🗊Презентация Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности

Категория: Математика
Нажмите для полного просмотра!
Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности, слайд №1Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности, слайд №2Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности, слайд №3Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности, слайд №4Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности, слайд №5Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности, слайд №6Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности, слайд №7Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности, слайд №8Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности, слайд №9Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности, слайд №10Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности, слайд №11Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности, слайд №12Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности, слайд №13Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности, слайд №14Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности, слайд №15Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности, слайд №16Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности, слайд №17Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности, слайд №18Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности, слайд №19Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности, слайд №20Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности, слайд №21Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности, слайд №22Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности, слайд №23Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности, слайд №24Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности, слайд №25Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности, слайд №26Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности, слайд №27
Скачать

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности. Доклад-сообщение содержит 27 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1


Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей §54. Случайные события и их вероятности 2.ПРОИЗВЕДЕНИЕ СОБЫТИЙ. ВЕРОЯТНОСТЬ СУММЫ ДВУХ СОБЫТИЙ. НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ.
Описание слайда:
Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей §54. Случайные события и их вероятности 2.ПРОИЗВЕДЕНИЕ СОБЫТИЙ. ВЕРОЯТНОСТЬ СУММЫ ДВУХ СОБЫТИЙ. НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ.

Слайд 2


Содержание ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Произведение событий А и В. ПРИМЕР 3. Дать описание произведения событий А и В. Решение 3а); Решение 3б); Решение 3в); Решение 3г). Связь между понятиями и терминами теории вероятностей и теории множеств (таблица). ТЕОРЕМА 1. Сумма вероятностей двух событий P(A)+P(B)=P(AB)+P(A+B). Доказательство теоремы 1.
Описание слайда:
Содержание ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Произведение событий А и В. ПРИМЕР 3. Дать описание произведения событий А и В. Решение 3а); Решение 3б); Решение 3в); Решение 3г). Связь между понятиями и терминами теории вероятностей и теории множеств (таблица). ТЕОРЕМА 1. Сумма вероятностей двух событий P(A)+P(B)=P(AB)+P(A+B). Доказательство теоремы 1.

Слайд 3


ПРОИЗВЕДЕНИЕ СОБЫТИЙ. ВЕРОЯТНОСТЬ СУММЫ ДВУХ СОБЫТИЙ. НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ Часть 2.
Описание слайда:
ПРОИЗВЕДЕНИЕ СОБЫТИЙ. ВЕРОЯТНОСТЬ СУММЫ ДВУХ СОБЫТИЙ. НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ Часть 2.

Слайд 4


Независимость событий В примере 2 мы говорили о сумме несовместных событий. А как найти вероятность Р(А + В) для событий, которые могут наступать одновременно? Для ответа на такой вопрос необходима не только сама сумма А + В событий А и В, но и их произведение.
Описание слайда:
Независимость событий В примере 2 мы говорили о сумме несовместных событий. А как найти вероятность Р(А + В) для событий, которые могут наступать одновременно? Для ответа на такой вопрос необходима не только сама сумма А + В событий А и В, но и их произведение.

Слайд 5


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Произведение событий А и В Определение 1. Произведением событий А и В называют событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает и событие А, и событие В. Оно обозначается АВ или АВ.
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Произведение событий А и В Определение 1. Произведением событий А и В называют событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает и событие А, и событие В. Оно обозначается АВ или АВ.

Слайд 6


ПРИМЕР 3. Дать описание произведения событий А и В Пример 3. Дать описание произведения АВ событий А и В, если: а) А — цена товара больше 100 р., В — цена товара не больше 110 р.; б) А — завтра пятница, В — завтра 13-е число; в) А — координаты случайно выбранной точки на плоскости удовлетворяют неравенству х2 + у2 < 1; В — координаты случайно выбранной точки положительны; г) А — случайно выбранное двузначное число четно; В — случайно выбранное двузначное число делится на 11.
Описание слайда:
ПРИМЕР 3. Дать описание произведения событий А и В Пример 3. Дать описание произведения АВ событий А и В, если: а) А — цена товара больше 100 р., В — цена товара не больше 110 р.; б) А — завтра пятница, В — завтра 13-е число; в) А — координаты случайно выбранной точки на плоскости удовлетворяют неравенству х2 + у2 < 1; В — координаты случайно выбранной точки положительны; г) А — случайно выбранное двузначное число четно; В — случайно выбранное двузначное число делится на 11.

Слайд 7


Решение примера 3а) Пример 3. Дать описание произведения АВ событий А и В, если: а) А — цена товара больше 100 р., В — цена товара не больше 110 р.; Решение: а) Одновременное наступление событий А и В означает, что для цены S товара верно двойное неравенство 100 < S < 110.
Описание слайда:
Решение примера 3а) Пример 3. Дать описание произведения АВ событий А и В, если: а) А — цена товара больше 100 р., В — цена товара не больше 110 р.; Решение: а) Одновременное наступление событий А и В означает, что для цены S товара верно двойное неравенство 100 < S < 110.

Слайд 8


Решение примера 3б) Пример 3. Дать описание произведения АВ событий А и В, если: б)  А — завтра пятница, В — завтра 13-е число; Решение: б) Одновременное наступление событий А и В означает, что завтра — пятница, 13-е число.   
Описание слайда:
Решение примера 3б) Пример 3. Дать описание произведения АВ событий А и В, если: б)  А — завтра пятница, В — завтра 13-е число; Решение: б) Одновременное наступление событий А и В означает, что завтра — пятница, 13-е число.   

Слайд 9


Решение примера 3в) Пример 3. Дать описание произведения АВ событий А и В, если: в) А — координаты случайно выбранной точки на плоскости удовлетворяют неравенству х2 + у2 ≤ 1; В — координаты случайно выбранной точки положительны; Решение: в) Геометрически событие А означает, что точка выбрана в единичном круге {(x; у) | х2 + у2  ≤  1}, а событие В означает, что она выбрана в первой координатной четверти. Значит, одновременное наступление А и В означает, что точка выбрана в той четверти единичного круга, которая расположена выше оси абсцисс и правее оси ординат (рис. 242).
Описание слайда:
Решение примера 3в) Пример 3. Дать описание произведения АВ событий А и В, если: в) А — координаты случайно выбранной точки на плоскости удовлетворяют неравенству х2 + у2 ≤ 1; В — координаты случайно выбранной точки положительны; Решение: в) Геометрически событие А означает, что точка выбрана в единичном круге {(x; у) | х2 + у2  ≤  1}, а событие В означает, что она выбрана в первой координатной четверти. Значит, одновременное наступление А и В означает, что точка выбрана в той четверти единичного круга, которая расположена выше оси абсцисс и правее оси ординат (рис. 242).

Слайд 10


Решение примера 3г) Пример 3. Дать описание произведения АВ событий А и В, если: г) А — случайно выбранное двузначное число четно; В — случайно выбранное двузначное число делится на 11. Решение: г) Четные двузначные числа составляют множество {10, 12, 14, ..., 94, 96, 98}. Двузначные числа, которые делятся на 11, составляют множество {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}. Одновременное наступление событий А и В означает, что выбранное число принадлежит и множеству {10, 12, 14, ..., 94, 96, 98} и множеству {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}. Значит, событие АВ состоит в том, что выбранное число принадлежит пересечению указанных множеств, т. е. множеству {22, 44, 66, 88}. Всего 4 случая.   
Описание слайда:
Решение примера 3г) Пример 3. Дать описание произведения АВ событий А и В, если: г) А — случайно выбранное двузначное число четно; В — случайно выбранное двузначное число делится на 11. Решение: г) Четные двузначные числа составляют множество {10, 12, 14, ..., 94, 96, 98}. Двузначные числа, которые делятся на 11, составляют множество {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}. Одновременное наступление событий А и В означает, что выбранное число принадлежит и множеству {10, 12, 14, ..., 94, 96, 98} и множеству {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}. Значит, событие АВ состоит в том, что выбранное число принадлежит пересечению указанных множеств, т. е. множеству {22, 44, 66, 88}. Всего 4 случая.   

Слайд 11


Произведение АВ событий А и В связано с пересечением множеств Мы видим, что произведение АВ событий А и В связано с пересечением множеств, соответствующих событиям А и В. В курсе алгебры 9-го класса мы говорили о связи между понятиями и терминами теории вероятностей и теории множеств и составили соответствующую таблицу. Дополним ее новыми связями.
Описание слайда:
Произведение АВ событий А и В связано с пересечением множеств Мы видим, что произведение АВ событий А и В связано с пересечением множеств, соответствующих событиям А и В. В курсе алгебры 9-го класса мы говорили о связи между понятиями и терминами теории вероятностей и теории множеств и составили соответствующую таблицу. Дополним ее новыми связями.

Слайд 12


Связь между понятиями и терминами теории вероятностей и теории множеств (таблица)
Описание слайда:
Связь между понятиями и терминами теории вероятностей и теории множеств (таблица)

Слайд 13


ТЕОРЕМА 1. Сумма вероятностей двух событий P(A)+P(B)=P(AB)+P(A+B). ТЕОРЕМА 1. Сумма вероятностей двух событий равна сумме вероятности произведения этих событий и вероятности суммы этих событий. Р(А) + Р(В) = Р(АВ) + Р(А + В).
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 1. Сумма вероятностей двух событий P(A)+P(B)=P(AB)+P(A+B). ТЕОРЕМА 1. Сумма вероятностей двух событий равна сумме вероятности произведения этих событий и вероятности суммы этих событий. Р(А) + Р(В) = Р(АВ) + Р(А + В).

Слайд 14


Доказательство теоремы 1 Пусть А1 — событие, состоящее в том, что наступает А, но не наступает В. Согласно опр.1 АВ — событие, состоящее в том, что наступают А и В. Значит, события А1 и АВ несовместны, а их сумма равна А. Поэтому Р(А)=Р(А1)+Р(АВ). Аналогично обозначим через В1 событие, состоящее в том, что наступает В, но не наступает А. Тогда события В1 и АВ несовместны, а их сумма равна В. Значит, Р(А) = Р(А1) + Р(АВ). Сложим эти равенства: Р(А)+Р(В) = (Р(А1)+Р(АВ))+Р(В1)+Р(АВ)) = Р(АВ)+(Р(А1)+Р(АВ)+Р(В1)). События А, АВ, В1 попарно несовместны, а их сумма равна А+В. Значит, Р(А1)+Р(АВ)+Р(В1)=Р(А+В), и поэтому Р(А)+Р(В) = Р(АВ)+Р(А+В). •
Описание слайда:
Доказательство теоремы 1 Пусть А1 — событие, состоящее в том, что наступает А, но не наступает В. Согласно опр.1 АВ — событие, состоящее в том, что наступают А и В. Значит, события А1 и АВ несовместны, а их сумма равна А. Поэтому Р(А)=Р(А1)+Р(АВ). Аналогично обозначим через В1 событие, состоящее в том, что наступает В, но не наступает А. Тогда события В1 и АВ несовместны, а их сумма равна В. Значит, Р(А) = Р(А1) + Р(АВ). Сложим эти равенства: Р(А)+Р(В) = (Р(А1)+Р(АВ))+Р(В1)+Р(АВ)) = Р(АВ)+(Р(А1)+Р(АВ)+Р(В1)). События А, АВ, В1 попарно несовместны, а их сумма равна А+В. Значит, Р(А1)+Р(АВ)+Р(В1)=Р(А+В), и поэтому Р(А)+Р(В) = Р(АВ)+Р(А+В). •

Слайд 15


Для несовместных событий А и В Для несовместных событий А и В доказанная теорема приводит к уже известным формулам. Действительно, несовместность событий А и В означает, что событие АВ невозможно, т. е. Р(АВ)=0. Тогда Р(А)+Р(В)=Р(АВ)+Р(А+В)= Р(А+В). В частности, так как событие А + Ᾱ всегда достоверно, то Р(А) +Р(Ᾱ)= Р(А + Ᾱ) = 1; Р(Ᾱ) = 1 - Р(А).
Описание слайда:
Для несовместных событий А и В Для несовместных событий А и В доказанная теорема приводит к уже известным формулам. Действительно, несовместность событий А и В означает, что событие АВ невозможно, т. е. Р(АВ)=0. Тогда Р(А)+Р(В)=Р(АВ)+Р(А+В)= Р(А+В). В частности, так как событие А + Ᾱ всегда достоверно, то Р(А) +Р(Ᾱ)= Р(А + Ᾱ) = 1; Р(Ᾱ) = 1 - Р(А).

Слайд 16


Формулу Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) применяют к независимым событиям А и В При решении практических задач формулу Р(А)+Р(В)=Р(АВ)+Р(А+В) чаще всего записывают в виде Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) и применяют ее к независимым событиям А и В. Это понятие является одним из важнейших в теории вероятностей. Определение независимости двух событий напоминает правило умножения.
Описание слайда:
Формулу Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) применяют к независимым событиям А и В При решении практических задач формулу Р(А)+Р(В)=Р(АВ)+Р(А+В) чаще всего записывают в виде Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) и применяют ее к независимым событиям А и В. Это понятие является одним из важнейших в теории вероятностей. Определение независимости двух событий напоминает правило умножения.

Слайд 17


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. События А и В называются независимыми… Определение 2. События А и В называют независимыми, если вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: Р(АВ) = Р(А)Р(В). Не следует путать несовместность событий А и В и их независимость. Напомним, что несовместность событий А и В означает, что соответствующие множества исходов испытания не пересекаются. К сожалению, понятие независимости не имеет никакого наглядного смысла. В практических задачах независимость событий, как правило, подразумевается в условиях задачи и обосновывается независимостью проводимых испытаний.
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. События А и В называются независимыми… Определение 2. События А и В называют независимыми, если вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: Р(АВ) = Р(А)Р(В). Не следует путать несовместность событий А и В и их независимость. Напомним, что несовместность событий А и В означает, что соответствующие множества исходов испытания не пересекаются. К сожалению, понятие независимости не имеет никакого наглядного смысла. В практических задачах независимость событий, как правило, подразумевается в условиях задачи и обосновывается независимостью проводимых испытаний.

Слайд 18


ТЕОРЕМА 2. Вероятность суммы двух независимых событий равна P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). Теорема 2. Вероятность суммы двух независимых событий равна разности суммы вероятностей этих событий и произведения вероятностей этих событий: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А)Р(В). Доказательство. По теореме 1 Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ). Независимость А и Б означает, что Р(АВ) = Р(А)Р(В). Значит, Р(А + Б) = Р(А) + Р(В) - Р(А)Р(В).    •
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 2. Вероятность суммы двух независимых событий равна P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). Теорема 2. Вероятность суммы двух независимых событий равна разности суммы вероятностей этих событий и произведения вероятностей этих событий: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А)Р(В). Доказательство. По теореме 1 Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ). Независимость А и Б означает, что Р(АВ) = Р(А)Р(В). Значит, Р(А + Б) = Р(А) + Р(В) - Р(А)Р(В).    •

Слайд 19


ПРИМЕР 4. Два стрелка независимо друг от друга стреляют Пример 4. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень каждого стрелка в отдельности равна 0,9 и 0,3 соответственно. Найти вероятность того, что мишень: а)    будет поражена дважды; б)    не будет поражена ни разу; в)    будет поражена хотя бы один раз; г)    будет поражена ровно один раз.
Описание слайда:
ПРИМЕР 4. Два стрелка независимо друг от друга стреляют Пример 4. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень каждого стрелка в отдельности равна 0,9 и 0,3 соответственно. Найти вероятность того, что мишень: а)    будет поражена дважды; б)    не будет поражена ни разу; в)    будет поражена хотя бы один раз; г)    будет поражена ровно один раз.

Слайд 20


Решение примера 4а) Пример 4. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень каждого стрелка в отдельности равна 0,9 и 0,3 соответственно. Найти вероятность того, что мишень: а)    будет поражена дважды; Решение. Пусть А — событие, состоящее в том, что первый стрелок попал в мишень, В — событие, состоящее в том, что второй стрелок попал в мишень. По условию Р(А) = 0,9, Р(В) = 0,3, а А и В независимы. а) Мишень будет поражена дважды, если одновременно произошли оба события А и В, т. е. произошло событие АВ. Поэтому Р(АВ) = Р(А)Р(В) = = 0,90,3 = 0,27.
Описание слайда:
Решение примера 4а) Пример 4. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень каждого стрелка в отдельности равна 0,9 и 0,3 соответственно. Найти вероятность того, что мишень: а)    будет поражена дважды; Решение. Пусть А — событие, состоящее в том, что первый стрелок попал в мишень, В — событие, состоящее в том, что второй стрелок попал в мишень. По условию Р(А) = 0,9, Р(В) = 0,3, а А и В независимы. а) Мишень будет поражена дважды, если одновременно произошли оба события А и В, т. е. произошло событие АВ. Поэтому Р(АВ) = Р(А)Р(В) = = 0,90,3 = 0,27.

Слайд 21


Решение примера 4б) Пример 4. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень каждого стрелка в отдельности равна 0,9 и 0,3 соответственно. Найти вероятность того, что мишень: б) не будет поражена ни разу; Решение:
Описание слайда:
Решение примера 4б) Пример 4. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень каждого стрелка в отдельности равна 0,9 и 0,3 соответственно. Найти вероятность того, что мишень: б) не будет поражена ни разу; Решение:

Слайд 22


Решение примера 4в) Пример 4. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень каждого стрелка в отдельности равна 0,9 и 0,3 соответственно. Найти вероятность того, что мишень: в)    будет поражена хотя бы один раз; Решение: в) Мишень будет поражена, если произошло или А, или В, т. е. произошло событие А + В. Поэтому Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А)Р(В) = 0,9 + 0,3 - 0,27 = 0,93.
Описание слайда:
Решение примера 4в) Пример 4. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень каждого стрелка в отдельности равна 0,9 и 0,3 соответственно. Найти вероятность того, что мишень: в)    будет поражена хотя бы один раз; Решение: в) Мишень будет поражена, если произошло или А, или В, т. е. произошло событие А + В. Поэтому Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А)Р(В) = 0,9 + 0,3 - 0,27 = 0,93.

Слайд 23


Решение примера 4г) Пример 4. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень каждого стрелка в отдельности равна 0,9 и 0,3 соответственно. Найти вероятность того, что мишень: г)    будет поражена ровно один раз. Решение: г)    Мишень будет поражена ровно один раз, если произошло событие А + В, но не произошло событие АВ. Поэтому искомая вероятность равна Р(А+В)-Р(АВ)= 0,93-0,27 = 0,66.
Описание слайда:
Решение примера 4г) Пример 4. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень каждого стрелка в отдельности равна 0,9 и 0,3 соответственно. Найти вероятность того, что мишень: г)    будет поражена ровно один раз. Решение: г)    Мишень будет поражена ровно один раз, если произошло событие А + В, но не произошло событие АВ. Поэтому искомая вероятность равна Р(А+В)-Р(АВ)= 0,93-0,27 = 0,66.

Слайд 24


Для учителя
Описание слайда:
Для учителя

Слайд 25


Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности, слайд №25
Описание слайда:

Слайд 26


Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности, слайд №26
Описание слайда:

Слайд 27


Источники Алгебра и начала анализа, 10-11 классы, Часть 1. Учебник, 10-е изд. (Базовый уровень), А.Г.Мордкович, М., 2009 Алгебра и начала анализа, 10-11 классы. (Базовый уровень) Методическое пособие для учителя, А.Г.Мордкович, П.В.Семенов, М., 2010 Таблицы составлены в MS Word и MS Excel. Интернет-ресурсы
Описание слайда:
Источники Алгебра и начала анализа, 10-11 классы, Часть 1. Учебник, 10-е изд. (Базовый уровень), А.Г.Мордкович, М., 2009 Алгебра и начала анализа, 10-11 классы. (Базовый уровень) Методическое пособие для учителя, А.Г.Мордкович, П.В.Семенов, М., 2010 Таблицы составлены в MS Word и MS Excel. Интернет-ресурсы

Скачать

Похожие презентации
Mypresentation.ru
Загрузить презентацию