Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Лекция 5) - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Лекция 5), слайд №1

Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Лекция 5), слайд №2

Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Лекция 5), слайд №3

Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Лекция 5), слайд №4

Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Лекция 5), слайд №5

Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Лекция 5), слайд №6

Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Лекция 5), слайд №7

Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Лекция 5), слайд №8

Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Лекция 5), слайд №9

Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Лекция 5), слайд №10

Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Лекция 5), слайд №11

Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Лекция 5), слайд №12

Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Лекция 5), слайд №13

Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Лекция 5), слайд №14

Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Лекция 5), слайд №15

Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Лекция 5), слайд №16

Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Лекция 5), слайд №17

Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Лекция 5), слайд №18

Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Лекция 5), слайд №19

Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Лекция 5), слайд №20

Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Лекция 5), слайд №21

Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Лекция 5), слайд №22

Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Лекция 5), слайд №23

Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Лекция 5), слайд №24

Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Лекция 5), слайд №25

Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Лекция 5), слайд №26

Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Лекция 5), слайд №27

Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Лекция 5), слайд №28

Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Лекция 5), слайд №29

Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Лекция 5), слайд №30

Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Лекция 5), слайд №31

Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Лекция 5), слайд №32

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Лекция 5). Доклад-сообщение содержит 32 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Обыкновенные дифференциальные уравнения Лекция 5

Слайд 2

Описание слайда:

1. Основные понятия Обыкновенным дифференциальным уравнением n - го порядка называется уравнение вида F(, …, ) = 0, (1) где = () – искомая функция. Любая функция = (), обращающая уравнение (1) в тождество, называется решением этого уравнения, а график этой функции называется интегральной кривой. Если решение задано в неявном виде Ф() = 0, то оно называется интегралом дифференциального уравнения. Если искомая функция зависит от одной переменной, то ДУ называется обыкновенным.

Слайд 3

Описание слайда:

1. Основные понятия Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется порядком этого уравнения. Например, 1) ⎼ 3+ 2 = 0 – ДУ 3-го порядка; 2) + 5 = ⎼ ДУ 1- го порядка. Процесс нахождения решений ДУ называется интегрированием ДУ. Функция = (, …, ), содержащая независимых произвольных постоянных, называется общим решением ДУ, если она является его решением при любых значениях постоянных , …,

Слайд 4

Описание слайда:

2. Дифференциальное уравнение 1-го порядка Дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет вид F(, ) = 0. Если уравнение можно разрешить относительно , то его записывают = = ( ) (2) и называют ДУ 1-го порядка, разрешённым относительно производной. Уравнение (2) устанавливает связь (зависимость) между координатами точки ( ) и угловым коэффициентом = k = tg касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Говорят также, что уравнение (2) задает поле направлений в области D.

Слайд 5

Описание слайда:

2. Дифференциальное уравнение 1-го порядка Решить ДУ – значит найти семейство интегральных кривых, отвечающих заданному полю направлений. Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, называется изоклиной. ДУ 1-го порядка, разрешённое относительно производной можно записать в дифференциальной форме: где - известные функции. Переменные равноправные в уравнении. Пример. С помощью изоклин начертить вид интегральных кривых уравнения = 2 Решение.

Слайд 6

Описание слайда:

Пример

Слайд 7

Описание слайда:

2. Дифференциальное уравнение 1-го порядка Общим решением ДУ 1 – го порядка = ( ) в области D называется функция = ( содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям: 1) она является решением данного уравнения при любых значениях произвольной постоянной принадлежащих некоторому множеству; 2) для любого начального условия () = такого, что ) D, существует единственное значение = , при котором решение = ( удовлетворяет заданному начальному условию.

Слайд 8

Описание слайда:

2. Дифференциальное уравнение 1-го порядка Всякое решение = (, получающееся из общего решения = (при конкретном значении = , называется частным решением ДУ. Задача отыскания решения ДУ 1-го порядка, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши. Начальное условие записывается:

Слайд 9

Описание слайда:

Теорема существования и единственности решения задачи Коши Если в уравнении =( ) функция ( ) непрерывна и имеет непрерывную производную в области D, то решение ДУ =( ) при начальном условии () = существует и единственно, т.е. через точку ) проходит единственная интегральная кривая данного уравнения.

Слайд 10

Описание слайда:

1. Уравнения с разделяющимися переменными Общий вид уравнения Проинтегрировав почленно это уравнение, получим общий интеграл: Пример. Найти общий интеграл уравнения Решение. Тогда - общий интеграл.

Слайд 11

Описание слайда:

1. Уравнения с разделяющимися переменными Или более общий случай: Разделим почленно на произведение: . Получим: Проинтегрируем уравнение: Замечание. Чтобы не потерять решения, надо отдельно решить уравнение и установить те решения, которые не могут быть получены из общего решения, - особые решения.

Слайд 12

Описание слайда:

Пример Найти частное решение ДУ (решить задачу Коши): (1 + ) + =0 при начальных условиях (1) = 1.

Слайд 13

Описание слайда:

Решение 1) Разделим обе части уравнения на произведение (1 + )⋅ при условии, что (1 + )⋅ ≠ 0. Получим: + = 0. = ⎼. Тогда = ⎼ arctg + или = общее решение ДУ. 2) Найдем частное решение: = . Откуда = . Тогда = ⎼ частное решение ДУ.

Слайд 14

Описание слайда:

Решение 3) Решим уравнение: (1 + )⋅ = 0. Откуда 1 + = 0 или = 0. Первое уравнение не имеет решений. Второе уравнение = 0 является решением ДУ и не входит в общий интеграл ни при каких значениях С, значит, = 0 ⎼ особое решение. Пример. = ⎼ .

Слайд 15

Описание слайда:

Пример 1. Решить уравнение = 2. Решение. Так как = , то = 2. Откуда = 2 Проинтегрируем уравнение = и получим = + С – общее решение ДУ.

Слайд 16

Описание слайда:

2. Однородные дифференциальные уравнения К уравнению с разделяющимися переменными приводятся однородные уравнения 1-го порядка. Опр. Функция ( ) называется однородной функцией n - го порядка (измерения), если при умножении каждого её аргумента на произвольный множитель �� вся функция умножится на , т.е. Например, функция ( ) = 3 + есть однородная функция 2-го порядка, т. к. (��) = 3( + = (3 + ) = ( ).

Слайд 17

Описание слайда:

Однородные дифференциальные уравнения Опр. Дифференциальное уравнение = ( ) называется однородным, если функция ( ) есть однородная функция нулевого порядка. Тогда по определению ( ) = (��). Положив = , получим: т.е. Произведем замену или Тогда = + или = + .

Слайд 18

Описание слайда:

Пример Решение.

Слайд 19

Описание слайда:

3. Линейные ДУ первого порядка. Уравнения Бернулли. Опр. Уравнение вида + P() = Q() называется линейным. Если Q() ≠ 0, то уравнение называется линейным неоднородным, а если Q() = 0, то линейным однородным. Способы решения линейного неоднородного ДУ 1 - го порядка. Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной). Рассмотрим Разделим переменные

Слайд 20

Описание слайда:

Линейные ДУ первого порядка. Получим , т.е. или Полагаем c = c(). Тогда = c() . Найдем производную Подставим и в исходное уравнение, откуда получим c() = + , где - const. Тогда искомое решение имеет вид: = . Пример. Решить уравнение: .

Слайд 21

Описание слайда:

Линейные ДУ первого порядка. 2. Метод Бернулли. Применим подстановку = u⋅ где u = u( и = – неизвестные функции, = ⋅ + ⋅ Подставим и в исходное уравнение: (⋅ + ⋅ ) + P()⋅ u⋅ = Q(). Сгруппируем : ( + P()⋅⋅ + ⋅ = За примем любое частное решение уравнения + P()⋅ = 0 (например, = ), обращающее в нуль коэффициент при в уравнении. Тогда получим ⋅ = Q(), откуда = или = Q().

Слайд 22

Описание слайда:

Линейные ДУ первого порядка. Откуда = С + . Тогда получим общее решение: = u⋅ = ⋅. Пример. Решить ДУ методом Бернулли: .

Слайд 23

Описание слайда:

4. Уравнение Бернулли. Уравнение вида + P() = Q()⋅ , где ≠ 0 и ≠1, называется уравнением Бернулли. Оно приводится к линейному с помощью подстановки z = Но на практике обычно сразу применяют подстановку = u⋅ . Пример. ⋅ = +.

Слайд 24

Описание слайда:

Линейные дифференциальные уравнения II-го порядка с постоянными коэффициентами Опр. Уравнение вида + p+ q = (), где p и q – действительные числа, называется линейным неоднородным ДУ II-го порядка с постоянными коэффициентами (ЛНДУ). Если () ≡ 0, то уравнение +p+ q=0 называется линейным однородным ДУ II-го порядка с постоянными коэффициентами (ЛОДУ). Для нахождения общего решения уравнения достаточно найти два его частных решения () и (), образующих фундаментальную систему решений уравнения (ФСР): любое произвольное решение может быть получено, как комбинация = () + ().

Слайд 25

Описание слайда:

ЛОДУ II-порядка с постоянными коэффициентами Будем искать частные решения в виде = , где – некоторое число. Продифференцируем функцию = : = ⋅ , = ⋅ . Подставим в уравнение: ⋅ + p ⋅ + q⋅ = 0. ⋅(+ p+ q) = 0 ≠ 0). + p+ q = 0 – характеристическое уравнение ДУ. Тогда общее решение ДУ строится в зависимости от характера корней уравнения.

Слайд 26

Описание слайда:

Теорема 1) Пусть характеристическое уравнение + p+ q = 0 имеет действительные корни и , причем ≠ (D>0). Тогда общее решение уравнения + p+ q = 0 имеет вид = + , где и - произвольные числа; 2) Если характеристическое уравнение имеет один действительный корень (кратности 2) (D = 0), то общее решение уравнения имеет вид = (+ ); 3) Если характеристическое уравнение не имеет действительных корней (D < 0) , т.е. корни комплексные = , то общее решение уравнения имеет вид = (+ ).

Слайд 27

Описание слайда:

Пример Решить уравнения: а) + 6 = 0. Решение. Составим характеристическое уравнение + 6 = 0 (D>0). Корни = 2 и Тогда получим общее решение = + . б) + 4 = 0. Решение. Составим характеристическое уравнение + 4 = 0 (D = 0). Корни = Тогда получим общее решение = (+ . в) + 25 = 0. Решение. Составим характеристическое уравнение + 25 = 0 (D < 0). Корни Тогда получим общее решение = (+ .

Слайд 28

Описание слайда:

Структура общего решения ЛНДУ II-порядка с постоянными коэффициентами Теорема. Общим решением ДУ + p + q = () является сумма его произвольного частного решения и общего решения = () + () соответствующего однородного уравнения, т.е. = + . Рассмотрим частные случаи функции () в правой части уравнения. () = (), где () – многочлен – й степени. а) если не является корнем характеристического уравнения ) = + p+ q = 0, т.е. ) ≠ 0, то = (), где () - многочлен – й степени с неопределёнными коэффициентами.

Слайд 29

Описание слайда:

ЛНДУ II-порядка с постоянными коэффициентами б) если - корень характеристического уравнения ) = + p + q = 0, т.е. ) = 0, то = (), где – кратность корня ( = 1 или = 2). Пример. Решить ДУ: ⎼ 2+ = .

Слайд 30

Описание слайда:

ЛНДУ II-порядка с постоянными коэффициентами II. () = [() + () ] а) если ≠ 0, то полагают = [() + () ], где () и () – многочлены степени = max . б) если = 0, то полагают = [() + () ], где – кратность корней ( для уравнений 2-го порядка = 1). Пример. Решить уравнение = 8.

Слайд 31

Описание слайда:

ЛНДУ II-порядка с постоянными коэффициентами III. Общий случай. Применяют метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа). Решаем уравнение + p + q = 0. Получаем = + и - частные решения однородного уравнения, и - постоянные коэффициенты. Пусть () и – функции от . Составим систему для нахождения () и

Слайд 32

Описание слайда:

ЛНДУ II-порядка с постоянными коэффициентами Или 2-й способ определения () и по формулам: () = ⎼ , () = , где = - определитель Вронского. Пример. Решить уравнение + = tg