🗊Презентация Модель поведения потребителя

Модель поведения потребителя

Набор и пространство товаров Рассмотрим рынок, на котором продаются товары n видов. Пусть p1, p2, …, pn – цены этих товаров. Вектор p = (p1 p2 … pn ) называют вектором цен Пусть некоторый потребитель обладает богатством I ден. ед., и xi – это количество единиц i-го товара, которые данный потребитель приобретает на рынке (i = 1, 2, …, n). Вектор называется набором товаров, а множество всех наборов товаров называется пространством товаров

Бюджетное множество Стоимость набора товаров x равна Бюджетное множество B – это множество наборов товаров x C, которые может себе позволить приобрести при данных ценах p1, p2, …, pn потребитель, обладающий богатством I (при этом предполагается, что тратить все деньги необязательно) Бюджетное множество является выпуклым, ограниченным и замкнутым

Пример 1 В пространстве трех товаров известен вектор цен p = (2 5 6) , богатство потребителя I = 30 ден. ед. Требуется описать бюджетное множество с помощью системы неравенств и изобразить его графически.

Пример построения бюджетного множества Бюджетное множество имеет вид и представляет собой трехгранную пирамиду, одна вершина которой находится в начале координат, а три другие — соответственно в точках I/ p1 = 30/2 = 15, I/ p2 = 30/5 = 6 и I/ p3 = 30/6 = 5 на осях Ox1, O x2, и O x3

Предпочтения потребителя Запись xy означает, что потребитель считает набор товаров x не хуже набора товаров y. Первая аксиома потребителя: относительно любых двух наборов товаров x, y C потребитель может однозначно сказать, верно ли, что x y . Тем самым, на пространстве товаров задано отношение слабого предпочтения «», которое определяет еще два отношения на пространстве товаров: отношение равноценности «∼»: x ∼ y тогда и только тогда, когда одновременно верно, что x y и y x ; запись «x ∼ y» означает равноценность наборов товаров x и y с точки зрения данного потребителя: x не хуже y, а y не хуже x; отношение сильного предпочтения «≻»: x ≻ y тогда и только тогда, когда верно, что xy , и неверно, что x ∼ y; запись «x ≻ y » означает, что набор товаров x с точки зрения данного потребителя строго лучше набора товаров y: x не хуже y, но при этом x и y не равноценны.

Аксиомы потребителя Вторая аксиома потребителя описывает свойства отношений «», « ∼ » и «≻»: отношения слабого предпочтения и равноценности являются рефлексивными (т.е. для любого набора товаров x C верно, что x x и x ∼ x); отношения слабого предпочтения, равноценности и сильного предпочтения являются транзитивными (т.е. для любых наборов товаров x, y, z C из того, что x y , а y z , следует, что x z ; из того, что x ∼ y, а y ∼ z , следует, что x ∼ z ; из того, что x ≻ y , а y ≻ z , следует, что x ≻ z ); отношение равноценности является симметричным (т.е. из того, что x ∼ y, следует, что y ∼ x). Третья аксиома потребителя говорит о том, что каждый товар является для потребителя желательным, т.е. если x≥y , то x y , а если x > y, то x ≻ y .

Функция полезности Привлекательность различных наборов товаров удобнее оценивать не с помощью отношений предпочтения и равноценности, а с помощью функции полезности (функции уровня жизни, функции благосостояния), которая ставит в соответствие каждому набору товаров x C некоторое число u(x) – полезность данного набора товаров – и удовлетворяет двум условиям: u(x) ≥ u(y) x y; u(x) = u(y) x ∼ y .

Функция полезности Если выбран некоторый набор товаров x C , то множество называется множеством предпочтительности для x, а множество называется множеством непредпочтительности для данного набора товаров. Система предпочтений называется непрерывной, если для любого набора товаров x C множества предпочтительности и непредпочтительности являются замкнутыми.

Теорема Дебре Если система предпочтений потребителя непрерывна, то для такого потребителя существует непрерывная функция полезности Будем считать функцию полезности дифференцируемой, при этом частная производная i имеет смысл предельной полезности i-го товара: она показывает, насколько увеличится полезность, если добавить к данному набору товаров x еще одну единицу i-го товара

Предельная полезность Будем считать функцию полезности дифференцируемой. Частная производная i имеет смысл предельной полезности i-го товара: она показывает, насколько увеличится полезность, если добавить к данному набору товаров x еще одну единицу i-го товара

Свойства функции полезности функция полезности определяется неоднозначно (если u(x) – некоторая функция полезности, то, например, u1(x) = u(x) + a, u2(x) = bu(x) [при b > 0], u3(x) = logc(u(x)) [при c > 1] и любая другая строго возрастающая функция от u(x) также будут функциями полезности); функция полезности является строго возрастающей (аксиома желательности утверждает, что из того, что x > y, следует, что x ≻ y ; по определению функции полезности x ≻ y u(x) > u(y) , значит, если x > y, то u(x) > u(y) ); предельные полезности товаров положительны (поскольку функция полезности является строго возрастающей и дифференцируемой, то i > 0);

Свойства функции полезности небольшой прирост блага при его первоначальном отсутствии резко увеличивает полезность (или, иначе, предельная полезность первой единицы товара бесконечна): по мере увеличения потребления товара его предельная полезность уменьшается (первый закон Госсена): при очень большом объеме потребления товара его дальнейшее увеличение не приводит к росту полезности:

Основные виды функции полезности мультипликативная: логарифмическая: квадратичная: пропорциональная:

Поверхность безразличия Множество равноценных с точки зрения данного потребителя наборов товаров называется поверхностью безразличия. Если u(x) – функция полезности данного потребителя, то поверхность безразличия – это множество наборов товаров, обладающих одинаковой полезностью: В дифференциальной форме условие u(x) = u0 = const записывается следующим образом:

Поверхность безразличия и градиент функции полезности Градиент функции полезности равен вектору предельных полезностей: Условие du = 0 означает, что градиент функции полезности перпендикулярен касательной к поверхности безразличия

Предельная норма замены Чтобы старый и новый наборы товаров оказались на одной поверхности безразличия, необходимо выполнение условия du = 0. Т.к. dxk = 0 при k ≠ i, k ≠ j , тогда получим, что Величина называется предельной нормой замены i-го товара j-м; она показывает, на сколько единиц должно увеличиться количество j-го товара, чтобы компенсировать потерю единицы i-го товара (т. е. чтобы полезность набора товаров не изменилась).

Эластичность замены Эластичность замены i-го товара j-м (eij) показывает, на сколько процентов должно увеличиться количество j-го товара, чтобы компенсировать уменьшение количества i-го товара на 1%:

Задача потребителя Требуется из бюджетного множества выбрать набор товаров, обладающий максимальной полезностью: С учетом бюджетного ограничения получаем задачу выпуклого программирования

Теорема существования и единственности решения задачи потребителя Решение задачи потребителя существует, лежит на границе бюджетного множества: и если функция полезности является строго выпуклой вверх, то решение задачи потребителя является единственным

Решение задачи потребителя методом множителей Лагранжа Задача поиска условного экстремума Функция Лагранжа Условный максимум

Свойства решения задачи потребителя В оптимальной точке возможны два варианта: либо j-й товар потребляется в ненулевом количестве, и тогда либо , и тогда j-й товар не потребляется

Свойства решения задачи потребителя Если в оптимальной точке i-й и j-й товары потребляются в ненулевом количестве, то предельная норма замены i-го товара j-м равна отношению цен i-го и j-го товаров Второй закон Госсена: взаимозаменяемыми являются такие количества товаров, которые имеют одинаковую стоимость

Свойства решения задачи потребителя Вектор предельных полезностей потребляемых (в ненулевом количестве) товаров пропорционален вектору цен: У всех потребляемых (в ненулевом количестве) товаров в оптимальной точке отношения предельных полезностей к ценам совпадают и равны λ*:

Экономический смысл множителя Лагранжа λ* Множитель Лагранжа равен предельной полезности одной денежной единицы (поскольку в оптимальной точке часть предельной полезности каждого товара, приходящаяся на единицу его цены, равна λ*)

Функция спроса Если из условий условного экстремума выразить x* как функцию от цен и богатства, то получим функцию спроса данного потребителя:

Дифференциальные свойства функции спроса Если решение задачи потребителя дифференцируемо, то пропорциональное изменение всех цен и доходов не влияет на спрос: изменение цены одного товара не влияет на общие расходы: изменение дохода влечет соответствующее изменение суммарных расходов

Эластичность спроса по цене Различают прямые и перекрестные эластичности по цене. Прямая эластичность спроса по цене характеризует изменение спроса на благо при изменении на один процент его же цены: Перекрестная эластичность спроса на i-ое благо при изменении цены на j-ое благо характеризует изменение спроса на благо при изменении на один процент цены другого блага:

Пример 2 В условиях примера 1 известна также функция полезности потребителя Требуется определить функцию спроса и рассчитать ее конкретное значение при заданном богатстве I и векторе цен p.

Решение примера 2 Предельные полезности товаров равны В оптимальном решении задачи потребителя т.к.

Условия для определения условного экстремума

Оптимальное решение Таким образом, функция спроса данного потребителя предельная полезность денег

Числовые значения функции спроса При данном векторе цен p = (2 5 6) и богатстве I = 30 получаем: Вектор спроса при данных ценах и данном богатстве таков

Пример 3 Функция полезности имеет вид: Бюджет потребителя равен I=55, цены на первое и второе блага равны p1=2, p2=1. 1) записать уравнение кривой безразличия, на которой находится потребитель в момент равновесия; 2) определить перекрестную эластичность спроса на второе благо в момент равновесия потребителя; 3) определить перекрестную эластичность спроса на первое благо после достижения нового равновесия, связанного с повышением цены на второе благо до двух единиц

Решение примера 3 1) Найдем предельные полезности каждого блага: Тогда Подставим в бюджетное ограничение Тогда – оптимальный набор благ

Решение примера 3 Максимальное значение функции полезности принимает значение: Уравнение кривой безразличия, на которой оказался потребитель в момент равновесия или

Решение примера 3 2) Определим перекрестную эластичность спроса на второе благо в момент равновесия потребителя. Найдем функции спроса на первое и второе блага

Решение примера 3 Найдем перекрестную эластичность спроса на второе благо в момент равновесия потребителя: При находим При увеличении цены первого блага на 1% (при неизменной цене на второе благо), спрос на второе благо увеличится на 0,138% < 1%. Спрос на второе благо неэластичный.

Решение примера 3 3) Определим перекрестную эластичность спроса на первое благо после достижения нового равновесия, связанного с повышением цены на второе благо до двух единиц. Если цена на второе благо увеличится до двух единиц, потребитель достигает равновесия при выполнении условия При имеющемся бюджете I=55 и новых ценах потребитель приобретет первое и второе блага в количестве

Решение примера 3 Найдем перекрестную эластичность спроса на первое благо после достижения нового равновесия При находим При увеличении цены на второе благо на 1% (при неизменной цене на первое благо), спрос на первое благо увеличится на 0,175% < 1%. Спрос на первое благо неэластичный

Уравнение Слуцкого Рассмотрим изменение спроса потребителя при изменении цены одного из товаров (например, j-го). Предположим, что при изменении цены j-го товара на величину pj (при неизменных ценах остальных товаров) происходит компенсация богатства на такую величину I , чтобы новая точка оптимального спроса осталась на той же поверхности безразличия, что и старая [иными словами, чтобы полезность набора товаров оптимального при векторе цен и богатстве I+ΔI, была бы равна полезности набора товаров оптимального при векторе цен и богатстве I.

Изменение спроса с компенсацией дохода

Эффект замещения Изменение спроса на i-й товар при изменении цены j-го товара на единицу и сопутствующем компенсирующем изменении богатства отражает эффект замещения — при изменении цены j-го товара и компенсирующем изменении богатства потребитель останется на той же поверхности безразличия, что и раньше, для чего заменит часть j-го товара другими товарами

Величина компенсирующего богатства Найдем величину такого компенсирующего изменения богатства dI при бесконечно малом изменении цены j-го товара (на dpj) и неизменных остальных ценах Из условий оптимального поведения потребителя находим Чтобы полезность не изменилась, необходимо и достаточно, чтобы du=0, и поскольку предельная полезность денег λ*≠ 0, то Тогда

Уравнение Слуцкого Компенсации богатства потребителя при изменении цен не происходит, и изменение спроса потребителя на i-й товар при изменении цены j-го товара на единицу равно Вычитаемое в этом уравнении отражает эффект дохода, связанный с изменением потребительской ценности единицы богатства

Эффект дохода и эффект замещения Фактически потребитель не остается на той же поверхности безразличия, что и раньше, а переходит на другую поверхность безразличия, соответствующую другим количествам товаров, которые он может позволить себе приобрести при изменении це-ны j-го товара и неизменном богатстве и ценах остальных товаров

Категории товаров Товар с номером i называется ценным, если при увеличении богатства спрос на него растет, т.е. если Товар с номером i называется малоценным, если при увеличении богатства спрос на этот товар снижается: В оптимальной точке Продифференцируем левую и правую части этого равенства по I: Среди частных производных есть хотя бы одна положительная, т.е. обязательно существует хотя бы один ценный товар.

Категории товаров Товар с номером i называется нормальным, если при увеличении его цены спрос на него падает, т.е. если Товар с номером i называется товаром Гиффена, если при увеличении цены этого товара спрос на него растет: Спрос на ценный товар обязательно падает при увеличении его цены: в правой части уравнения Слуцкого, записанного при j=i, уменьшаемое отрицательно, а вычитаемое неотрицательно, так как > согласно, а спрос не может быть отрицательным. Ценные товары не могут быть товарами Гиффена

Взаимозаменяемые и взаимодополняющие товары Два товара с номерами i и j называются взаимозаменяемыми, если увеличение цены j-го товара при сопутствующем компенсирующем изменении богатства приводит к увеличению спроса на i-й товар: Два товара с номерами i и j называются взаимодополняющими, если увеличение цены j-го товара при сопутствующем компенсирующем изменении богатства ведет к уменьшению спроса на i-й товар:

Категории товаров

Пример 3 В условиях примера 1 убедиться в справедливости уравнения Слуцкого для данного потребителя. Определить, какие товары являются ценными и малоценными; нормальными товарами и товарами Гиффена; какие товары взаимозаменяемы, а какие являются взаимодополняющими

Проверка выполнения уравнения Слуцкого Убедимся, что для данного потребителя действительно выполняется уравнение Слуцкого. Рассмотрим, что произойдет со спросом при изменении цены первого товара. Пусть цена первого товара изменилась с p1 до p1 +Δ p1. Если произошло соответствующее компенсирующее изменение богатства на величину Новая точка спроса

Проверка выполнения уравнения Слуцкого Изменение спроса составляет Подставим сюда

Проверка выполнения уравнения Слуцкого Отсюда находим изменение спроса при бесконечно малом изменении цены первого товара и компенсирующем изменении дохода:

Проверка выполнения уравнения Слуцкого Найдем теперь Замечаем, что т.е. уравнение Слуцкого для данного потребителя выполняется

Определение категории товаров Т.к. то все три товара ценные (так как ценные товары не могут быть товарами Гиффена, все три товара являются нормальными). Первый и второй товары являются взаимозаменяемыми, т.к. Точно так же можно показать, что первый и третий, а также второй и третий товары образуют взаимозаменяемые пары, а взаимодополняющие товары для данного потребителя отсутствуют

Модель рыночного равновесия. Обозначения Рассмотрим рынок n товаров с k участниками. Вектор - вектор начальных запасов товаров у j-го участника uj(x) = uj(x1, x2, …, xn) - функция полезности j-го участника (j = 1, 2, …, k) Предположим, что участники рынка согласны обмениваться товарами Вектор p = (p1 p2 … pn) - вектор рыночных цен Начальное богатство каждого участника (до обмена) в денежном выражении определяется как Суммарное предложение i-го товара на рынке будет равно суммарным запасам этого товара у всех участников

Задача потребителя и определение суммарного спроса Функции спроса участников рынка j = 1, 2, …, k Суммарный спрос всех участников на i-й товар равен

Закон Вальраса Рыночное равновесие определяется равенством суммарного спроса и суммарного предложения по каждому товару или Одно из уравнений данной системы обязательно является следствием остальных, поэтому цены определяются из этой системы с точностью до коэффициента пропорциональности. Это очевидно: ведь цены зависят от выбора денежной единицы. Таким образом, можно определить равновесное конечное распределение товаров между участниками рынка, подставив в функции спроса равновесные цены, определенные из полученной системы

Пример 4 Рассматривается рынок трех товаров. Требуется определить равновесное распределение товаров между четырьмя участниками рынка, если эти участники обладают одинаковыми функциями полезности , а начальные запасы товаров у участников рынка составляют

Решение. Определение начального богатства Пусть цены товаров на рынке определяются вектором p = (p1 p2 … pn). Тогда начальное богатство первого участника составит Аналогично определяется начальное богатство второго, третьего и четвертого участников рынка

Решение. Определение суммарного спроса Функции спроса участников одинаковы, так как функция полезности у них одна и та же. Из решения примера 2 находим j = 1, 2, 3, 4 Суммарный спрос на первый товар составляет Аналогично определяется суммарный спрос на второй и третий товары

Решение. Определение суммарного предложения и равновесных цен Суммарное предложение первого, второго и третьего товаров равно Условие равенства суммарного спроса и суммарного предложения каждого товара

Решение. Определение цен и богатства потребителей Цены определяются относительно, поэтому для удобства положим При таких ценах начальные запасы участников рынка определяют их богатство

Решение. Определение равновесного распределения товаров

Динамическая модель Эванса установления равновесной цены на рынке одного товара Основное предположение модели – цена изменяется в зависимости от соотношений между спросом и предложением Спрос D(p) = a – b·p, a,b >0 Предложение S(p) = α + β·p, α,β >0 Изменение цены прямо пропорционально превышению спроса над предложением и длительности этого превышения: p’(t) = γ(D – S) , где γ – коэффициент пропорциональности

Стационарное решение p’(t) = – γ((b+β)·p – a + α) Если p’(t) =0, то стационарное решение При p(0) < p* цена p стремится к p* возрастая, при p(0) > p* цена p стремится к p* убывая. Стационарная точка является точкой устойчивого равновесия. Цена p* есть устойчивая равновесная цена, при которой равны спрос и предложение.

Нестационарное решение p’(t) = – γ((b+β)·p – a + α) Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид: с = const.

Пример 5 Описать процесс установления равновесной цены, если время непрерывно и рассматривается рынок одного товара. Спрос и предложение линейно зависят от цены: D = 28 – 2p, S = 19 + p, а изменение цены пропорционально превышению спроса над предложением с коэффициентом пропорциональности γ =1. Рассмотреть случаи, когда p(0) > p* и p(0) < p* . Построить графики и сделать выводы.

Решение Линейное неоднородное дифф. уравнение, описывающее динамику равновесной цены, имеет вид: p’(t) = 1(28 – 2p – (19 + p)), p’(t) = 9 – 3p. Точка устойчивого равновесия Общее решение дифф. уравнения, описывающего динамику равновесной цены, имеет вид:

Графики Если p(0) = 9 > p*, то с = 6 и Если p(0) = 1 < p*, то с = – 2 и Стационарное решение p* = 3 является устойчивым и отклонение от него в итоге приводит к возврату в первоначальное состояние