Линейная алгебра - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Линейная алгебра. Доклад-сообщение содержит 124 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Слайд 2

Описание слайда:

Линейная алгебра Литература 1. Б.Ш.Гулиян, Р.Я.Хамидуллин Математика . Базовый курс, М. ООО «Маркет ДС Корпорейшн,2008.

Слайд 3

Описание слайда:

Введение Линейная алгебра - это теория линейных алгебраических структур (линейных пространств, линейных отображений и т.д.). Результаты линейной алгебры, теории матриц необходимы во многих областях. Основное внимание мы будем уделять решению систем линейных уравнений со многими неизвестными.

Слайд 4

Описание слайда:

Слайд 5

Описание слайда:

Линейная алгебра проявляет единство двух основных подходов математики- абстрактности и приложимости. Для менеджеров и экономистов это путь к линейному программированию. Линейная алгебра проявляет единство двух основных подходов математики- абстрактности и приложимости. Для менеджеров и экономистов это путь к линейному программированию.

Слайд 6

Описание слайда:

Линейность представляет весьма общее понятие. Все линейные модели, процессы и явления обладают свойствами аддитивности и однородности. Аддитивность в математическом смысле означает следующее: если действие х приводит к эффекту , а действие у приводит к эффекту  , то совместное действие х+у приводит к совместному эффекту + . Линейность представляет весьма общее понятие. Все линейные модели, процессы и явления обладают свойствами аддитивности и однородности. Аддитивность в математическом смысле означает следующее: если действие х приводит к эффекту , а действие у приводит к эффекту  , то совместное действие х+у приводит к совместному эффекту + .

Слайд 7

Описание слайда:

Однородность означает, что если х приводит к эффекту , то х+х приводит к эффекту +, т.е. в общем случае kx приводит к эффекту k . Однородность означает, что если х приводит к эффекту , то х+х приводит к эффекту +, т.е. в общем случае kx приводит к эффекту k .

Слайд 8

Описание слайда:

С математической точки зрения линейные модели имеют определенные преимущества, т.к. линейные задачи всегда решаются (в том смысле, что не может сложиться ситуация, когда не бывает известно имеет ли решение задача). С математической точки зрения линейные модели имеют определенные преимущества, т.к. линейные задачи всегда решаются (в том смысле, что не может сложиться ситуация, когда не бывает известно имеет ли решение задача). Еще в 4 в. до н.э. Тамарид решал систему уравнений. Баше де Мезирак [1587-1638] предложил решение в целых числах системы с двумя уравнениями. Почти все линейные модели сводятся к системам алгебраических линейных уравнений или неравенств.

Слайд 9

Описание слайда:

Модуль вектора Как уже упоминалось, очень важной характеристикой вектора является его длина (модуль). Модуль вектора по определению равен (обобщенная теорема Пифагора) Числа х1, х2, х3 называются компонентами или координатами вектора.

Слайд 10

Описание слайда:

Операции над векторами Мы также будем записывать вектор кратко буквой со стрелкой. На множеств векторов вводится операция сложения и умножения на скаляр (т.е. векторное пространство), которые определяются так: Если хотя бы одна операция не определена, то это не векторы. Определена также геометрическая схема сложения.

Слайд 11

Описание слайда:

Геометрическая схема сложения векторов

Слайд 12

Описание слайда:

Векторы В пространстве имеется так называемый естественный или стандартный базис (о базисе ниже) из трех (единичных) векторов В этом случае вектор

Слайд 13

Описание слайда:

Векторы представим в виде Эти две записи (правая и левая) можно рассматривать как эквивалентные. Говорят, что вектор х разложим по векторам еi. Разложение вектора по базису единственно. Концепция разложения векторов на составляющие весьма полезна.

Слайд 14

Описание слайда:

Линейная зависимость векторов Множество векторов {an} называется линейно зависимым, если существуют коэффициенты {kn} не все равные нулю, что линейная комбинация равна нулю k1a1 + k2a2 + k3a3=0. Другими словами, если линейная комбинация равна нулю, но хотя бы один коэффициент отличен от нуля, то вектора линейно зависимы.

Слайд 15

Описание слайда:

Линейная зависимость векторов Если векторы линейно зависимы, то по крайней мере один из них линейно выражается через остальные. Подмножество векторов, не являющееся линейно зависимым, называется линейно независимым. Любое подмножество линейно независимого множества также линейно независимо.

Слайд 16

Описание слайда:

Пример линейно зависимых векторов Пример. Вектора на плоскости (-1; 4) и (2; -8) линейно зависимы, т.к. их линейная( одна из многих) комбинация равна нулю: -2(-1; 4) - (2; -8)=0.

Слайд 17

Описание слайда:

n-мерное векторное пространство . Базис Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного векторного пространства V, порождающих это пространство, называется его базисом. Существует много различных базисов. Однако все они обладают следующим свойством: любой элемент из нашего пространства V можно разложить по базису единственным способом.

Слайд 18

Описание слайда:

Единичным вектором является вектор, у которого длина равна единице (например, у вектора лишь одна компонента равна единице, а остальные равны нулю). Единичным вектором является вектор, у которого длина равна единице (например, у вектора лишь одна компонента равна единице, а остальные равны нулю). Вектор можно записывать в виде столбца

Слайд 19

Описание слайда:

Скалярное произведение векторов Векторы можно перемножать. Допустим, что у нас имеется два вектора и  обозначает угол между этими векторами. Тогда число, полученное по формуле

Слайд 20

Описание слайда:

Скалярное произведение векторов называют скалярным произведением векторов и обозначают также a b или  a, b . Скалярное произведение векторов является скалярной величиной. Оно может быть вычислено простым умножением модуля вектора a на проекцию вектора b на a или перемножением соответствующих компонент векторов и сложением результатов (суммирование попарных произведений):

Слайд 21

Описание слайда:

Скалярное произведение векторов АВ

Слайд 22

Описание слайда:

Скалярное произведение векторов Векторы a и b называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю a b = 0. Скалярное произведение линейно. Скалярное произведение позволяет нам ОПРЕДЕЛИТЬ норму (длину) вектора: Косинус угла  между векторами равен:

Слайд 23

Описание слайда:

Скалярное произведение векторов Пример. Пусть заданы векторы р(a, b) и q(c, d), тогда синус угла между ними может быть вычислен по формуле: где  - определитель, составленный из координат векторов (см. следующий слайд)

Слайд 24

Описание слайда:

Определитель Определитель  равен: Замечание

Слайд 25

Описание слайда:

Площадь параллелограмма Утверждение. Пусть ABCD произвольный параллелограмм, заданный векторами р(a, b) и q(c, d). Тогда площадь S параллелограмма равна . В самом деле: Замечание. Площадь треугольника равна1/2

Слайд 26

Описание слайда:

Равенство нулю определителя Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

Слайд 27

Описание слайда:

Определитель треугольной матрицы Например. Рассмотрим пример нахождения определителя. Мы можем к любой строке прибавить строку. Воспользуемся этим для преобразования определителя к

Слайд 28

Описание слайда:

треугольному виду( из 2-й строки вычтем 1-ую): треугольному виду( из 2-й строки вычтем 1-ую):

Слайд 29

Описание слайда:

Значение этого определителя не надо искать, т.к. его величина равна нулю(!).Третий столбец пропорционален первому. Значение этого определителя не надо искать, т.к. его величина равна нулю(!).Третий столбец пропорционален первому.

Слайд 30

Описание слайда:

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЦ Матрица – это определенным образом представленное множество чисел. Для удобства вычислений и обращения с ними, матрицы записываются в виде таблицы. С математической точки зрения матрицы ведут себя как вектора (линейные объекты) и они образуют векторное пространство. Чтобы рассмотреть этот объект более подробно нужно обратиться к системе линейных алгебраических уравнений. Но сначала приведем основные положения.

Слайд 31

Описание слайда:

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Матрица состоит из элементов – чисел. Нулевой матрицей называется матрица, у которой все элементы – нули. Квадратная матрица размера n называется единичной, если все её элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные – нули. Единичная матрица, как правило, обозначается буквой E или I:

Слайд 32

Описание слайда:

Слайд 33

Описание слайда:

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЦ Основные понятия. Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

Слайд 34

Описание слайда:

Решением системы называется упорядоченный набор из n чисел, обращающий каждое уравнение системы в тождество. Система, имеющая решение, называется совместной. Если система имеет только одно решение, то она называется определенной. Если система не имеет решений, то она называется несовместной.

Слайд 35

Описание слайда:

Если число уравнений системы совпадает с числом неизвестных, то система называется квадратной. Если число уравнений системы совпадает с числом неизвестных, то система называется квадратной. Преобразование, переводящее систему в новую систему, эквивалентную исходной, называется элементарным. К элементарным преобразованиям относятся следующие преобразования: перестановка местами двух уравнений системы, перестановка местами (переобозначение)

Слайд 36

Описание слайда:

двух неизвестных с учетом их коэффициентов (симметрично у всех уравнений), двух неизвестных с учетом их коэффициентов (симметрично у всех уравнений), умножение/деление обеих частей какого-либо уравнения системы на отличное от нуля число, замена уравнения системы на сумму или разность этого уравнения с любым другим уравнением системы (прибавление к уравнению линейной комбинации других уравнений).

Слайд 37

Описание слайда:

Если применить рассмотренные элементарные преобразования к матрице, то важнейшая ее характеристика - ранг не будет меняться. Сама матрица при этом изменит вид (подобно системе уравнений), но суть ее не изменится. Если применить рассмотренные элементарные преобразования к матрице, то важнейшая ее характеристика - ранг не будет меняться. Сама матрица при этом изменит вид (подобно системе уравнений), но суть ее не изменится.

Слайд 38

Описание слайда:

Слайд 39

Описание слайда:

Слайд 40

Описание слайда:

Далее мы будем основываться на системе (1) и рассмотрим прямоугольную таблицу, состоящую из p строк и q столбцов, которую мы назовем матрицей системы размера pq: Далее мы будем основываться на системе (1) и рассмотрим прямоугольную таблицу, состоящую из p строк и q столбцов, которую мы назовем матрицей системы размера pq:

Слайд 41

Описание слайда:

Слайд 42

Описание слайда:

Числа aij (i = 1,2, , m; j =1, 2, , n) называются элементами матрицы. Первый индекс фиксирует номер строки, а второй – номер столбца, в которых стоит данный элемент. Например, элемент а12 стоит в первой строке, во втором столбце. Множество всех pq матриц обозначим Числа aij (i = 1,2, , m; j =1, 2, , n) называются элементами матрицы. Первый индекс фиксирует номер строки, а второй – номер столбца, в которых стоит данный элемент. Например, элемент а12 стоит в первой строке, во втором столбце. Множество всех pq матриц обозначим М p, q. Если число столбцов матрицы равно числу строк, то матрица называется квадратной (Мn). Элементы aii образуют главную диагональ матрицы, идущую из левого верхнего угла в правый нижний (например, а11, а22…).

Слайд 43

Описание слайда:

Представленная матрица (2) называется матрицей коэффициентов системы линейных уравнений (1), а матрица (3)–расширенной матрицей для исходной системы уравнений. Представленная матрица (2) называется матрицей коэффициентов системы линейных уравнений (1), а матрица (3)–расширенной матрицей для исходной системы уравнений. Для того, чтобы получить расширенную матрицу, мы к матрице коэффициентов системы прибавляем (приписываем справа) столбец свободных элементов нашей системы (т.е. правые части). Число столбцов при этом увеличивается на единицу, а число строк остается тем же самым.

Слайд 44

Описание слайда:

На множестве матриц вводится понятие равенства. Две матрицы одинаковой размерности p  q называются равными, если в них все элементы с одинаковыми индексами равны. Приведем далее пример верхней треугольной матрицы На множестве матриц вводится понятие равенства. Две матрицы одинаковой размерности p  q называются равными, если в них все элементы с одинаковыми индексами равны. Приведем далее пример верхней треугольной матрицы

Слайд 45

Описание слайда:

На множестве согласованных (одинаковых) матриц вводится операция сложения, которая обозначается символом «плюс» + и также, по аналогии с векторами, вводится операция умножения матрицы на число («точка»), т.е. задается векторное пространство На множестве согласованных (одинаковых) матриц вводится операция сложения, которая обозначается символом «плюс» + и также, по аналогии с векторами, вводится операция умножения матрицы на число («точка»), т.е. задается векторное пространство (Мp, q). Рассмотрим умножение на число. Пусть A = (aij) – некоторая матрица и  – произвольный скаляр, т.е. действительное число.

Слайд 46

Описание слайда:

Под произведением A понимается матрица (aij), то есть при умножении матрицы A на число  все элементы матрицы A, умножаются на это число. Под произведением A понимается матрица (aij), то есть при умножении матрицы A на число  все элементы матрицы A, умножаются на это число. Сложение. Пусть A и B – матрицы одинаковой размерности: A = (aij), B = (bij). Под суммой A + B понимается матрица C = (cij) той же размерности, каждый элемент которой определяется покомпонентным сложением по формуле: cij = aij + bij .

Слайд 47

Описание слайда:

Сложение матриц Сложение матриц

Слайд 48

Описание слайда:

Операция сложения матриц коммутативна и ассоциативна (как для векторов). Операция сложения матриц коммутативна и ассоциативна (как для векторов). На множестве матриц вводится операция умножения одной матрицы на другую. Умножению матриц отвечает композиции линейных отображений. Эта операция чем-то напоминает скалярное умножение векторов (х1у1 + х2у2 +х3у3 ). Нейтральным элементом при умножении является единичная матрица. Необходимо отметить следующее: произведение определяется только для

Слайд 49

Описание слайда:

тех матриц, для которых выполняется следующее условие: тех матриц, для которых выполняется следующее условие: матрицу A можно умножить на матрицу B ( C = A  B), если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. Каждый элемент получившейся матрицы C определяется по формуле:

Слайд 50

Описание слайда:

т.е. элемент cij матрицы C равен сумме произведений элементов i-ой строки первой матрицы- сомножителя на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы-сомножителя (скалярное произведение строки и столбца). т.е. элемент cij матрицы C равен сумме произведений элементов i-ой строки первой матрицы- сомножителя на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы-сомножителя (скалярное произведение строки и столбца). Из сказанного следует, что если можно найти произведение матриц AB, то произведение BA, вообще говоря, может не существовать( т.е умножение матриц не коммутативно). Но умножение матриц ассоциативно (АВ)С=А(ВС). Заметим, что умножение векторов – коммутативно.

Слайд 51

Описание слайда:

Слайд 52

Описание слайда:

Умножение матриц С=АВ

Слайд 53

Описание слайда:

Структура произведения Структура произведения =

Слайд 54

Описание слайда:

x11 x12 x13 y11 x11 x12 x13 y11 y 21 y31 = х11 у11+x12  y21+ x13  y31= некоторое число

Слайд 55

Описание слайда:

Если произведения AB и BA одновременно определены, то, вообще говоря, эти произведения могут быть не равны. Это означает, что умножение матриц не коммутативно. Например, Если произведения AB и BA одновременно определены, то, вообще говоря, эти произведения могут быть не равны. Это означает, что умножение матриц не коммутативно. Например,

Слайд 56

Описание слайда:

Мы получили в результате две неравные матрицы. Мы получили в результате две неравные матрицы. Если операция произведения матриц выполнима, то выполняется условие дистрибутивности: (А+В)С=АС+ВС Общие правила алгебраических действий для матриц: 1) A + B = B + A;

Слайд 57

Описание слайда:

2)  (A + B) = A + B; 3) (A + B) + C = A + (B + C); 4) (AB)C = A(BC); 5) A(B + C) = AB + AC.

Слайд 58

Описание слайда:

Слайд 59

Описание слайда:

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Метод Гаусса – классический способ решения системы линейных алгебраических уравнений путем последовательного исключения неизвестных и преобразования системы уравнений к ступенчатому (треугольному) виду, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Слайд 60

Описание слайда:

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Рассмотрим для примера систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными, которая имеет вид: где a, b, c, d, g, f – заданные числа; x, y – неизвестные. Числа a, b, c, d – коэффициенты при неизвестных; f, g – свободные члены.

Слайд 61

Описание слайда:

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Решение этой системы уравнений может быть найдено основными методами подстановки и сложения или же Крамера. 1. Метод подстановки. Из одного уравнения выражаем неизвестное, например x, через коэффициенты

Слайд 62

Описание слайда:

Метод подстановки и другое неизвестное - y (предполагаем а≠0): x = ( f – by ) / a Подставляем во второе уравнение вместо x : c·( f – by ) / a + dy = g. Находим у и т.д. 2.Сложение или вычитание. Этот метод можно проиллюстрировать так.

Слайд 63

Описание слайда:

Метод сложения Рассмотрим пример. Из одного уравнения вычитаем/складываем другое (это элементарное преобразование), например

Слайд 64

Описание слайда:

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Идея состоит в исключении переменных. С точки зрения линейной алгебры этот метод соответствует разложению матрицы коэффициентов в произведение A=NU нижней треугольной N и верхней треугольной матрицы U. С точки зрения вычислительной математики число арифметических операций при этом пропорционально n3/3.

Слайд 65

Описание слайда:

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений При решении систем чаще всего число уравнений совпадает с числом неизвестных (например, линейная модель экономики В. Леонтьева или статистические регрессивные модели). В этих случаях удается найти единственное решение задачи. Если число неизвестных больше числа уравнений, например, в задачах линейного программирования, то может существовать бесконечное число решений. Может встретиться система, где число уравнений больше числа неизвестных. Однако может оказаться, что не все эти уравнения

Слайд 66

Описание слайда:

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений являются независимыми, а некоторые могут представлять линейную комбинацию других. В этом случае желательно найти достаточное количество независимых уравнений, чтобы получить решение. На основе рассмотренного примера при решении произвольных систем возникает желание найти процедуру, например, процедуру последовательного исключения неизвестных и нахождения величин x1, x2,…, xn, которые удовлетворяют всем нашим уравнениям. Рассмотрим пример.

Слайд 67

Описание слайда:

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Предположим, что нам надо решить систему линейных уравнений, например:

Слайд 68

Описание слайда:

метод 1. Устанавливается строка, с помощью которой будем производить исключение и находим ведущий элемент (стрелка); 2. Проводим с помощью элементарных преобразований исключение переменной х1 из всех уравнений (кроме первого); 3. Аналогично исключаем х2, х3 ,… хn-1 , пока не останется одно уравнение; 4. Система решается снизу вверх путем подстановки найденных решений в соответствующие уравнения.

Слайд 69

Описание слайда:

В первом уравнении ведущий или разрешающий коэффициент(со стрелочкой) равен двум (не равен нулю). Мы используем первое уравнение для исключения х1. Делим это уравнение на два и три раза отнимаем его из второго уравнения, получаем: В первом уравнении ведущий или разрешающий коэффициент(со стрелочкой) равен двум (не равен нулю). Мы используем первое уравнение для исключения х1. Делим это уравнение на два и три раза отнимаем его из второго уравнения, получаем:

Слайд 70

Описание слайда:

Первое уравнение у нас остается без изменения. Для дальнейшего исключения х1 просто вычитаем модифицированное первое уравнение из третьего и получаем: Первое уравнение у нас остается без изменения. Для дальнейшего исключения х1 просто вычитаем модифицированное первое уравнение из третьего и получаем:

Слайд 71

Описание слайда:

Используя второе уравнение из новой системы, исключаем х2 в третьем уравнении. Для этого мы можем второе уравнение умножить на пять и вычесть из третьего Используя второе уравнение из новой системы, исключаем х2 в третьем уравнении. Для этого мы можем второе уравнение умножить на пять и вычесть из третьего

Слайд 72

Описание слайда:

В итоге после элементарных преобразований получаем эквивалентную систему: В итоге после элементарных преобразований получаем эквивалентную систему:

Слайд 73

Описание слайда:

Из третьего уравнения находим х3 =3. Подставляя это значение в первые два уравнения, находим остальные неизвестные Из третьего уравнения находим х3 =3. Подставляя это значение в первые два уравнения, находим остальные неизвестные

Слайд 74

Описание слайда:

Окончательно находим решение системы х1 =1, х2 =2, х3 =3. Окончательно находим решение системы х1 =1, х2 =2, х3 =3. Модифицированный метод (Гаусса-Жордана) предполагает, что первый (и второй) шаг являются таким же как в методе Гаусса и мы получаем систему (5). Далее, используя второе уравнение получаем х2 и результат подставляем и в первое и в третье уравнения. Об этом см. далее. Если в результате преобразований все коэффициенты при неизвестных в какой-нибудь строке окажутся равными

Слайд 75

Описание слайда:

нулю, а правая часть не будет равна нулю, то данная система несовместна. нулю, а правая часть не будет равна нулю, то данная система несовместна. Метод Жордана-Гаусса Решить систему уравнений:

Слайд 76

Описание слайда:

Запишем матрицу и приведем ее к разрешенному виду за пять шагов (ведущий элемент отмечаем штрихом). Из первой и третьей строк вычитаем вторую: Запишем матрицу и приведем ее к разрешенному виду за пять шагов (ведущий элемент отмечаем штрихом). Из первой и третьей строк вычитаем вторую:

Слайд 77

Описание слайда:

Из третьей вычитаем первую:

Слайд 78

Описание слайда:

К первой прибавляем третью (6 раз)

Слайд 79

Описание слайда:

Из третьей вычитаем первую:

Слайд 80

Описание слайда:

Ко второй прибавляем первую (5 раз):

Слайд 81

Описание слайда:

В результате исходная система принимает следующий вид: В результате исходная система принимает следующий вид: В итоге имеем решение: х1 =-2; х2 =2; х3 =1.

Слайд 82

Описание слайда:

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Рассмотрим квадратную систему линейных уравнений, например:

Слайд 83

Описание слайда:

Для того, чтобы избавиться от х1 мы должны определиться с коэффициентом a11 (ведущий элемент) и убедиться, что он отличен от нуля. Если это не так, то нужно было бы переставить местами уравнения, поставив первым то уравнение, у которого коэффициент при x1 не равен нулю. Для того, чтобы избавиться от х1 мы должны определиться с коэффициентом a11 (ведущий элемент) и убедиться, что он отличен от нуля. Если это не так, то нужно было бы переставить местами уравнения, поставив первым то уравнение, у которого коэффициент при x1 не равен нулю. 1) поскольку в нашем случае a110, первое уравнение оставим без изменений;

Слайд 84

Описание слайда:

2) наша задача исключить x1 из второго и т.д. уравнений; исключим x1 во втором уравнении системы: для этого вычтем из второго уравнения системы первое уравнение, умноженное на 4; 2) наша задача исключить x1 из второго и т.д. уравнений; исключим x1 во втором уравнении системы: для этого вычтем из второго уравнения системы первое уравнение, умноженное на 4; 3) аналогично исключим x1 в третьем уравнении системы: для этого вычтем из третьего уравнения системы первое уравнение, умноженное на 3; 4) исключим x1 в четвертом уравнении системы: для этого вычтем из четвертого уравнения системы первое уравнение, умноженное на 5. Переменные можно не рассматривать.

Слайд 85

Описание слайда:

Продолжим. Преобразуем полученную матрицу следующим образом: Продолжим. Преобразуем полученную матрицу следующим образом: 1) первые две строки оставим без изменения, поскольку элемент a22 не равен нулю (=10);

Слайд 86

Описание слайда:

2) вместо третьей строки запишем разность между второй строкой и удвоенной третьей; мы можем так поступать. 2) вместо третьей строки запишем разность между второй строкой и удвоенной третьей; мы можем так поступать. 3) четвертую строку заменим разностью между удвоенной второй строкой и умноженной на 5 четвертой. В результате получится матрица, соответствующая системе, у которой неизвестная x1 исключена из всех уравнений, кроме первого, а неизвестная x2 — из всех уравнений кроме первого и второго:

Слайд 87

Описание слайда:

Теперь исключим неизвестную x3 из четвертого уравнения. Для этого полученную матрицу преобразуем так: Теперь исключим неизвестную x3 из четвертого уравнения. Для этого полученную матрицу преобразуем так: 1) первые три строки оставим без изменения, так как a33  0; 2) четвертую строку заменим разностью между третьей, умноженной на 39, и четвертой:

Слайд 88

Описание слайда:

Слайд 89

Описание слайда:

Очевидно, мы получили треугольную систему. Очевидно, мы получили треугольную систему. Отсюда находим : x4 = 2. Подставив это значение в третье уравнение, получим x3 = 3. Теперь из второго уравнения следует, что x2 = 1, а из первого, что x1 = –1. Очевидно, что полученное решение единственно (возможна проверка).

Слайд 90

Описание слайда:

То есть наша матрица представляет собой в общем случае ступенчатую матрицу, которую получили преобразованием (Гаусса). Но может быть это случайно? На самом деле любая матрица посредством серии элементарных преобразований может быть приведена к ступенчатой. То есть наша матрица представляет собой в общем случае ступенчатую матрицу, которую получили преобразованием (Гаусса). Но может быть это случайно? На самом деле любая матрица посредством серии элементарных преобразований может быть приведена к ступенчатой.

Слайд 91

Описание слайда:

Транспонирование матрицы. Транспонирование матрицы. При транспонировании матрицы строки и столбцы меняются местами. Операция транспонирования обозначается звездочкой или индексом Т.

Слайд 92

Описание слайда:

Слайд 93

Описание слайда:

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА ОБРАТНАЯ МАТРИЦА Обратная матрица вводится по аналогии с алгебраическим соотношением а  а -1=1. Пусть A – квадратная матрица. Обратной матрицей к матрице A называется такая матрица A–1, для которой справедливы равенства: А A–1 = A–1 A = E. Таким образом, произведение матрицы на обратную равно единичной матрице.

Слайд 94

Описание слайда:

Заметим, что не всякая квадратная матрица имеет обратную матрицу. Заметим, что не всякая квадратная матрица имеет обратную матрицу. Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной (т.е. определитель не равен нулю или все строки – линейно независимы). Для того, чтобы найти обратную матрицу к матрице второго порядка 2х2:

Слайд 95

Описание слайда:

необходимо воспользоваться формулой:

Слайд 96

Описание слайда:

По этой формуле, если разность ad-bc не равна нулю (т.е. матрица А не вырождена) обратная матрица получается из исходной заменой местами чисел a и d относительно боковой диагонали, при одновременном изменении знака у b и c на противоположный. Вновь полученная матрица умножается на коэффициент По этой формуле, если разность ad-bc не равна нулю (т.е. матрица А не вырождена) обратная матрица получается из исходной заменой местами чисел a и d относительно боковой диагонали, при одновременном изменении знака у b и c на противоположный. Вновь полученная матрица умножается на коэффициент (ad-bc)-1 . Например:

Слайд 97

Описание слайда:

Слайд 98

Описание слайда:

Свойства обратной матрицы Е-1 =Е; (А-1) -1 =А. Для получения обратной матрицы достаточно к строкам единичной матрицы применить те преобразования, которые приводят матрицу А к единичной (метод Жордана-Гаусса).

Слайд 99

Описание слайда:

Слайд 100

Описание слайда:

ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ Основные понятия. Часто в математике желательно охарактеризовать объект, определяемый многими параметрами, с помощью одной величины. Пример такого рода – определитель. Определитель является инвариантом.

Слайд 101

Описание слайда:

Определение детерминанта det Квадратной матрице А (порядка n) ставится в соответствие число, называемое определителем или детерминантом (det), вычисляемое на основе значений ее элементов. Определитель равен алгебраической сумме всевозможных произведений его элементов, по одному из каждой строки и каждого столбца. Слагаемые называются членами определителя.

Слайд 102

Описание слайда:

Определение детерминанта det Каждый член определителя равен произведению n элементов матрицы А. Число всех членов определителя n -го порядка равно n!.

Слайд 103

Описание слайда:

Свойства определителя Определитель не меняется при транспонировании матрицы. Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда строки (столбцы) матрицы линейно зависимы. Такая матрица называется вырожденной. Если любую строку матрицы умножить на число, то и определитель матрицы умножится на это число.

Слайд 104

Описание слайда:

Свойства определителя Определитель меняет знак, если две строки поменять местами. !!! Определитель не меняется, если к какой-либо строке матрицы прибавить любую линейную комбинацию остальных строк. Если элементы строки матрицы представлены в виде суммы aij= bij+cij, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки,

Слайд 105

Описание слайда:

кроме i–ой такие же, а i–я строка в одном из них содержит элемент bij, а в другом - cij. кроме i–ой такие же, а i–я строка в одном из них содержит элемент bij, а в другом - cij. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. Теорема. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей матриц-сомножителей.

Слайд 106

Описание слайда:

Свойства определителя обратной матрицы det(AВ)=det(A) det(В) det(A-1 )=1/det (A)

Слайд 107

Описание слайда:

МЕТОД КРАМЕРА

Слайд 108

Описание слайда:

Рассмотрим теперь систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными Рассмотрим теперь систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными Эту систему решаем с помощью определителей. Для этого нам нужно найти определитель третьего порядка.

Слайд 109

Описание слайда:

Определителем произвольной квадратной матрицы третьего порядка Определителем произвольной квадратной матрицы третьего порядка называется сумма шести слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение трех элементов матрицы, выбираемых

Слайд 110

Описание слайда:

по следующему правилу: три произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали по следующему правилу: три произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали берутся со знаком "", а три произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и в вершинах двух других треугольников

Слайд 111

Описание слайда:

с основаниями, параллельными побочной диагонали с основаниями, параллельными побочной диагонали берутся со знаком "". Итак, мы видим, что полученный определитель равен алгебраической сумме всевозможных произведений его элементов, по одному из каждой строки и каждого столбца.

Слайд 112

Описание слайда:

Нахождение определителя  матрицы А третьего порядка

Слайд 113

Описание слайда:

Определитель третьего порядка обозначается в вертикальных отрезках: Определитель третьего порядка обозначается в вертикальных отрезках:

Слайд 114

Описание слайда:

Вернемся к решению нашей системы (6). Например методом уравнивания коэффициентов, по аналогии с предыдущим получим: Вернемся к решению нашей системы (6). Например методом уравнивания коэффициентов, по аналогии с предыдущим получим: x1 = 1; x2 = 2; x3 = 3, (7) где «дельта» равны

Слайд 115

Описание слайда:

Слайд 116

Описание слайда:

Обратите внимание, что в определителе 1 первый столбец матрицы коэффициентов заменен на столбец свободных членов. В определителе 2 второй столбец матрицы заменен на столбец свободных членов и в определителе 3 последний столбец заменен на столбец свободных членов. Это надо запомнить. Обратите внимание, что в определителе 1 первый столбец матрицы коэффициентов заменен на столбец свободных членов. В определителе 2 второй столбец матрицы заменен на столбец свободных членов и в определителе 3 последний столбец заменен на столбец свободных членов. Это надо запомнить.

Слайд 117

Описание слайда:

Слайд 118

Описание слайда:

Слайд 119

Описание слайда:

Решение системы уравнений методом Крамера

Слайд 120

Описание слайда:

Слайд 121

Описание слайда:

Слайд 122

Описание слайда:

Ранг матрицы Наибольший из порядков отличных от нуля миноров матрицы А называется рангом матрицы. Ранг матрицы обозначается rank(A) или r(А). Ранг матрицы А совпадает с рангом, определяемым по столбцам (строкам). Ранг матрицы (по строкам) равен максимальному числу линейно независимых строк. Аналогично по столбцам. Для любой матрицы ранг по строкам и ранг по столбцам совпадают. Например,