Замечательные пределы и следствия из них - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Замечательные пределы и следствия из них, слайд №1

Замечательные пределы и следствия из них, слайд №2

Замечательные пределы и следствия из них, слайд №3

Замечательные пределы и следствия из них, слайд №4

Замечательные пределы и следствия из них, слайд №5

Замечательные пределы и следствия из них, слайд №6

Замечательные пределы и следствия из них, слайд №7

Замечательные пределы и следствия из них, слайд №8

Замечательные пределы и следствия из них, слайд №9

Замечательные пределы и следствия из них, слайд №10

Замечательные пределы и следствия из них, слайд №11

Замечательные пределы и следствия из них, слайд №12

Замечательные пределы и следствия из них, слайд №13

Замечательные пределы и следствия из них, слайд №14

Замечательные пределы и следствия из них, слайд №15

Замечательные пределы и следствия из них, слайд №16

Замечательные пределы и следствия из них, слайд №17

Замечательные пределы и следствия из них, слайд №18

Замечательные пределы и следствия из них, слайд №19

Замечательные пределы и следствия из них, слайд №20

Замечательные пределы и следствия из них, слайд №21

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Замечательные пределы и следствия из них. Доклад-сообщение содержит 21 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Лекция 2.3 Замечательные пределы и следствия из них. Сравнение функций Функции одного порядка. Символ «О-большое» Эквивалентные функции Функция, бесконечно малая по сравнению с другой функцией. Символ «о-малое» Асимптотическое представление функций

Слайд 2

Описание слайда:

Первый замечательный предел Рассмотрим круг единичного радиуса с центром в точке О.

Слайд 3

Описание слайда:

Так как Так как то последнее неравенство справедливо и для Отсюда, в частности, следует, что Оценим разность: Итак, по теореме о двух милиционерах, имеем:

Слайд 4

Описание слайда:

Второй замечательный предел Напомним, что Далее покажем, что Пусть х >1. Положим n = [х]. Тогда х = n + , где 0. Тогда

Слайд 5

Описание слайда:

Найдем пределы последовательностей в левой и правой частях неравенства: Найдем пределы последовательностей в левой и правой частях неравенства: Следовательно, по теореме «о двух милиционерах»

Слайд 6

Описание слайда:

Покажем, что Покажем, что Пусть х < – 1. Сделаем замену х = – у. Тогда Итак, мы установили, что

Слайд 7

Описание слайда:

Замена переменной при вычислении пределов. ТЕОРЕМА. Пусть существуют Пусть, кроме того, f(x)  b в некоторой проколотой окрестности точки а. Тогда в точке а существует предел сложной функции ПРИМЕР.

Слайд 8

Описание слайда:

Следствия замечательных пределов. Доказать, что:

Слайд 9

Описание слайда:

. .

Слайд 10

Описание слайда:

. .

Слайд 11

Описание слайда:

Сравнение функций. Функции одного порядка. Символ «О-большое». ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть функции f(x) и g(x) определены в некоторой проколотой окрестности точки а и отличны от нуля во всех точках этой окрестности. Эти функции называются функциями одного порядка при х  а, если существует В этом случае будем использовать обозначения: f(x) = О(g(x)) и g(x) = О(f(x)) при х  а. ПРИМЕР. f(x) = 100 + x; g(x) = cosx . Это функции одного порядка при х  0, так как

Слайд 12

Описание слайда:

Эквивалентные функции. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть функции f(x) и g(x) определены в некоторой проколотой окрестности точки а и отличны от нуля во всех точках этой окрестности. Эти функции называются эквивалентными (асимптотически равными) при х  а, если ПРИМЕРЫ. 1) sinx  x при х  0 ; 2)  x2 при х  . Если сравниваемые функции обе бесконечно малые или бесконечно большие при х  а, то их эквивалентность означает, что скорость их стремления к нулю или к бесконечности одинакова.

Слайд 13

Описание слайда:

Пусть х – бесконечно малая при х  а функция. Тогда при х  а Пусть х – бесконечно малая при х  а функция. Тогда при х  а

Слайд 14

Описание слайда:

ТЕОРЕМА. (Замена функций на эквивалентные при вычислении предела.) ТЕОРЕМА. (Замена функций на эквивалентные при вычислении предела.) Пусть f(x)  f1(x), g(x)  g1(x) при х  а. Тогда, если существует , то существует и , причем ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Последнее преобразование правомерно, так как обе функции отличны от нуля в проколотой окрестности точки а. Поскольку обе части равенства равноправны, то предел, стоящий в левой части равенства, существует тогда и только тогда, когда существует предел, стоящий в правой части.

Слайд 15

Описание слайда:

ПРИМЕРЫ. ПРИМЕРЫ. 1) 2) Если бы мы формально заменили функции, стоящие в числителе дроби, на эквивалентные, то получили бы следующий результат: Итак, в случае суммы или разности функций замену их на эквивалентные при вычислении предела производить нельзя!!!

Слайд 16

Описание слайда:

Понятие функции, бесконечно малой по сравнению с другой функцией. Символ «о-малое». Пусть функции f(x) и g(x) определены в некоторой проколотой окрестности точки а и g(x) отлична от нуля во всех точках этой окрестности. Если то функция f(x) называется бесконечно малой по сравнению с g(x) при х  а. При этом используется обозначение f(x) = о(g(x)) при х  а. В частности запись f(x) = о(1) означает, что f(x) – бесконечно малая при х  а. ПРИМЕР. х4 = o(x2) при х  0, так как

Слайд 17

Описание слайда:

Свойства символа «о-малое». Отметим некоторые важные свойства символа о(g(x)), считая, что х  а, а равенства, содержащие этот символ, читаются слева направо (здесь С – постоянная): o(Cg(x)) = o(g(x)) Co(g(x)) = o(g(x)) o(g(x)) + o(g(x)) = o(g(x)) o( g(x) + o(g(x)) )= o(g(x)) o(gm(x))o(gn(x)) = o(gm+n(x)) ( m, n N) gm-1(x)o(g(x)) = o(gm(x)) (m N) (o(g(x))n = o(gn(x)) (n N) o(gn(x)) / g(x) = gn-1(x) (n N, g(x)  0)

Слайд 18

Описание слайда:

Асимптотическое представление функций. ТЕОРЕМА. f(x)  g(x) при х  а  f(x) = g(x) + о(g(x)) при х  а. Доказательство. Пусть f(x)  g(x) при х  а, то есть Это значит, что То есть f(x) = g(x) + о(g(x)) при х  а. Пусть f(x) = g(x) + о(g(x)) при х  а. Тогда