Проекционные методы решения краевых задач - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Проекционные методы решения краевых задач, слайд №1

Проекционные методы решения краевых задач, слайд №2

Проекционные методы решения краевых задач, слайд №3

Проекционные методы решения краевых задач, слайд №4

Проекционные методы решения краевых задач, слайд №5

Проекционные методы решения краевых задач, слайд №6

Проекционные методы решения краевых задач, слайд №7

Проекционные методы решения краевых задач, слайд №8

Проекционные методы решения краевых задач, слайд №9

Проекционные методы решения краевых задач, слайд №10

Проекционные методы решения краевых задач, слайд №11

Проекционные методы решения краевых задач, слайд №12

Проекционные методы решения краевых задач, слайд №13

Проекционные методы решения краевых задач, слайд №14

Проекционные методы решения краевых задач, слайд №15

Проекционные методы решения краевых задач, слайд №16

Проекционные методы решения краевых задач, слайд №17

Проекционные методы решения краевых задач, слайд №18

Проекционные методы решения краевых задач, слайд №19

Проекционные методы решения краевых задач, слайд №20

Проекционные методы решения краевых задач, слайд №21

Проекционные методы решения краевых задач, слайд №22

Проекционные методы решения краевых задач, слайд №23

Проекционные методы решения краевых задач, слайд №24

Проекционные методы решения краевых задач, слайд №25

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Проекционные методы решения краевых задач. Доклад-сообщение содержит 25 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Тема 7. Проекционные методы решения краевых задач Теоретические основы проекционных методов Пример решения одномерной краевой задачи Дирихле Двумерная краевая задача Дирихле Метод Канторовича сведения задачи для ДУ в частных производных к решению задачи для системы ОДУ

Слайд 2

Описание слайда:

Теоретические основы проекционных методов Основная задача классического вариационного исчисления: Найти такую u=u(x) a≤x≤b u(a)=u0 u(b)=u1 На которой достигается минимум функционала Центральная теорема: минимум доставляет решение дифференциального уравнения Эйлера

Слайд 3

Описание слайда:

Например u(x) – путь пройденный автомобилем за время 0≤x≤T - скорость Затраты пропорциональны квадрату скорости При каком законе движения обеспечивается минимум затрат на пути 0≤ u(х) ≤ s ? Уравнение Эйлера Оптимальный закон (линейный!)

Слайд 4

Описание слайда:

Сведение решения ДУ к минимизации функционала Таким образом задача нахождения минимума функционала сводится к решению ДУ. Справедливо и обратное – решение ДУ можно свести к нахождению минимума функционала. Запишем краевую задачу для ДУ в общем виде: Область определения функции u: R(u)=; Г – граница .

Слайд 5

Описание слайда:

Функционал, минимум которого достигается на решении ДУ, имеет вид

Слайд 6

Описание слайда:

Метод Ритца Выбираем базис Свойства линейной независимости и полноты Ищем решение в виде Подставляем в функционал получаем задачу минимизации функции n переменных

Слайд 7

Описание слайда:

Примеры базисных функций обладающих полнотой Полиномы Тригонометрические функции От удачного выбора базиса зависит эффективность решения задачи

Слайд 8

Описание слайда:

Минимизация квадратичного функционала с линейным оператором L После подстановки uN(x) Воспользуемся условием экстремума Получаем СЛАУ

Слайд 9

Описание слайда:

Системы проекционных уравнений Запишем Или Проекция Можно заметить, что эта система получается из исходной краевой задачи простой подстановкой uN вместо u и последующим умножением скалярно (проектированием) на каждую функцию базиса В общем случае Два базиса Если проекции F(x) на все функции базиса равны 0 то F(x)≡0

Слайд 10

Описание слайда:

Проекционные методы Впервые идею такого решения ДУ (не обращаясь к вариационной задаче) предложил в 1915 г. Б.Г. Галеркин В зависимости от выбора в функций  и оператора K эти методы имеют свои названия метод Бубнова-Галеркина: K=I , = оператор L может не быть симметричным и положительно определенным метод Галеркина-Петрова: K=I , ≠ метод наименьших квадратов: K=L , =

Слайд 11

Описание слайда:

Решение одномерной краевой задачи Найти решение Ищем решение в виде Проекционное уравнение преобразуем

Слайд 12

Описание слайда:

Решение одномерной краевой задачи (продолжение1) Подставляем uN Преобразуем и получаем систему основных проекционных уравнений В зависимости от постановки граничных условий выбираем соответствующую систему базисных функций

Слайд 13

Описание слайда:

Задача Дирихле Выбираем систему базисных функций вида: В силу того, что Получаем проекционное уравнение вида Или для выбранных функций

Слайд 14

Описание слайда:

Программная реализация задачи Дирихле function V2_1; Be0=1; be1=0; N=4; M=10; for i=1:N F1 = @(x)f(x).*sin(i*pi*x)-g(x).*(be1-be0).i*pi*cos(i*pi*x); d(i) = quad(F1,0,1); for k=1:N F2 = @(x)g(x).*cos(i*pi*x).*cos(k*pi*x)*i*k*pi^2; G(i,k)=quad(F2,0,1); end; end a=d/G; a for i=1:M+1 %выдача графика xt(i)=(i-1)/M; y(i)=be0+(be1-be0)*xt(i); for k=1:N y(i)=y(i)+a(k)*sin(k*pi*xt(i)); end; end; plot(xt,y); return

Слайд 15

Описание слайда:

Задача со свободным левым концом Выбираем базис вида Первый член проекционного уравнения используя гр. условие: Проекционное уравнение

Слайд 16

Описание слайда:

Задача со свободным левым концом (продолжение) Проекционное ур-е После подстановки функций базиса:

Слайд 17

Описание слайда:

Программная реализация задачи со свободным левым концом function V2_2(al0,be0,be1,N,M); for i=1:N F1 = @(x)f(x).*sin(0.5*i*pi*(1-x))- g(x).*be1.*0.5*i*pi*cos(0.5*i*pi*(1-x)); d(i) = quad(F1,0,1)+g(0)*be0*sin(0.5*i*pi); for k=1:N F2 = @(x)g(x).*cos(0.5*i*pi*(1-x)).*cos(0.5*k*pi*(1-x)) *i*k*pi^2*0.25; G(i,k)=al0*g(0)*sin(0.5*k*pi)*sin(0.5*i*pi)-quad(F2,0,1); end; end a=d/G; a for i=1:M+1 xt(i)=(i-1)/M; y(i)=be1*xt(i); for k=1:N y(i)=y(i)+a(k)*sin(0.5*k*pi*(1-xt(i))); end; end; plot(xt,y,'b'); return

Слайд 18

Описание слайда:

Задача со свободным правым концом Выбираем базис вида Первый член проекционного ур-я Проекционное уравнение

Слайд 19

Описание слайда:

Задача со свободным правым концом (продолжение) Проекционное уравнение После подстановки функций базиса

Слайд 20

Описание слайда:

Программная реализация задачи со свободным правым концом function V2_3(al1,be0,be1,N,M); for i=1:N F1 = @(x)f(x).*sin(0.5*i*pi*x)- g(x).*be0.*0.5*i*pi*cos(0.5*i*pi*x); d(i) = quad(F1,0,1)-g(1).*be1*sin(0.5*i*pi); for k=1:N F2 = @(x)g(x).*cos(0.5*i*pi*x).*cos(0.5*k*pi*x)*i*k*pi^2*0.25; G(i,k)=-al1*g(1).*sin(0.5*k*pi)*sin(0.5*i*pi)-quad(F2,0,1); end; end a=d/G; a for i=1:M+1 xt(i) =(i-1)/M; y(i)=be0*(1- xt(i) ); for k=1:N y(i)=y(i)+a(k)*sin(0.5*k*pi*xt(i)); end; end; plot(xt,y,'b'); return

Слайд 21

Описание слайда:

Двумерная краевая задача Дирихле Выбираем базис Решение ищем в виде Проекционное уравнение

Слайд 22

Описание слайда:

Двумерная краевая задача Дирихле (продолжение) Воспользуемся методом интегрирования по частям для двумерного случая Получаем проекционное уравнение без вторых производных

Слайд 23

Описание слайда:

Сведение трехмерной задачи для ДУ в частных производных к решению задачи для системы ОДУ методом Канторовича Задана краевая задача в цилиндрической области вида Г - граница области поперечного сечения Решение ищем в виде разложения по базису Стандартное проекционное уравнение после интегрирования представляет систему ОДУ относительно ak