Теория пределов - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Теория пределов. Доклад-сообщение содержит 39 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Теория пределов 2 СЕМЕСТР Лекция 1. Последовательность. Предел последовательности. Лекция 2. Функция. Предел функции. Лекция 3. Непрерывность функций. Точки разрыва, их классификация.

Слайд 2

Описание слайда:

Историческая справкА Интуитивное понятие о предельном переходе использовалось еще в Древней Греции при вычислении площадей и объемов (Архимед) При создании дифференциального и интегрального исчислений математики XVII в (Исаак Ньютон, Готфрид Вильгельм Лейбниц) тоже неявно использовали понятие предельного перехода Определение понятия предела – работа Джона Валлиса «Арифметика бесконечных величин» (1655 г.) В XIX в теория пределов использована для строгого обоснования математического анализа (Огюстен Луи Коши) Дальнейшая разработка теории пределов – Карл Вейерштрасс, Бернард Больцано и др.

Слайд 3

Описание слайда:

Джон Валлис (John Wallis‎) Точнее - Джон Уоллес (1616-1703) английский математик, предшественник математического анализа. Сын священника из Эшфорда. Уже в молодости вызывал восхищение как феноменальный счётчик: как-то в уме извлёк квадратный корень из 53-значного числа

Слайд 4

Описание слайда:

Лекция 1. предел Последовательности Понятие числовой последовательности. Способы задания последовательности Ограниченные последовательности Монотонные последовательности Предел последовательности Теоремы о пределах последовательностей Необходимое и достаточное условие сходимости последовательностей Примеры

Слайд 5

Описание слайда:

Числовая последовательность - это множество чисел, занумерованных либо конечным отрезком натурального ряда (конечная последовательность), либо всеми натуральными числами (бесконечная последовательность) Элементы этого множества называются членами последовательности и обозначаются an, где n - его номер Сама последовательность записывается как a1, a2, a3, … an …. или {an}

Слайд 6

Описание слайда:

Примеры последовательностей 2,4,8,16……. 0,1,0,1….. 5,5,5,5……

Слайд 7

Описание слайда:

Иные определения последовательности Отображение множества натуральных чисел N на некоторое конечное или счетное числовое множество A, при котором каждому натуральному числу n соответствует один и только один элемент множества А - an. Функция an= f(n), заданная на множестве натуральных чисел N

Слайд 8

Описание слайда:

Действия над последовательностями Сумма двух последовательностей {xn} и {yn} это последовательность {sn}, членами которой являются суммы членов последовательностей {xn} и {yn}, имеющих одинаковые номера sn= xn + yn Произведение, разность и частное двух последовательностей {xn} и {yn} это последовательность {mn}, {qn}, {rn} члены которых вычисляются по правилам: m n= xn – yn, ,

Слайд 9

Описание слайда:

Аналитический Способ задания последовательности – задание формулы общего члена последовательности, позволяющую по номеру члена последовательности однозначно его вычислить

Слайд 10

Описание слайда:

Например, Например, , , Задают соответственно последовательности 2,4,8,16……. -1,1,-1,1….. 3,3,3,3……

Слайд 11

Описание слайда:

Рекуррентный Способ задания последовательности Задается первый член (или несколько первых членов) последовательности и указывается формула вычисления последующих членов последовательности по заданным первым Например, последовательность натуральных чисел Последовательность чисел Фибоначчи 0,1,1,2,3,5,8,13…..

Слайд 12

Описание слайда:

описательный Способ задания последовательности Описание способа получения членов последовательности Например, последовательность 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; …. Образована из приближенных значений числа Используется когда нельзя указать ни формулы общего члена, ни рекуррентного соотношения

Слайд 13

Описание слайда:

Ограниченные последовательности Последовательность {xn} называется ограниченной, если существуют два такие числа m и M, что для всех выполняется неравенство Последовательность {xn} называется ограниченной сверху, если существуют такое число M, что для всех выполняется неравенство Последовательность {xn} называется ограниченной снизу, если существуют такое число m, что для всех выполняется неравенство

Слайд 14

Описание слайда:

Ограниченные последовательности Доказательство ограниченности сводится к нахождению этих чисел, например: ограничена снизу (m=0) и не ограничена сверху ограничена сверху (m=-1) и не ограничена снизу ограничена снизу (m=0) и ограничена сверху (M=1), следовательно, это ограниченная последовательность ограничена снизу (m=-2) и ограничена сверху (M=2) следовательно, это тоже ограниченная последовательность

Слайд 15

Описание слайда:

Монотонные последовательности Последовательность {xn} называется возрастающей, если каждый ее член, начиная со второго, больше предыдущего, т.е для всех выполняется неравенство Последовательность {xn} называется убывающей, если каждый ее член, начиная со второго, меньше предыдущего, т.е для всех выполняется неравенство {xn} называется неубывающей, если {xn} называется невозрастающей,

Слайд 16

Описание слайда:

Монотонные последовательности Возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие последовательности образуют класс монотонных последовательностей Возрастающие и убывающие последовательности называют строго монотонными Если все элементы последовательности {xn} равны одному и тому же числу с, то ее называют постоянной.

Слайд 17

Описание слайда:

Пример 1 Исследовать на монотонность последовательность Рассмотрим разницу между и членами Числитель дроби отрицателен, знаменатель положителен, следовательно вся дробь отрицательна, поэтому Т.е. данная последовательность убывающая и следовательно строго монотонная

Слайд 18

Описание слайда:

Вопросы. Является ли постоянная последовательность монотонной? А строго монотонной? Приведите примеры возрастающей и убывающей последовательности Приведите примеры ограниченной и не ограниченной последовательности

Слайд 19

Описание слайда:

Предел последовательности Число a называют пределом последовательности {xn} и пишут если для любого сколь угодно малого ε>0 существует такой номер N0, что все члены последовательности с номерам n>N0 удовлетворяют неравенству Если такое число существует, последовательность называется сходящейся, если нет - расходящейся

Слайд 20

Описание слайда:

Предел последовательности Промежуток (a-ε;a+ ε) называют ε-окрестностью точки a. Используя понятие ε-окрестности можно дать следующее определение предела: Число a называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного числа ε существует номер N0 такой, что все члены последовательности с номерам n>N0 принадлежат ε-окрестности точки a

Слайд 21

Описание слайда:

Пример 2 Например, рассмотрим последовательность Данная последовательность ограничена (снизу числом 0, сверху число 1) Если изображать члены последовательности точками на числовой прямой, то можно убедиться, что с ростом номеров точки будут приближаться к 1 1; ½; 2/3; ¾; ….9/10; ….99/100;…

Слайд 22

Описание слайда:

Пример 2 Более того, для всех xn, где n>11 , ; где n>101 , и т.д. То есть, какое бы малое положительное ε мы ни выбрали, в данной последовательности найдется такой член ( номер которого мы будем обозначать N0), что все члены последовательности с номерам n>N0 будут принадлежат ε-окрестности точки a=1 Следовательно, Нужно отметить, что для каждого ε будет свой N0, и при уменьшении ε N0 будет увеличиваться

Слайд 23

Описание слайда:

Теоремы о пределах последовательности 1) Теорема об единственности предела: Последовательность не может сходится к двум различным пределам 2) Предел последовательности, все члены которой равны одной и той же величине, равен этой величине. 3) Если последовательность {xn} сходится к а и а>p (a

Слайд 24

Описание слайда:

Теоремы о пределах последовательности 5) Если последовательности {xn} и {yn} имеют пределы, то их сумма (разность) тоже имеет предел, причем придел суммы (разности) равен сумме (разности) пределов 6) Если последовательности имеют пределы {xn} и {yn} , то их произведение тоже имеет предел, причем придел произведения равен произведению пределов Из теорем 2 и 6 следует, что постоянный множитель можно выносить за знак предела

Слайд 25

Описание слайда:

Теоремы о пределах последовательности 7) Если последовательности {xn} и {yn} имеют пределы, причем yn≠0 для всех n, начиная с некоторого N0, то последовательность {} тоже имеет предел, равный отношению пределов последовательностей {xn} и {yn} При помощи сформулированных теорем нахождение пределов последовательностей можно свести к нахождению приделов простейших последовательностей

Слайд 26

Описание слайда:

Пример 3 Вычислить предел последовательности Сразу использовать теорему о пределе частного нельзя, т.к. последовательности, стоящие в числителе и в знаменателе не имеют конечных пределов. Преобразуем дробь, разделив числитель и знаменатель на

Слайд 27

Описание слайда:

Пример 3 (продолжение) Определяем значения полученных простейших пределов ; ; Следовательно,

Слайд 28

Описание слайда:

Необходимое условие сходимости последовательности Для того, чтобы последовательность сходилась, необходимо, чтобы она была ограниченной Т.е. любая сходящаяся последовательность ограничена Однако обратное утверждение не верно, из ограниченности последовательности не всегда следует ее сходимость, т.е. это условие не является достаточным

Слайд 29

Описание слайда:

Необходимое условие сходимости последовательности Действительно, пусть Тогда для любого ε>0 все члены последовательности, кроме конечного их числа попадают в ε-окрестность точки a Так как членов последовательности, лежащих правее точки конечно число, то перебрав их можно выбрать максимальный член, обозначим его M Аналогично, минимальный из членов последовательности, лежащих левее обозначим m Таким образом, если {xn} – сходящаяся последовательность, то существуют числа m и M, такие, что для всех всех выполняется неравенство Следовательно {xn} – ограниченная последовательность

Слайд 30

Описание слайда:

Необходимое условие сходимости последовательности Рассмотрим последовательность . Это ограниченная последовательность. Предположим, что предел этой последовательности существует и равен a. Если а – некоторое число отличное от 1 и -1, то всегда можно будет найти такую ε-окрестность точки a, в которую не попадет ни один член последовательности. Следовательно а=1 или а=-1. Допустим, а=1. Возьмем ε=0,1. В промежуток (0,9;1,1) попадают все члены последовательности, стоящие на четных местах (1), но не попадает ни один член последовательности, стоящий на нечетном месте (-1), следовательно 1 не является пределом данной последовательности Аналогично доказывается, что и -1 не является пределом Следовательно, несмотря на то, что последовательность {xn} ограниченная, она не является сходящейся

Слайд 31

Описание слайда:

достаточное условие сходимости последовательности Теорема Вейерштрасса: Если последовательность монотонна и ограничена, то она обязательно сходится

Слайд 32

Описание слайда:

достаточное условие сходимости последовательности Исследуем сходимость последовательности Докажем, что она монотонна. Раскладывая выражение по формуле бинома Ньютона, получаем

Слайд 33

Описание слайда:

достаточное условие сходимости последовательности Если написать аналогичное разложение для то увидим, что к разложению добавится (n+2)-ое положительное слагаемое, каждое же из прежних слагаемых увеличится, Отсюда следует, что , т.е. данная последовательность возрастающая и, следовательно, монотонная. Докажем, что она ограниченная. Опустив в выражении для все сомножители, стоящие в круглых скобках, мы тем самым увеличим правую часть равенства, т.к. каждый из этих сомножителей меньше 1. В результате получим неравенство

Слайд 34

Описание слайда:

достаточное условие сходимости последовательности Учитывая, что т.е. , , ... Для нашего неравенства имеем: В правой части последнего неравенства сумма всех членов, начиная со второго есть сумма n-1 членов убывающей геометрической прогрессии, которая равна 1, поэтому при любом натуральном n Таким образом, последовательность монотонно возрастающая и ограниченная, и согласно теореме Вейерштрасса, имеет предел.

Слайд 35

Описание слайда:

достаточное условие сходимости последовательности Этот предел имеет специальное обозначение e 2,718281828459045.... Число е называют неперовым числом или числом Эйлера. Оно является одной из важнейших в математическом анализе констант Число е принято за основание натуральных логарифмов: логарифм по основанию е называется натуральным логарифмом и обозначается In x, т. е. In x = loge х Показательная функция с основанием e называется экспонентой

Слайд 36

Описание слайда:

2,72 Названо в честь шотландского учёного Джона Непера (1550—1617), автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 год), одного из изобретателей логарифмов,

Слайд 37

Описание слайда:

2,72 Саму константу впервые вычислил швейцарский математик Якоб Бернулли(1655-1705) в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода (1690 г).

Слайд 38

Описание слайда:

Число эйлера (Неперово число) 2,72 Букву e начал использовать швейцарский, немецкий и российский математик и механик, Леонард Эйлер в 1727 году. Почему была выбрана именно буква e? Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential («показательный», «экспоненциальный»). Другое

Слайд 39

Описание слайда:

Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности Теорема Больцано-Коши (критерий сходимости) Для того, чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для каждого положительного числа ε существовал такой номер N0(ε), чтобы неравенство выполнялось для всех n>N0 и p≥1

Теги Теория пределов

Похожие презентации