🗊Презентация Математическая модель Лотки-Вольтерры

ФЕНОМЕН МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЛОТКИ–ВОЛЬТЕРРЫ И СХОДНЫХ С НЕЙ Шилова Н.А.

Математическая модель Лотки-Вольтерры

Основные гипотезы модели на основе экологических примеров Модель Лотки–Вольтерры – есть математическое описание дарвинского принципа борьбы за существование. Она описывает взаимодействие двух видов – популяции хищников и популяции жертв. N(t) – численность жертв P(t) – численность хищников где a,b,d,c – положительные постоянные.

Основные гипотезы модели на основе экологических примеров Система уравнений основана на следующих допущениях: • при отсутствии хищников жертвы размножаются неограниченно согласно уравнению dN/dt = aN, которое называют иногда уравнением Мальтуса; • хищники при отсутствии жертв вымирают согласно уравнению dP/dt = −dP; • слагаемые, пропорциональные произведению NP, рассматриваются как превращение энергии одного источника в энергию другого (эффект влияния популяции хищников на популяцию жертв, то есть результат их встречи, состоит в уменьшении скорости прироста dN/dt численности жертв на величину NP, пропорциональную численности хищников). Данная модель является структурно-неустойчивой

Система «хищник-жертва» с учетом внутривидовой конкуренции N(t) – численность жертв P(t) – численность хищников где K1,2 – потенциальные емкости экологических систем, которые определяются доступным количеством ресурсов и соответствуют предельным значениям численности популяций.

Модель конкуренции и модель мутуализма (симбиоза) Модель конкуренции где – положительные постоянные. Анализ системы уравнений показывает: если n популяций линейно зависят от m ресурсов, причем m < n, то по крайней мере одна из популяций вымирает Модель мутуализма (симбиоза) ++ ++ Для описания мутуализма достаточно потребовать, чтобы

Возможные дополни- тельные факторы внутри- и межпопуляционных отношений Нелинейная зависимость скорости размножения популяций жертв от плотности при малых значениях плотности (отсутствие достаточного количества брачных пар): , где a и N – положительные постоянные. Внутривидовая конкуренция жертв: Насыщение хищников: – трофическая функция хищника. Нелинейный характер выедания хищниками жертв: •Конкуренция хищников за жертв: При этом B(u, v) = = B1(u)B2(v). Конкуренция хищников за отличные от жертв ресурсы: Нелинейный характер зависимости скорости размножения хищника от плотности популяции при малых значениях плотности: , при этом

1. Математическая модель взаимодействия загрязнения с окружающей средой Ситуация «загрязнение – природа» частный случай модели «хищник-жертва» N(t) – численность жертв природа P(t) – численность хищников загрязнение Главное предположение окружающая среда активно абсорбирует и перерабатывает загрязнение вплоть до определенного предела Сценарии взаимодействия 1. При малых выбросах загрязнения окружающая среда его полностью перерабатывает (устойчивая ситуация). 2. При увеличении выбросов загрязнения в зависимости от внешних условий и случайных причин окружающая среда может находиться в удовлетворительном состоянии, а может и погибнуть (бистабильная ситуация) 3. Наконец, третья ситуация соответствует экологической катастрофе – полному вымиранию природы

1. Математическая модель взаимодействия загрязнения с окружающей средой Построение модели: Р – концентрация загрязнения E – плотность биомассы. В случае постоянно действующего источника загрязнения, скорость его изменения можно описать следующим образом: где а – мощность источника загрязнения в единицу времени, b-– коэффициент естественного уничтожения загрязнения. При начальном условии решение уравнения имеет вид то есть со временем концентрация загрязнения уменьшается естественным образом Гипотеза: загрязнение находится в постоянном взаимодействии с окружающей средой, которая оказывает очищающий эффект на загрязнение. Тогда процесс взаимодействия с окружающей средой можно описать следующей системой уравнений:

1. Простейшая модель взаимодействия загрязнения с окружающей средой Примем в качестве функций взаимодействия загрязнения и живой природы

2. Математическая модель очистки сточных вод

2. Математическая модель очистки сточных вод

3. Моделирование классовой борьбы

3. Моделирование классовой борьбы

4. Сходная идеология людей для описания военных действий

5. Простейшая вирусная модель инфекционного заболевания

5. Простейшая вирусная модель инфекционного заболевания

6. Сходные модели распространения эпидемий

6. Сходные модели распространения эпидемий В книге предложено использовать модель, рассмотренную выше, с некоторой модификацией для анализа заражения вирусом компьютеров. Постановка задачи следующая: Пусть S – число компьютеров, которые подвергаются заражению вирусом, I – часть компьютеров, зараженных вирусом и не имеющих антивирусного программного обеспечения, R – часть компьютеров, имеющих должную антивирусную защиту (иммунитет).

6. Модификация модели распространения эпидемий

7. Обобщенная модель Лотки–Вольтерры для описания взаимодействия когнитивных и/или эмоциональных мод мозга