕРЫ СХЕМ ПРАВИЛЬНЫХ УМОЗАКЛЮЧЕНИЙ Правило отрицания: Пример: Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х делится на 5. Число 177 не делится на 5. Следовательно, оно не оканчивается цифрой 5.

Слайд 107

Описание слайда:

ПРИМЕРЫ СХЕМ ПРАВИЛЬНЫХ УМОЗАКЛЮЧЕНИЙ Правило силлогизма: Пример: Если число х кратно 12, то оно кратно 6. Если число х кратно 6, то оно кратно 3. Следовательно, если число х кратно 12, то оно кратно 3.

Слайд 108

Описание слайда:

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАССУЖДЕНИЯ

Слайд 109

Описание слайда:

ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДСТВИЕ

Слайд 110

Описание слайда:

Слайд 111

Описание слайда:

ПРАВИЛЬНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ Схема рассуждений называется правильной, если всякое рассуждение по этой схеме, все посылки которого истинны, имеет истинное заключение. Схема рассуждений называется неправильной, если существует рассуждение по этой схеме, все посылки которого истинны, а заключение ложно.

Слайд 112

Описание слайда:

ПРАВИЛЬНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ. ПРИМЕР Схема рассуждений правильная?

Слайд 113

Описание слайда:

ПРАВИЛЬНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ. ПРИМЕР Схема рассуждений правильная? В рассуждении посылки истинны, а заключение ложно. Значит, схема неправильная.

Слайд 114

Описание слайда:

ПРАВИЛЬНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ Чтобы доказать, что рассуждение является неправильным, достаточно привести пример рассуждения, имеющего ту же схему, посылки которого истинны, а заключение ложно. Чтобы доказать, что схема рассуждений является правильной, достаточно показать, что она является частным случаем какого-нибудь правила доказательства.

Слайд 115

Описание слайда:

БЕСКВАНТОРНЫЕ ПРАВИЛА ДОКАЗАТЕЛЬСТВА - правила удаления конъюнкции - правила введения конъюнкции - правила введения дизъюнкции - правило доказательства исключением случаев

Слайд 116

Описание слайда:

БЕСКВАНТОРНЫЕ ПРАВИЛА ДОКАЗАТЕЛЬСТВА - правило удаления импликации (modus ponens) - правило силлогизма - правило контрапозиции - правила де Моргана

Слайд 117

Описание слайда:

КВАНТОРНЫЕ ПРАВИЛА ДОКАЗАТЕЛЬСТВА - правило конкретизации - правило доказательства утверждений существования - правило обобщенной контрапозиции

Слайд 118

Описание слайда:

КВАНТОРНЫЕ ПРАВИЛА ДОКАЗАТЕЛЬСТВА - правило частного заключения - кванторные правила де Моргана

Слайд 119

Описание слайда:

ФОРМАЛИЗАЦИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ В учебниках (школьных, вузовских) доказательства даются как содержательные, поскольку излагаемые в них теории содержательные, либо полуформальные. При содержательном доказательстве не фиксируется внимание на используемой логике, правилах рассуждений, а применяется логика интуитивная. Для всякого содержательного дедуктивного доказательства, в принципе, возможно построение соответствующего ему формального доказательства со строгим обоснованием всех логических переходов.

Слайд 120

Описание слайда:

МЕТОДЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА Всякое математическое доказательство построено в соответствии с правилами доказательства, т.е. с правильными схемами рассуждений. Если в рассуждении встречаются слова «допустим» или «пусть», это свидетельствует о том, что в рассуждении используются допущения, а само рассуждение является непрямым. Рассуждение называют непрямым, или косвенным, если вывод в нем сделан не напрямую из предшествующих предложений, а на основе вспомогательных рассуждений, исходящих из допущений. Способы косвенного доказательства называют методами доказательства.

Слайд 121

Описание слайда:

МЕТОДЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. ОБОЗНАЧЕНИЯ Предложение в квадратных скобках обозначает допущение. Двойная черта означает, что во вспомогательном рассуждении может быть несколько шагов. При доказательстве условных утверждений вместо слов «Допустим А. Докажем В» обычно говорят «Дано А. Требуется доказать В».

Слайд 122

Описание слайда:

МЕТОД ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ПРИВЕДЕНИЕМ К НЕЛЕПОСТИ (REDUCTION AD ABSURDUM) Пусть А – произвольное предложение. Если требуется доказать предложение не-А (то есть опровергнуть предложение А), то А принимают в качестве допущения и выводят из него противоречие, т.е. предложения В и не-В для некоторого предложения В.

Слайд 123

Описание слайда:

МЕТОД ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ОТ ПРОТИВНОГО Пусть А – произвольное предложение. При доказательстве этим методом из допущения не-А выводят противоречие, после чего заключают, что обосновано само А.

Слайд 124

Описание слайда:

СПОСОБЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА МАТЕМ. ТЕОРЕМ косвенного доказательства доказательства разбором случаев, от противного (приведения к абсурду), цепочкой импликаций, цепочкой эквиваленций. Способ доказательства цепочкой импликаций основан на тавтологии транзитивности импликации, выражающейся в правиле силлогизма. Способ доказательства цепочкой эквиваленций – на тавтологии транзитивности эквиваленции

Слайд 125

Описание слайда:

ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В таких задачах, как правило, имеется ряд высказываний, относительно которых известно, что столько-то из них истинны, а столько-то ложны, но не известно, какие именно истинны, а какие ложны. Например, пусть имеется три высказывания U, V, W, из которых два истинны, а одно ложно. Учитывая эти условия, нужно составить из этих высказываний некое сложное высказывание, которое будет заведомо истинно (или ложно). Затем, используя законы логики, преобразовать его к виду, из которого определится ответ на вопрос задачи.

Слайд 126

Описание слайда:

ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В нашем примере так как два высказывания истинны, то все дизъюнкции пар высказываний будут истинными: Значит, будет истинной Равносильное преобразование этого выражения будет зависеть от структуры высказываний U, V, W.

Слайд 127

Описание слайда:

ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ. ЗАДАЧА ПРО ТУРИСТА. Турист направлялся к озеру и дошел до перекрестка, откуда одна дорога вела к озеру, а другая – нет. Какая из дорог шла к озеру, он не знал. На перекрестке сидели двое парней. Один из них всегда говорил правду, а второй – всегда лгал. На каждый вопрос они отвечали «да» или «нет». Все это было известно туристу, но он не знал, кто из них говорит правду. Тогда турист спросил каждого из парней об одном и том же и по их ответам безошибочно решил, какая дорога ведет к озеру. Какой это был вопрос?

Слайд 128

Описание слайда:

ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ. ЗАДАЧА ПРО ТУРИСТА. Решение. Очевидно, что вопрос должен быть составным высказыванием, в котором одно простое высказывание имеет известное туристу значение. Эта подсказка помогает прийти к следующему: верно, что 2⋅ 2 = 5 и что дорога, идущая налево, ведет к озеру? Обозначим первое высказывание (т. е. 2⋅2 = 5) из этой конъюнкции через v, а второе – через ω, причем v = 0. Для высказывания ω имеются две возможности: 1) ω = 0; 2) ω =1. Рассмотрим каждую из них.

Слайд 129

Описание слайда:

ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ. ЗАДАЧА ПРО ТУРИСТА. 1) Парень, говорящий правду, скажет, что (v ∧ω) = 0, а лгун – (v ∧ω) = 0, так как у него v =1, ω =1 и v ∧ω =1. 2) Говорящий правду ответит, что (v ∧ω) = 0, а лгун – (v ∧ω) =1, так как на самом деле v = 0, ω =1, (v ∧ω) = 0, а лгун должен все значения изменить на противоположные. Из рассмотрения этих случаев вытекает, что если ответы различные, то дорога выбрана правильно.

Теги Математическая логика

Похожие презентации