🗊Презентация Предел функции. Непрерывность

Лекция 2. Предел функции. Непрерывность. План лекции: Предел функции. Теоремы о пределах функции. Замечательные пределы. Раскрытие неопределенностей. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва.

1. Предел функции. Теоремы о пределах функции.

Число зависит от , при уменьшении уменьшается и . Если А – это предел f(x) в точке х=а, то обозначают

Пример 1. а) Вычислите предел: б) Вычислите следующий предел:

Бесконечно большие величины. Ограниченные функции. Бесконечно малые величины и их свойства. - бесконечно большая величина Переменная величина х называется бесконечно большой, если в процессе изменения ее абсолютная величина становится и остается больше любого наперед заданного как угодно большого положительного числа N>0: >N.

Основные теоремы о бесконечно малых. 1. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых есть также величина бесконечно малая. 2. Произведение бесконечно малой на величину ограниченную есть также величина бесконечно малая.

Теоремы о пределах. Теорема 1. Предел алгебраической суммы конечного числа слагаемых равен сумме пределов этих слагаемых.

Теорема 3. Предел частного двух переменных равен частному их пределов, если только предел знаменателя отличен от нуля.

Замечательные пределы

Теорема 4. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен 1: Теорема 4. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен 1: Этот предел называется 1-ым замечательным пределом.

Раскрытие неопределенностей

Существуют неопределенности следующих видов: 1) 2) 3) 4) 5)

Неопределенность 1 правило Лопиталя: 1 замечательный предел ( формулу см. ранее). Неопределенность 2 правило Лопиталя (также применяется производная). Вынесение переменной в наибольшей степени вместе с коэффициентом и из числителя и из знаменателя (применяется только при условиях: а) числитель и знаменатель представляют собой целую рациональную функцию; б) переменная стремится к ).

Пример 2. а) Вычислите предел: б) Вычислите следующий предел:

Пример 3. а) Вычислите предел: б) Вычислите следующий предел:

Неопределенность Метод решения: используется 2-ой замечательный предел (формулу см. ранее).

3. Непрерывность функции. Определение 7. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции

4. Классификация точек разрыва. Разрыв в точке х=х0 имеет место, если нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции: 1) В точке х=х0 функция f (x) не имеет конечного предела; 2) Функция не существует в х0; 3) Предел функции в точке существует, но не совпадает с ее значением в этой точке, т.е.

2) Точки разрыва второго рода. Если в точке х=а не существуют левосторонний или правосторонний пределы или оба одновременно, то точка а называется точкой разрыва II рода. 2) Точки разрыва второго рода. Если в точке х=а не существуют левосторонний или правосторонний пределы или оба одновременно, то точка а называется точкой разрыва II рода. 3) Устранимые точки разрыва. Если в точке х=а функция f (x) имеет левосторонний и правосторонний пределы и эти пределы равны между собой, но их значения не совпадают со значением функции в точке а, то точка а называется точкой ”устранимого разрыва”.