Производная функции - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Производная функции. Доклад-сообщение содержит 33 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Министерство образования и науки РФ Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет» Математический факультет Кафедра высшей математики Математика Лекция 6. Производная функции Лектор: Бодряков В.Ю. E-mail: Bodryakov_VYu@e1.ru Поток: 1 к. ИКРиМ, 2012-2013 уч.г. Екатеринбург - 2012

Слайд 2

Описание слайда:

Рекомендуемая литература Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб пособие. СПб.: Лань, 2007. – 448 с. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч.]. Ч. 1. – М.: Айрис – Пресс, 2008. – 288 с. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: учебное пособие для вузов. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. – 672 с. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Ч. 1. СПб.: Лань, 2005. – 448 с., Ч.2, 2005. – 464 с. Электронный ресурс:

Слайд 3

Описание слайда:

Содержание лекции §1. Задачи, приводящие к понятию производной §2. Определение производной; ее механический и геометрический смысл. Дифференцируемость. Уравнение касательной и нормали к кривой §3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции §4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций §5. Производные сложной и обратной функций §6. Производные основных элементарных функций §7. Таблица производных

Слайд 4

Описание слайда:

§1. Задачи, приводящие к понятию производной Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики и др. наук, в особенности при изучении скорости протекания различных процессов. Скорость прямолинейного движения Пусть материальная точка (м.т.) M движется вдоль некоторой прямой ℓ (см. рис.). Положение т. M можно охарактеризовать расстоянием OM = S(t) до точки отсчета O. Уравнение S = S(t) называется уравнением или законом движения м.т.

Слайд 5

Описание слайда:

§1. Задачи, приводящие к понятию производной (продолжение) Если в некоторый момент времени t точка занимает положение M, то в момент времени t + t, где t – приращение времени,  точка займет новое положение M, так что расстояние от него до точки отсчета составит OM = S(t + t) = S(t) + S, где S – приращение расстояния. Т.о., перемещение т. M за время t составит S = S(t + t)  S(t). Df: Средней скоростью движения м.т. за время t называется отношение приращения расстояния S к приращению времени t: Vср = . Df: Предел средней скорости м.т. при t  0 называется мгновенной скоростью V и выражается как V = = . Говорят, что скорость есть производная пути S(t).

Слайд 6

Описание слайда:

§1. Задачи, приводящие к понятию производной (продолжение) Касательная к кривой Дадим общее определение касательной к кривой. Возьмем на непрерывной кривой L две точки M и M1 (см. рис.). Прямую ММ1, проходящую через эти точки, называют секущей. Пусть точка M1, двигаясь вдоль кривой L, неограниченно приближается к точке M (можно сказать, что M = , Mn  L). Тогда секущая, поворачиваясь около точки M, стремится к некоторому предельному положению – прямой MT. Df: Касательной в данной точке M называется предельное положение MT секущей MMn, когда 2-я точка пересечения, т.е. Mn, неограниченно стремится по кривой к точке M, т.е. при Mn  M (n).

Слайд 7

Описание слайда:

§1. Задачи, приводящие к понятию производной (продолжение) Дадим общее определение касательной к непрерывной кривой на плоскости Oxy, заданной уравнением y = f(x) (см. рис). Прямая линия (секущая кривой), проходящая через две точки кривой M(x0; y0 = f(x0)) и F(x1; y1 = f(x1)), даётся уравнением вида y = kx + b: y(x) = y0 + (x  x0). Как и следует, y  y0 при x  x0 и y  y1 при x  x1.

Слайд 8

Описание слайда:

§1. Задачи, приводящие к понятию производной (продолжение) Угловой коэффициент (тангенс угла наклона) секущей определяется как k = . По мере того, как точка x1, двигаясь вдоль кривой y = f(x), приближается к точке x0, т.е. при x1  x0, угловой коэф-т k секущей стремится к некоторому своему предельному значению k0 = tg  = = = y(x0). Здесь обозначено x = x1  x0. Df: Прямая линия с угловым коэффициентом k0, предельная для семейства секущих, называется касательной к кривой y = f(x) в точке x0. Говорят, что угловой коэффициент касательной k0 = = tg  есть производная зависимости y = f(x).

Слайд 9

Описание слайда:

§2. Определение производной; ее механический и геометрический смысл. Дифференцируемость. Уравнение касательной и нормали к кривой Пусть функция y = f(x) определена на некотором интервале D = (a; b). Дадим абсциссе x0  (a; b) малое приращение x такое, что x0 + x  (a; b). Вычислим приращение функции y = f(x0 + x)  f(x0). Величина предела отношения приращения функции к приращению аргумента при x  0 играет важную роль в анализе. Df: Производной функции y = f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции y к приращению аргумента x при x  0: y(x0) = = = f(x0). Производную функции в т. x, если она существует обозначают также как: fx, yx, , .

Слайд 10

Описание слайда:

§2. Определение производной … (продолжение) Df: Функция y = f(x), имеющая производную в каждой точке некоторого интервала (a; b), где она определена, называется дифференцируемой в (на) интервале (a; b); операция вычисления производной функции называется ее дифференцированием. В результате дифференцирования функции y = f(x) получается производная функция y = f(x). Значение производной функции y = f(x) в точке x0 обозначается как: f(x0), y(x0), . П р и м е р 1. Найти производные функций: а) y = C = Const; б) y = x; в) y = x2. Решение: а) y(x) =  0; б) y(x) = = 1; в) y(x) = = = 2x.

Слайд 11

Описание слайда:

§2. Определение производной … (продолжение) Df: Обобщая полученные выше результаты, отметим, что если функция y = f(x) описывает какой-либо процесс, переменный во времени, то производная y есть скорость протекания этого процесса. В задаче про касательную к кривой был найден угловой коэффициент касательной k = tg  = = y. Df: Производная y = tg  = k функции y = f(x) в точке x равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке x. В этом заключается геометрический смысл производной. Обобщая полученные выше результаты, выпишем уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке x0: y  y0 = f(x0)(x  x0). Df: Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.

Слайд 12

Описание слайда:

§2. Определение производной … (продолжение) Из аналитической геометрии известно, что угловые коэффициенты нормали и касательной в данной точке кривой связаны соотношением: kнорм = 1/kкас. Поэтому уравнение нормали к кривой y = f(x) в точке x0 есть: y  y0 =  (x  x0). П р и м е р 2. Найти уравнения касательной и нормали к кривой y = x2 в точке x0 = 1. Решение: Найдем необходимые параметры: y0 = 1; y(x0) = 2 = 2 и выпишем требуемые уравнения (тж. см. рис): касательная: y = 2 x  1; нормаль: y =  x + .

Слайд 13

Описание слайда:

§3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции Т е о р е м а 1. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она и непрерывна в ней. Доказательство: Пусть функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке x. Следовательно, по определению дифференцируемости, существует предел y(x) = = f(x). Отсюда, с учетом теоремы о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, имеем: = f(x) + , где б.м.ф.   0 при x  0, т.е. y = f(x)x + x. Переходя к пределу x  0, получаем, что = 0. А это и означает непрерывность функции y = f(x) в т. x, ч.т.д.

Слайд 14

Описание слайда:

§3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции (продолжение) З а м е ч а н и е. Обратное (по отношению к теореме 1) утверждение будет, вообще говоря, неверным: непрерывная функция может и не иметь производной. П р и м е р 3. Установить дифференцируемость функции y = f(x) = |x|. Решение: Как видно из рис., функция |x| непрерывна. Однако, ее производная f(x) = разрывна (не существует) в т. x0=0, в ней функция не дифференцируема.

Слайд 15

Описание слайда:

§3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции (продолжение) З а м е ч а н и я: 1. Для функции y = |x| в точке x0 = 0 существуют (различные) односторонние пределы = 1, = 1. В таких случаях говорят, что функция y = f(x) имеет односторонние производные «слева» f(x0) и «справа» f+(x0). Если f(x0)  f+(x0), то производная в точке x0 не существует (функция не дифференцируема). Не существует производной и в точках разрыва функции. 2. Производная y непрерывной функции y = f(x) может и не быть непрерывной функцией. Df: Если функция имеет непрерывную производную y = f(x) в некотором промежутке (a; b), то такая функция называется гладкой в (на) промежутке (a; b).

Слайд 16

Описание слайда:

§4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций Вычисление производной функции y = f(x) всякий раз непосредственно по определению довольно утомительно. Поэтому на практике дифференцирование выполняют, применяя ряд установленных ниже правил и формул. Пусть u = u(x) и v = v(x) – две дифференцируемые в некотором интервале (a; b) функции. Т е о р е м а 2. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) их производных: (u  v) = u  v. Доказательство: Осуществляется непосредственно по определению (СРС).

Слайд 17

Описание слайда:

§4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций (продолжение) Т е о р е м а 3. Производная произведения двух функций равна сумме двух произведений: производной 1-го сомножителя на 2-ой плюс 1-го сомножителя на производную 2-го: (uv) = uv + uv. Доказательство: Пусть y = uv. Тогда y = = = = + = u(x) + v(x) + + = uv + vu + 0, ч.т.д. С л е д с т в и я: 1) (сu) = сv; 2) (uvw) = uvw + uvw + uvw.

Слайд 18

Описание слайда:

§4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций (продолжение) Т е о р е м а 4. Производная функции , где v(x)  0, равна взятому со знаком «минус» отношению производной v функции v(x) к квадрату v2: () =  . Доказательство: Пусть y = . Тогда y = = =  = =   =  , ч.т.д.

Слайд 19

Описание слайда:

§4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций (продолжение) Т е о р е м а 5. Производная отношения функций , где v(x)  0, равна дроби, в числителе которой стоит разность произведения производной числителя на знаменатель минус произведение числителя на производную знаменателя; в знаменателе дроби – квадрат знаменателя: () = . Доказательство: Пусть y = = u(x). Пользуясь результатами предыдущих теорем, получаем: y = () = u() + u() =  = , где v(x)  0, ч.т.д.

Слайд 20

Описание слайда:

§5. Производные сложной и обратной функций Пусть y = f(u) и u = (x), тогда y = f((x)) – сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x. Т е о р е м а 6. Если функция u = (x) имеет производную ux в точке x, а функция y = f(u) имеет производную yu в соответствующей точке u = (x) , то сложная функция y = f((x)) имеет производную yx в точке x, равную: yx = yu ux. Доказательство: Утверждение теоремы становится очевидным, если заметить, что y = = =  = yu ux. При замене переменной в пределе мы воспользовались тем, что в силу непрерывности функции u = (x) при x0 и u0, ч.т.д.

Слайд 21

Описание слайда:

§5. Производные сложной и обратной функций (продолжение) П р а в и л о вычисления производной сложной функции. Для нахождения производной сложной функции y = f((x)) следует производную данной функции по промежуточному аргументу yu = f(u) умножить на производную ux = (x) промежуточного аргумента по независимому аргументу. З а м е ч а н и е. Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов, «вложенных» друг в друга, несколько. Так, если y = f(u), где u = (v), v = (x), то yx = fx(u(v(x))) = yu uvvx(x). П р и м е р 4. Найти производную: y = f(x) = (3x2 + 1)2. Решение: По правилу дифференцирования сложной функции имеем: y = ((3x2 + 1)2) = 2(3x2 + 1)(3x2 + 1) = = 2(3x2 + 1)3(x2) = 2(3x2 + 1)32x = 12x(3x2 + 1). Ответ: y = ((3x2 + 1)2) = 12x(3x2 + 1).

Слайд 22

Описание слайда:

§5. Производные сложной и обратной функций (продолжение) Т е о р е м а 7. Если функция y = f(x) строго монотонна на интервале (a; b) и имеет отличную от нуля производную f(x) в каждой точке x  (a; b), то обратная ей функция x = (y) также имеет производную (y) в соответствующей точке, равную: (y) = , или xy = . Доказательство: Рассмотрим обратную функцию x = (y). Дадим аргументу y приращение y  0. Ему соответствует приращение x обратной функции, причем x  0 в силу строгой монотонности «прямой» функции y = f(x). Поэтому = (*). Если y  0, то в силу непрерывности обратной функции приращение x  0. И так как = f(x)  0, то из (*) имеем: (y) = = = , или xy = , ч.т.д.

Слайд 23

Описание слайда:

§5. Производные сложной и обратной функций (продолжение) П р а в и л о вычисления производной обратной функции. Производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции. Правило дифференцирования обратной функции записывают также как yx = , или = . П р и м е р 5. Найти производную данной функции y = f(x) и функции, обратной к данной: y = = (x  1)1/3. Решение: Функция f(x) является строго монотонно возрастающей. Для вычисления обратной функции достаточно выразить x из уравнения y = f(x): x = (y) = y3 + 1. Тогда xy = 3y2. Следовательно, yx = = = . Ответ: xy = 3y2 и yx = (x  1)2/3.

Слайд 24

Описание слайда:

§6. Производные основных элементарных функций Степенная функция y = xn, n  N. Вычисление производной: Заметим, что согласно биному Ньютона (x + x)n = xn + nxn1x + xn2(x)2 + … + +  xnk (x)k + … + (x)n. Тогда y = (xn) = = nxn1. З а м е ч а н и е. Результат может быть обобщен на случай произвольных показателей степени k  R. Вообще: y = (xk) = kxk1, k  R. Вычисление производной: По определению y = (xk) = = xk1 = = {t = x/x} = xk1 = kxk1.

Слайд 25

Описание слайда:

§6. Производные основных элементарных функций (продолжение) Показательная функция y = ax, a > 0, a  1. Вычисление производной: 1. Вычислим вначале производную функции y = ex: y = (ex) = = ex = ex. Здесь мы воспользовались следствием 2-го замечательного предела: = 1. 2. Вычислим производную показательной функции y = ax при произвольном основании a > 0, a  1, как сложной функции, заметив, что ax = exlna: y = (ax) = (exlna) = exlna(xlna) = axlna.

Слайд 26

Описание слайда:

§6. Производные основных элементарных функций (продолжение) Логарифмическая функция y = logax, a > 0, a  1. Вычисление производной: 1. Вычислим вначале производную функции y = lnx: y = (lnx) = = = = . Здесь мы воспользовались следствием 2-го замечательного предела: = 1. 2. Вычислим теперь производную логарифмической функции y = logax при произвольном основании a > 0, a  1, как сложной функции, заметив, что logax = : y = (logax) = () = (lnx) = .

Слайд 27

Описание слайда:

§6. Производные основных элементарных функций (продолжение) Тригонометрические функции: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x. Вычисление производной: 1. Найдем производную функции y = sin x по определению: y = (sin x) = = = =  = 1 cos x = cos x. Здесь мы воспользовались 1-ым замечательным пределом: = 1. 2. Вычислим производную функции y = cos x, как сложной функции, заметив, что y = cos x = : y = (cos x) = () = () = sin x.

Слайд 28

Описание слайда:

§6. Производные основных элементарных функций (продолжение) 3. Найдем производную функции y = tg x как производную частногo: y = (tg x) = () = = = = . Здесь мы воспользовались основным тригонометрическим тождеством: sin2 x + cos2 x = 1. 4. Аналогично вычислим производную функции y = ctg x: y = (сtg x) = () = = = =  .

Слайд 29

Описание слайда:

§6. Производные основных элементарных функций (продолжение) Обратные тригонометрические функции: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x. Вычисление производной: 1. Найдем производную функции y = arсsin x (x  [-½; ½]) по правилу дифференцирования обратной функции, заметив, что x = sin y (y  [1; 1]): y = yx = (arcsin x) = = = = . 2. Найдем производную функции y = arсcos x (x  [0; ]) по правилу дифференцирования обратной функции, заметив, что x = cos y (y  [1; 1]): y = yx = (arccos x) = =  =  =  .

Слайд 30

Описание слайда:

§6. Производные основных элементарных функций (продолжение) 3. Найдем производную функции y = arсtg x (x  [-½; ½]) по правилу дифференцирования обратной функции, заметив, что x = tg y (y  [; ]): y = yx = (arctg x) = = cos2 y = = . 4. Совершенно аналогично вычисляется производная функции y = arcctg x (x  [0; ]): y = (arcctg x) =  . П р и м е р 6. Найти производные данных функций: а) y = esinx; б) y = arcsin; в) y = (1 + x2)1/3. а) y = (esinx) = esinx cos x; б) y = (arcsin) = () = = x2/3 = ; в) y = ((1 + x2)1/3) =  (1 + x2)4/32x =  .

Слайд 31

Описание слайда:

§7. Таблица производных Выведенные выше правила дифференцирования, формулы производных основных элементарных функций выпишем в виде таблицы. Правила дифференцирования 1. (u  v) = u  v; 2. (uv) = uv + uv; в частности, (сu) = cu; 3.  = ; в частности,  =  ; 4. yx = yu ux, если y = f(u), u = (x); 5. yx = , если y = f(x) и x = (y). Формулы дифференцирования 1. (с) = 0; 2. (x) = x1,   R; 3. (ax) = axlna; в частности, (ex) = ex; 4. (logax) = ; в частности, (lnx) = ;

Слайд 32

Описание слайда:

§7. Таблица производных (продолжение) 5. (sin x) = cos x; 6. (cos x) = sin x; 7. (tg x) = ; 8. (ctg x) =  ; 9. (arcsin x) = ; 10. (arccos x) =  ; 11. (arctg x) = ; 12. (arcctg x) =  . З а м е ч а н и е: Для вычисления производных большинства функций достаточно знать выписанные правила и формулы дифференцирования и строго придерживаться их при решении задач.